Theorem dfrtrcl4 44492

Description: Reflexive-transitive closure of a relation, expressed as the union of the zeroth power and the transitive closure. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrtrcl4	⊢ t* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))

Proof of Theorem dfrtrcl4

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrtrcl3 44487	. 2 ⊢ t* = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))
2		df-n0 12511	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
3	2	equncomi 4113	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = ({0} ∪ ℕ)
4		iuneq1 4972	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = ({0} ∪ ℕ) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟↑𝑟𝑛))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟↑𝑟𝑛)
6		iunxun 5059	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟↑𝑟𝑛) = (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
7	5, 6	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
8		c0ex 11206	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
9		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0))
10	8, 9	iunxsn 5056	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0))
12		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟𝑛))
13	12	iuneq2d 4986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑥↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
14		dftrcl3 44474	. . . . . . 7 ⊢ t+ = (𝑥 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑥↑𝑟𝑛))
15		nnex 12245	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
16		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
17	15, 16	iunex 7963	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ V → (t+‘𝑟) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
19	18	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = (t+‘𝑟))
20	11, 19	uneq12d 4122	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ V → (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛)) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
21	7, 20	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
22	21	mpteq2ia 5205	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
23	1, 22	eqtri 2785	1 ⊢ t* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∪ cun 3902  {csn 4588  ∪ ciun 4955   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  t+ctcl 15029  t*crtcl 15030  ↑_𝑟crelexp 15063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-seq 14045  df-trcl 15031  df-rtrcl 15032  df-relexp 15064

This theorem is used by: (None)