Theorem ismhp2 22272

Description: Deduce a homogeneous polynomial from its properties. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismhp2.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})

Assertion

Ref	Expression
ismhp2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   𝑅(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem ismhp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhp2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		ismhp2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3		ismhp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
4		ismhp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		ismhp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		ismhp.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		ismhp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		ismhp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	ismhp 22271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10	1, 2, 9	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ⊆ wss 3913  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8155   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  ℂ_fldccnfld 21490   mPoly cmpl 22024   mHomP cmhp 22264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-1cn 11157  ax-addcl 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-nn 12233  df-n0 12504  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-mpl 22029  df-mhp 22267

This theorem is referenced by:  mhp0cl  22277  mhpaddcl  22282  mhpinvcl  22283  mhpvscacl  22285  mhpind  43217