Theorem mhpmpl 22288

Description: A homogeneous polynomial is a polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpmpl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpmpl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mhpmpl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpmpl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhpmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		mhpmpl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mhpmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7	2, 1	mhprcl 22287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	ismhp 22284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
9	8	simprbda 503	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 9	mpdan 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   supp csupp 8157   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  0_gc0g 17493   Σ_g cgsu 17494  ℂ_fldccnfld 21503   mPoly cmpl 22037   mHomP cmhp 22277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-1cn 11159  ax-addcl 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-n0 12506  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-mpl 22042  df-mhp 22280

This theorem is referenced by:  mhpmulcl  22293  mhppwdeg  22294  mhpaddcl  22295  mhpinvcl  22296  mhpsubg  22297  mhpvscacl  22298  mhpind  43309  evlsmhpvvval  43310  mhphf  43312