Theorem mhpmpl 22445

Description: A homogeneous polynomial is a polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpmpl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpmpl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mhpmpl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpmpl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhpmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		mhpmpl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mhpmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7	2, 1	mhprcl 22444	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	ismhp 22441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
9	8	simprbda 504	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 9	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   supp csupp 8161   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  0_gc0g 17590   Σ_g cgsu 17591  ℂ_fldccnfld 21658   mPoly cmpl 22194   mHomP cmhp 22434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-1cn 11239  ax-addcl 11241

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12317  df-n0 12588  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-mpl 22199  df-mhp 22437

This theorem is used by:  mhpmulcl  22450  mhppwdeg  22451  mhpaddcl  22452  mhpinvcl  22453  mhpsubg  22454  mhpvscacl  22455  mhpind  43584  evlsmhpvvval  43585  mhphf  43587