Theorem mhpmpl 22087

Description: A homogeneous polynomial is a polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpmpl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpmpl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mhpmpl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpmpl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhpmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		mhpmpl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mhpmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7	2, 1	mhprcl 22086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	ismhp 22083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
9	8	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 9	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ⊆ wss 3901  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  ℂ_fldccnfld 21309   mPoly cmpl 21862   mHomP cmhp 22072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-n0 12402  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-mpl 21867  df-mhp 22079

This theorem is referenced by:  mhpmulcl  22092  mhppwdeg  22093  mhpaddcl  22094  mhpinvcl  22095  mhpsubg  22096  mhpvscacl  22097  mhpind  42833  evlsmhpvvval  42834  mhphf  42836