Theorem smndex1mnd 18833

Description: The monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) is a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1mnd	⊢ 𝑆 ∈ Mnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1mnd

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6		smndex1mgm.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1sgrp 18831	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Smgrp
8		nn0ex 12485	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	mptex 7227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
10	3, 9	eqeltri 2828	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ V
11	10	snid 4664	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ {𝐼}
12		elun1 4176	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
14	13, 5	eleqtrri 2831	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ 𝐵
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ 𝐵)
16		coeq1 5857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ 𝑏))
17	16	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ↔ (𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏))
18		coeq2 5858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑏 ∘ 𝑎) = (𝑏 ∘ 𝐼))
19	18	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
20	17, 19	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
21	20	ralbidv 3176	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1mndlem 18832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
24	23	rgen 3062	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
26	15, 22, 25	rspcedvd 3614	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
27	14, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)
28	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18828	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
29		ssel 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)))
30		ssel 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
31	29, 30	anim12d 608	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))))
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
33		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34		snex 5431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐼} ∈ V
35		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
36		snex 5431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
37	35, 36	iunex 7959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
38	34, 37	unex 7737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
39	5, 38	eqeltri 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
40		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
41	6, 40	ressplusg 17242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
42	39, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆)
43	42	eqcomi 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑀)
44	1, 33, 43	efmndov 18804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = (𝑎 ∘ 𝑏))
45	44	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ↔ (𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏))
46	43	oveqi 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = (𝑏(+g‘𝑀)𝑎)
47	1, 33, 40	efmndov 18804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑀)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
48	47	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑀)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
49	46, 48	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
50	49	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
51	45, 50	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
52	32, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
53	52	ralbidva 3174	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
54	53	rexbiia 3091	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
55	27, 54	mpbir 230	. 2 ⊢ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏)
56	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1bas 18829	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
57	56	eqcomi 2740	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
58		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
59	57, 58	ismnddef 18667	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd ↔ (𝑆 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏)))
60	7, 55, 59	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝑆 ∈ Mnd

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ∪ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  ℕcn 12219  ℕ₀cn0 12479  ..^cfzo 13634   mod cmo 13841  Basecbs 17151   ↾_s cress 17180  +_gcplusg 17204  Smgrpcsgrp 18649  Mndcmnd 18665  EndoFMndcefmnd 18791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-tset 17223  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-efmnd 18792

This theorem is referenced by: (None)