MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mnd 18835
Description: The monoid of endofunctions on β„•0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (πΊβ€˜πΎ) is a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1mnd 𝑆 ∈ Mnd
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1mnd
Dummy variables 𝑏 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . 3 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
2 smndex1ibas.n . . 3 𝑁 ∈ β„•
3 smndex1ibas.i . . 3 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
5 smndex1mgm.b . . 3 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
6 smndex1mgm.s . . 3 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6smndex1sgrp 18833 . 2 𝑆 ∈ Smgrp
8 nn0ex 12482 . . . . . . . . 9 β„•0 ∈ V
98mptex 7220 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁)) ∈ V
103, 9eqeltri 2823 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
1110snid 4659 . . . . . 6 𝐼 ∈ {𝐼}
12 elun1 4171 . . . . . 6 (𝐼 ∈ {𝐼} β†’ 𝐼 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 𝐼 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
1413, 5eleqtrri 2826 . . . 4 𝐼 ∈ 𝐡
15 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
16 coeq1 5851 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ 𝑏))
1716eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ↔ (𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏))
18 coeq2 5852 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝑏 ∘ π‘Ž) = (𝑏 ∘ 𝐼))
1918eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
2017, 19anbi12d 630 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏) ↔ ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
2120ralbidv 3171 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
2221adantl 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
231, 2, 3, 4, 5, 6smndex1mndlem 18834 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
2423rgen 3057 . . . . . 6 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)
2524a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
2615, 22, 25rspcedvd 3608 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏))
2714, 26ax-mp 5 . . 3 βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)
281, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18830 . . . . . . 7 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
29 ssel 3970 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
30 ssel 3970 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
3129, 30anim12d 608 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
33 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
34 snex 5424 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐼} ∈ V
35 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑁) ∈ V
36 snex 5424 . . . . . . . . . . . . . 14 {(πΊβ€˜π‘›)} ∈ V
3735, 36iunex 7954 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ∈ V
3834, 37unex 7730 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ∈ V
395, 38eqeltri 2823 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
40 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
416, 40ressplusg 17244 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†))
4239, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†)
4342eqcomi 2735 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘€)
441, 33, 43efmndov 18806 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = (π‘Ž ∘ 𝑏))
4544eqeq1d 2728 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏))
4643oveqi 7418 . . . . . . . . 9 (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = (𝑏(+gβ€˜π‘€)π‘Ž)
471, 33, 40efmndov 18806 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘€)π‘Ž) = (𝑏 ∘ π‘Ž))
4847ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘€)π‘Ž) = (𝑏 ∘ π‘Ž))
4946, 48eqtrid 2778 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = (𝑏 ∘ π‘Ž))
5049eqeq1d 2728 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏))
5145, 50anbi12d 630 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)))
5232, 51syl 17 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)))
5352ralbidva 3169 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)))
5453rexbiia 3086 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏))
5527, 54mpbir 230 . 2 βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏)
561, 2, 3, 4, 5, 6smndex1bas 18831 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = 𝐡
5756eqcomi 2735 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
58 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
5957, 58ismnddef 18669 . 2 (𝑆 ∈ Mnd ↔ (𝑆 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏)))
607, 55, 59mpbir2an 708 1 𝑆 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βˆͺ ciun 4990   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  ..^cfzo 13633   mod cmo 13840  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  Smgrpcsgrp 18651  Mndcmnd 18667  EndoFMndcefmnd 18793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-efmnd 18794
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator