MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismhp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismhp2 21332
Description: Deduce a homogeneous polynomial from its properties. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpfval.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpfval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpfval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpfval.0 0 = (0g𝑅)
mhpfval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhpfval.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpfval.r (𝜑𝑅𝑊)
mhpval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1 (𝜑𝑋𝐵)
ismhp2.2 (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
Assertion
Ref Expression
ismhp2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,   ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐵(𝑔,)   𝐷()   𝑃(𝑔,)   𝑅(𝑔,)   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑔)   𝑁()   𝑉(𝑔,)   𝑊(𝑔,)   𝑋(𝑔,)   0 (𝑔,)

Proof of Theorem ismhp2
StepHypRef Expression
1 ismhp2.1 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
2 ismhp2.2 . 2 (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3 mhpfval.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
4 mhpfval.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5 mhpfval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
6 mhpfval.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
7 mhpfval.d . . 3 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
8 mhpfval.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
9 mhpfval.r . . 3 (𝜑𝑅𝑊)
10 mhpval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ismhp 21331 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
121, 2, 11mpbir2and 710 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  wss 3887  ccnv 5588  cima 5592  cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977  m cmap 8615  Fincfn 8733  cn 11973  0cn0 12233  Basecbs 16912  s cress 16941  0gc0g 17150   Σg cgsu 17151  fldccnfld 20597   mPoly cmpl 21109   mHomP cmhp 21319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-n0 12234  df-mhp 21323
This theorem is referenced by:  mhp0cl  21336  mhpaddcl  21341  mhpinvcl  21342  mhpvscacl  21344  mhpind  40283
  Copyright terms: Public domain W3C validator