MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mnd 18936
Description: The monoid of endofunctions on 0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾) is a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1mnd 𝑆 ∈ Mnd
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1mnd
Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . 3 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2 smndex1ibas.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 smndex1ibas.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
5 smndex1mgm.b . . 3 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
6 smndex1mgm.s . . 3 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6smndex1sgrp 18934 . 2 𝑆 ∈ Smgrp
8 nn0ex 12530 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
98mptex 7243 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
103, 9eqeltri 2835 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
1110snid 4667 . . . . . 6 𝐼 ∈ {𝐼}
12 elun1 4192 . . . . . 6 (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
1413, 5eleqtrri 2838 . . . 4 𝐼𝐵
15 id 22 . . . . 5 (𝐼𝐵𝐼𝐵)
16 coeq1 5871 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐼 → (𝑎𝑏) = (𝐼𝑏))
1716eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎𝑏) = 𝑏 ↔ (𝐼𝑏) = 𝑏))
18 coeq2 5872 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐼 → (𝑏𝑎) = (𝑏𝐼))
1918eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑏𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏𝐼) = 𝑏))
2017, 19anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → (((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏)))
2120ralbidv 3176 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐼 → (∀𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏𝐵 ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏)))
2221adantl 481 . . . . 5 ((𝐼𝐵𝑎 = 𝐼) → (∀𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏𝐵 ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏)))
231, 2, 3, 4, 5, 6smndex1mndlem 18935 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏))
2423rgen 3061 . . . . . 6 𝑏𝐵 ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏)
2524a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝐵 → ∀𝑏𝐵 ((𝐼𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝐼) = 𝑏))
2615, 22, 25rspcedvd 3624 . . . 4 (𝐼𝐵 → ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏))
2714, 26ax-mp 5 . . 3 𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏)
281, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18931 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
29 ssel 3989 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝑀)))
30 ssel 3989 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
3129, 30anim12d 609 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
33 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34 snex 5442 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐼} ∈ V
35 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑁) ∈ V
36 snex 5442 . . . . . . . . . . . . . 14 {(𝐺𝑛)} ∈ V
3735, 36iunex 7992 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ∈ V
3834, 37unex 7763 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ∈ V
395, 38eqeltri 2835 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ V
40 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑀) = (+g𝑀)
416, 40ressplusg 17336 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
4239, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (+g𝑀) = (+g𝑆)
4342eqcomi 2744 . . . . . . . . 9 (+g𝑆) = (+g𝑀)
441, 33, 43efmndov 18907 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g𝑆)𝑏) = (𝑎𝑏))
4544eqeq1d 2737 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ↔ (𝑎𝑏) = 𝑏))
4643oveqi 7444 . . . . . . . . 9 (𝑏(+g𝑆)𝑎) = (𝑏(+g𝑀)𝑎)
471, 33, 40efmndov 18907 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g𝑀)𝑎) = (𝑏𝑎))
4847ancoms 458 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g𝑀)𝑎) = (𝑏𝑎))
4946, 48eqtrid 2787 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g𝑆)𝑎) = (𝑏𝑎))
5049eqeq1d 2737 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏𝑎) = 𝑏))
5145, 50anbi12d 632 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏)))
5232, 51syl 17 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏)))
5352ralbidva 3174 . . . 4 (𝑎𝐵 → (∀𝑏𝐵 ((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏)))
5453rexbiia 3090 . . 3 (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏𝑎) = 𝑏))
5527, 54mpbir 231 . 2 𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏)
561, 2, 3, 4, 5, 6smndex1bas 18932 . . . 4 (Base‘𝑆) = 𝐵
5756eqcomi 2744 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
58 eqid 2735 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
5957, 58ismnddef 18762 . 2 (𝑆 ∈ Mnd ↔ (𝑆 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑎(+g𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑆)𝑎) = 𝑏)))
607, 55, 59mpbir2an 711 1 𝑆 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cun 3961  wss 3963  {csn 4631   ciun 4996  cmpt 5231  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  ..^cfzo 13691   mod cmo 13906  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  Smgrpcsgrp 18744  Mndcmnd 18760  EndoFMndcefmnd 18894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-efmnd 18895
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator