Theorem smndex1mnd 18872

Description: The monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) is a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1mnd	⊢ 𝑆 ∈ Mnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1mnd

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6		smndex1mgm.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1sgrp 18870	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Smgrp
8		nn0ex 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	mptex 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
10	3, 9	eqeltri 2833	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ V
11	10	snid 4607	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ {𝐼}
12		elun1 4123	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
14	13, 5	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ 𝐵
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ 𝐵)
16		coeq1 5806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ 𝑏))
17	16	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ↔ (𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏))
18		coeq2 5807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑏 ∘ 𝑎) = (𝑏 ∘ 𝐼))
19	18	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
20	17, 19	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
21	20	ralbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1mndlem 18871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
24	23	rgen 3054	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
26	15, 22, 25	rspcedvd 3567	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
27	14, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)
28	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18867	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
29		ssel 3916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)))
30		ssel 3916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
31	29, 30	anim12d 610	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))))
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
33		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34		snex 5376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐼} ∈ V
35		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
36		snex 5376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
37	35, 36	iunex 7914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
38	34, 37	unex 7691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
39	5, 38	eqeltri 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
40		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
41	6, 40	ressplusg 17245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
42	39, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆)
43	42	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑀)
44	1, 33, 43	efmndov 18840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = (𝑎 ∘ 𝑏))
45	44	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ↔ (𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏))
46	43	oveqi 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = (𝑏(+g‘𝑀)𝑎)
47	1, 33, 40	efmndov 18840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑀)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
48	47	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑀)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
49	46, 48	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
50	49	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
51	45, 50	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
52	32, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
53	52	ralbidva 3159	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
54	53	rexbiia 3083	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
55	27, 54	mpbir 231	. 2 ⊢ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏)
56	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1bas 18868	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
57	56	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
58		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
59	57, 58	ismnddef 18695	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd ↔ (𝑆 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏)))
60	7, 55, 59	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑆 ∈ Mnd

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ∪ ciun 4934   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  +_gcplusg 17211  Smgrpcsgrp 18677  Mndcmnd 18693  EndoFMndcefmnd 18827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-efmnd 18828

This theorem is referenced by: (None)