Theorem mhpmpl 22082

Description: A homogeneous polynomial is a polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpmpl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpmpl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mhpmpl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpmpl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhpmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		mhpmpl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mhpmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7	2, 1	mhprcl 22081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	ismhp 22078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
9	8	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 9	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415   ⊆ wss 3926  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   supp csupp 8159   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  ℂ_fldccnfld 21315   mPoly cmpl 21866   mHomP cmhp 22067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-1cn 11187  ax-addcl 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12241  df-n0 12502  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-mpl 21871  df-mhp 22074

This theorem is referenced by:  mhpmulcl  22087  mhppwdeg  22088  mhpaddcl  22089  mhpinvcl  22090  mhpsubg  22091  mhpvscacl  22092  mhpind  42617  evlsmhpvvval  42618  mhphf  42620