Theorem smndex1mnd 18835

Description: The monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) is a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1mnd	⊢ 𝑆 ∈ Mnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1mnd

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6		smndex1mgm.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1sgrp 18833	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Smgrp
8		nn0ex 12407	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	mptex 7169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
10	3, 9	eqeltri 2832	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ V
11	10	snid 4619	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ {𝐼}
12		elun1 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
14	13, 5	eleqtrri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ 𝐵
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ 𝐵)
16		coeq1 5806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ 𝑏))
17	16	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ↔ (𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏))
18		coeq2 5807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑏 ∘ 𝑎) = (𝑏 ∘ 𝐼))
19	18	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
20	17, 19	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
21	20	ralbidv 3159	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1mndlem 18834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
24	23	rgen 3053	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
26	15, 22, 25	rspcedvd 3578	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
27	14, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)
28	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18830	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
29		ssel 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)))
30		ssel 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
31	29, 30	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))))
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
33		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34		snex 5381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐼} ∈ V
35		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
36		snex 5381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
37	35, 36	iunex 7912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
38	34, 37	unex 7689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
39	5, 38	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
40		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
41	6, 40	ressplusg 17211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
42	39, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆)
43	42	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑀)
44	1, 33, 43	efmndov 18806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = (𝑎 ∘ 𝑏))
45	44	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ↔ (𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏))
46	43	oveqi 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = (𝑏(+g‘𝑀)𝑎)
47	1, 33, 40	efmndov 18806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑀)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
48	47	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑀)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
49	46, 48	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
50	49	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
51	45, 50	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
52	32, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
53	52	ralbidva 3157	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
54	53	rexbiia 3081	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
55	27, 54	mpbir 231	. 2 ⊢ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏)
56	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1bas 18831	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
57	56	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
58		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
59	57, 58	ismnddef 18661	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd ↔ (𝑆 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏)))
60	7, 55, 59	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝑆 ∈ Mnd

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ∪ ciun 4946   ↦ cmpt 5179   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ..^cfzo 13570   mod cmo 13789  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  +_gcplusg 17177  Smgrpcsgrp 18643  Mndcmnd 18659  EndoFMndcefmnd 18793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-tset 17196  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-efmnd 18794

This theorem is referenced by: (None)