Theorem mhpmpl 21906

Description: A homogeneous polynomial is a polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpmpl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpmpl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
mhpmpl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpmpl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpmpl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mhpmpl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpmpl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhpmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		mhpmpl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mhpmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		mhpmpl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		mhpmpl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
9		mhpmpl.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ismhp 21903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
11	10	simprbda 497	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	1, 11	mpdan 683	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   ⊆ wss 3947  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   supp csupp 8148   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  0_gc0g 17389   Σ_g cgsu 17390  ℂ_fldccnfld 21144   mPoly cmpl 21678   mHomP cmhp 21891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-nn 12217  df-n0 12477  df-mhp 21895

This theorem is referenced by:  mhpmulcl  21911  mhppwdeg  21912  mhpaddcl  21913  mhpinvcl  21914  mhpsubg  21915  mhpvscacl  21916  mhpind  41468  evlsmhpvvval  41469  mhphf  41471