Theorem dfrtrcl4 44412

Description: Reflexive-transitive closure of a relation, expressed as the union of the zeroth power and the transitive closure. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrtrcl4	⊢ t* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))

Proof of Theorem dfrtrcl4

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrtrcl3 44407	. 2 ⊢ t* = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))
2		df-n0 12504	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
3	2	equncomi 4113	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = ({0} ∪ ℕ)
4		iuneq1 4972	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 = ({0} ∪ ℕ) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟↑𝑟𝑛))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟↑𝑟𝑛)
6		iunxun 5059	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ({0} ∪ ℕ)(𝑟↑𝑟𝑛) = (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
7	5, 6	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
8		c0ex 11199	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
9		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0))
10	8, 9	iunxsn 5056	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟0))
12		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝑥↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟𝑛))
13	12	iuneq2d 4986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑥↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
14		dftrcl3 44394	. . . . . . 7 ⊢ t+ = (𝑥 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑥↑𝑟𝑛))
15		nnex 12238	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
16		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
17	15, 16	iunex 7964	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ V → (t+‘𝑟) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
19	18	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = (t+‘𝑟))
20	11, 19	uneq12d 4122	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ V → (∪ 𝑛 ∈ {0} (𝑟↑𝑟𝑛) ∪ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛)) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
21	7, 20	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
22	21	mpteq2ia 5205	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))
23	1, 22	eqtri 2784	1 ⊢ t* = (𝑟 ∈ V ↦ ((𝑟↑𝑟0) ∪ (t+‘𝑟)))

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3902  {csn 4588  ∪ ciun 4955   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  t+ctcl 15021  t*crtcl 15022  ↑_𝑟crelexp 15055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-trcl 15023  df-rtrcl 15024  df-relexp 15056

This theorem is referenced by: (None)