MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mnd 18833
Description: The monoid of endofunctions on 0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾) is a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1mnd 𝑆 ∈ Mnd
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1mnd
Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . 3 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2 smndex1ibas.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 smndex1ibas.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
5 smndex1mgm.b . . 3 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
6 smndex1mgm.s . . 3 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6smndex1sgrp 18831 . 2 𝑆 ∈ Smgrp
8 nn0ex 12485 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
98mptex 7227 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
103, 9eqeltri 2828 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
1110snid 4664 . . . . . 6 𝐼 ∈ {𝐼}
12 elun1 4176 . . . . . 6 (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
1413, 5eleqtrri 2831 . . . 4 𝐼𝐵
15 id 22 . . . . 5 (𝐼𝐵𝐼𝐵)
16 coeq1 5857 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐼 → (𝑎𝑏) = (𝐼𝑏))
1716eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎𝑏) = 𝑏 ↔ (𝐼𝑏) = 𝑏))
18 coeq2 5858 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐼 → (𝑏𝑎) = (𝑏𝐼))
1918eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑏𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏𝐼) = 𝑏))
2017, 19anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → (((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏)))
2120ralbidv 3176 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → (∀𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏𝐵 ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏)))
2221adantl 481 . . . . 5 ((𝐼𝐵𝑎 = 𝐼) → (∀𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏𝐵 ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏)))
231, 2, 3, 4, 5, 6smndex1mndlem 18832 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏))
2423rgen 3062 . . . . . 6 𝑏𝐵 ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏)
2524a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝐵 → ∀𝑏𝐵 ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏))
2615, 22, 25rspcedvd 3614 . . . 4 (𝐼𝐵 → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏))
2714, 26ax-mp 5 . . 3 𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏)
281, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18828 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
29 ssel 3975 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝑀)))
30 ssel 3975 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
3129, 30anim12d 608 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
33 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34 snex 5431 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐼} ∈ V
35 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑁) ∈ V
36 snex 5431 . . . . . . . . . . . . . 14 {(𝐺𝑛)} ∈ V
3735, 36iunex 7959 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ∈ V
3834, 37unex 7737 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ∈ V
395, 38eqeltri 2828 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
40 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑀) = (+g𝑀)
416, 40ressplusg 17242 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
4239, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (+g𝑀) = (+g𝑆)
4342eqcomi 2740 . . . . . . . . 9 (+g𝑆) = (+g𝑀)
441, 33, 43efmndov 18804 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g𝑆)𝑏) = (𝑎𝑏))
4544eqeq1d 2733 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ↔ (𝑎𝑏) = 𝑏))
4643oveqi 7425 . . . . . . . . 9 (𝑏(+g𝑆)𝑎) = (𝑏(+g𝑀)𝑎)
471, 33, 40efmndov 18804 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g𝑀)𝑎) = (𝑏𝑎))
4847ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g𝑀)𝑎) = (𝑏𝑎))
4946, 48eqtrid 2783 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g𝑆)𝑎) = (𝑏𝑎))
5049eqeq1d 2733 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏𝑎) = 𝑏))
5145, 50anbi12d 630 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏)))
5232, 51syl 17 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏)))
5352ralbidva 3174 . . . 4 (𝑎𝐵 → (∀𝑏𝐵 ((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏)))
5453rexbiia 3091 . . 3 (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏))
5527, 54mpbir 230 . 2 𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏)
561, 2, 3, 4, 5, 6smndex1bas 18829 . . . 4 (Base‘𝑆) = 𝐵
5756eqcomi 2740 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
58 eqid 2731 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
5957, 58ismnddef 18667 . 2 (𝑆 ∈ Mnd ↔ (𝑆 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏)))
607, 55, 59mpbir2an 708 1 𝑆 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  cun 3946  wss 3948  {csn 4628   ciun 4997  cmpt 5231  ccom 5680  cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  cn 12219  0cn0 12479  ..^cfzo 13634   mod cmo 13841  Basecbs 17151  s cress 17180  +gcplusg 17204  Smgrpcsgrp 18649  Mndcmnd 18665  EndoFMndcefmnd 18791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-tset 17223  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-efmnd 18792
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator