Theorem ismhp2 22120

Description: Deduce a homogeneous polynomial from its properties. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismhp2.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})

Assertion

Ref	Expression
ismhp2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   𝑅(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem ismhp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhp2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		ismhp2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3		ismhp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
4		ismhp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		ismhp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		ismhp.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		ismhp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		ismhp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	ismhp 22119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10	1, 2, 9	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   supp csupp 8104   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  0_gc0g 17396   Σ_g cgsu 17397  ℂ_fldccnfld 21347   mPoly cmpl 21899   mHomP cmhp 22108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-1cn 11090  ax-addcl 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-nn 12169  df-n0 12432  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-mpl 21904  df-mhp 22115

This theorem is referenced by:  mhp0cl  22125  mhpaddcl  22130  mhpinvcl  22131  mhpvscacl  22133  mhpind  43044