Theorem ismhp2 22066

Description: Deduce a homogeneous polynomial from its properties. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismhp2.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})

Assertion

Ref	Expression
ismhp2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   𝑅(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem ismhp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhp2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		ismhp2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3		ismhp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
4		ismhp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		ismhp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		ismhp.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		ismhp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		ismhp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	ismhp 22065	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10	1, 2, 9	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3397   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   supp csupp 8099   ↑_m cmap 8759  Fincfn 8878  ℕcn 12135  ℕ₀cn0 12391  Basecbs 17130   ↾_s cress 17151  0_gc0g 17353   Σ_g cgsu 17354  ℂ_fldccnfld 21301   mPoly cmpl 21853   mHomP cmhp 22054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-1cn 11074  ax-addcl 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12136  df-n0 12392  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-mpl 21858  df-mhp 22061

This theorem is referenced by:  mhp0cl  22071  mhpaddcl  22076  mhpinvcl  22077  mhpvscacl  22079  mhpind  42702