Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrtrcl4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfrtrcl4 38729
Description: Reflexive-transitive closure of a relation, expressed as the union of the zeroth power and the transitive closure. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrtrcl4 t* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))

Proof of Theorem dfrtrcl4
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrtrcl3 38724 . 2 t* = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))
2 df-n0 11543 . . . . . . 7 0 = (ℕ ∪ {0})
32equncomi 3923 . . . . . 6 0 = ({0} ∪ ℕ)
4 iuneq1 4692 . . . . . 6 (ℕ0 = ({0} ∪ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟𝑟𝑛))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟𝑟𝑛)
6 iunxun 4764 . . . . 5 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟𝑟𝑛) = ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
75, 6eqtri 2787 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
8 c0ex 10291 . . . . . . 7 0 ∈ V
9 oveq2 6854 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0))
108, 9iunxsn 4761 . . . . . 6 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0)
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) = (𝑟𝑟0))
12 oveq1 6853 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥𝑟𝑛) = (𝑟𝑟𝑛))
1312iuneq2d 4705 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑟 𝑛 ∈ ℕ (𝑥𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
14 dftrcl3 38711 . . . . . . 7 t+ = (𝑥 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑥𝑟𝑛))
15 nnex 11285 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
16 ovex 6878 . . . . . . . 8 (𝑟𝑟𝑛) ∈ V
1715, 16iunex 7349 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) ∈ V
1813, 14, 17fvmpt 6475 . . . . . 6 (𝑟 ∈ V → (t+‘𝑟) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
1918eqcomd 2771 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = (t+‘𝑟))
2011, 19uneq12d 3932 . . . 4 (𝑟 ∈ V → ( 𝑛 ∈ {0} (𝑟𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛)) = ((𝑟𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
217, 20syl5eq 2811 . . 3 (𝑟 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = ((𝑟𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
2221mpteq2ia 4901 . 2 (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
231, 22eqtri 2787 1 t* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cun 3732  {csn 4336   ciun 4678  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6846  0cc0 10193  cn 11278  0cn0 11542  t+ctcl 14025  t*crtcl 14026  𝑟crelexp 14059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-seq 13014  df-trcl 14027  df-rtrcl 14028  df-relexp 14060
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator