MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismhp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismhp2 20929
Description: Deduce a homogeneous polynomial from its properties. (Contributed by SN, 25-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpfval.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpfval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpfval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mhpfval.0 0 = (0g𝑅)
mhpfval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhpfval.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpfval.r (𝜑𝑅𝑊)
mhpval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1 (𝜑𝑋𝐵)
ismhp2.2 (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
Assertion
Ref Expression
ismhp2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,   ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐵(𝑔,)   𝐷()   𝑃(𝑔,)   𝑅(𝑔,)   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑔)   𝑁()   𝑉(𝑔,)   𝑊(𝑔,)   𝑋(𝑔,)   0 (𝑔,)

Proof of Theorem ismhp2
StepHypRef Expression
1 ismhp2.1 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
2 ismhp2.2 . 2 (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3 mhpfval.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
4 mhpfval.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5 mhpfval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
6 mhpfval.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
7 mhpfval.d . . 3 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
8 mhpfval.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
9 mhpfval.r . . 3 (𝜑𝑅𝑊)
10 mhpval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ismhp 20928 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
121, 2, 11mpbir2and 713 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  {crab 3057  wss 3841  ccnv 5518  cima 5522  cfv 6333  (class class class)co 7164   supp csupp 7849  m cmap 8430  Fincfn 8548  cn 11709  0cn0 11969  Basecbs 16579  s cress 16580  0gc0g 16809   Σg cgsu 16810  fldccnfld 20210   mPoly cmpl 20712   mHomP cmhp 20916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-1cn 10666  ax-addcl 10668
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-nn 11710  df-n0 11970  df-mhp 20920
This theorem is referenced by:  mhp0cl  20933  mhpaddcl  20938  mhpinvcl  20939  mhpvscacl  20941  mhpind  39846
  Copyright terms: Public domain W3C validator