Theorem ismhp2 22056

Description: Deduce a homogeneous polynomial from its properties. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismhp2.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})

Assertion

Ref	Expression
ismhp2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   𝑅(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem ismhp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhp2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		ismhp2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3		ismhp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
4		ismhp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		ismhp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		ismhp.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		ismhp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		ismhp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	ismhp 22055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10	1, 2, 9	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   supp csupp 8090   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  ℂ_fldccnfld 21291   mPoly cmpl 21843   mHomP cmhp 22044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126  df-n0 12382  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-mpl 21848  df-mhp 22051

This theorem is referenced by:  mhp0cl  22061  mhpaddcl  22066  mhpinvcl  22067  mhpvscacl  22069  mhpind  42635