Theorem dfrtrcl4 42792

Description: Reflexive-transitive closure of a relation, expressed as the union of the zeroth power and the transitive closure. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrtrcl4	⊢ t* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))

Proof of Theorem dfrtrcl4

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrtrcl3 42787	. 2 ⊢ t* = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))
2		df-n0 12478	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
3	2	equncomi 4155	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = ({0} ∪ ℕ)
4		iuneq1 5013	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = ({0} ∪ ℕ) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟↑𝑟𝑛))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟↑𝑟𝑛)
6		iunxun 5097	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟↑𝑟𝑛) = (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
7	5, 6	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
8		c0ex 11213	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
9		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0))
10	8, 9	iunxsn 5094	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0))
12		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟𝑛))
13	12	iuneq2d 5026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑥↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
14		dftrcl3 42774	. . . . . . 7 ⊢ t+ = (𝑥 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑥↑𝑟𝑛))
15		nnex 12223	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
16		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
17	15, 16	iunex 7959	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 6998	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ V → (t+‘𝑟) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
19	18	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = (t+‘𝑟))
20	11, 19	uneq12d 4164	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ V → (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛)) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
21	7, 20	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
22	21	mpteq2ia 5251	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
23	1, 22	eqtri 2759	1 ⊢ t* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∪ cun 3946  {csn 4628  ∪ ciun 4997   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  t+ctcl 14937  t*crtcl 14938  ↑_𝑟crelexp 14971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-trcl 14939  df-rtrcl 14940  df-relexp 14972

This theorem is referenced by: (None)