Theorem ismhp2 22370

Description: Deduce a homogeneous polynomial from its properties. (Contributed by SN, 25-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ismhp2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ismhp2.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})

Assertion

Ref	Expression
ismhp2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔, ℎ)   𝐵(𝑔, ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔, ℎ)   𝑅(𝑔, ℎ)   𝐻(𝑔, ℎ)   𝐼(𝑔)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑔, ℎ)   0 (𝑔, ℎ)

Proof of Theorem ismhp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismhp2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		ismhp2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3		ismhp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
4		ismhp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		ismhp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		ismhp.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		ismhp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
8		ismhp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	ismhp 22369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
10	1, 2, 9	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   supp csupp 8159   ↑_m cmap 8827  Fincfn 8953  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  0_gc0g 17525   Σ_g cgsu 17526  ℂ_fldccnfld 21586   mPoly cmpl 22122   mHomP cmhp 22362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-1cn 11183  ax-addcl 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-nn 12259  df-n0 12530  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-mpl 22127  df-mhp 22365

This theorem is used by:  mhp0cl  22375  mhpaddcl  22380  mhpinvcl  22381  mhpvscacl  22383  mhpind  43441