MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpmpl 21518
Description: A homogeneous polynomial is a polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpmpl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpmpl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpmpl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpmpl.r (𝜑𝑅𝑊)
mhpmpl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhpmpl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpmpl (𝜑𝑋𝐵)

Proof of Theorem mhpmpl
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpmpl.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
2 mhpmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3 mhpmpl.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4 mhpmpl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2736 . . . 4 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 mhpmpl.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
8 mhpmpl.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑊)
9 mhpmpl.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ismhp 21515 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
1110simprbda 499 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁)) → 𝑋𝐵)
121, 11mpdan 685 1 (𝜑𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3405  wss 3908  ccnv 5630  cima 5634  cfv 6493  (class class class)co 7353   supp csupp 8088  m cmap 8761  Fincfn 8879  cn 12149  0cn0 12409  Basecbs 17075  s cress 17104  0gc0g 17313   Σg cgsu 17314  fldccnfld 20781   mPoly cmpl 21293   mHomP cmhp 21503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-1cn 11105  ax-addcl 11107
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-nn 12150  df-n0 12410  df-mhp 21507
This theorem is referenced by:  mhpmulcl  21523  mhppwdeg  21524  mhpaddcl  21525  mhpinvcl  21526  mhpsubg  21527  mhpvscacl  21528  mhpind  40707  mhphf  40709
  Copyright terms: Public domain W3C validator