MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mnd 18721
Description: The monoid of endofunctions on β„•0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (πΊβ€˜πΎ) is a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1mnd 𝑆 ∈ Mnd
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1mnd
Dummy variables 𝑏 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . 3 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
2 smndex1ibas.n . . 3 𝑁 ∈ β„•
3 smndex1ibas.i . . 3 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
5 smndex1mgm.b . . 3 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
6 smndex1mgm.s . . 3 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6smndex1sgrp 18719 . 2 𝑆 ∈ Smgrp
8 nn0ex 12420 . . . . . . . . 9 β„•0 ∈ V
98mptex 7174 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁)) ∈ V
103, 9eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
1110snid 4623 . . . . . 6 𝐼 ∈ {𝐼}
12 elun1 4137 . . . . . 6 (𝐼 ∈ {𝐼} β†’ 𝐼 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 𝐼 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
1413, 5eleqtrri 2837 . . . 4 𝐼 ∈ 𝐡
15 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
16 coeq1 5814 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ 𝑏))
1716eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ↔ (𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏))
18 coeq2 5815 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝑏 ∘ π‘Ž) = (𝑏 ∘ 𝐼))
1918eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
2017, 19anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏) ↔ ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
2120ralbidv 3175 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
2221adantl 483 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
231, 2, 3, 4, 5, 6smndex1mndlem 18720 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
2423rgen 3067 . . . . . 6 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)
2524a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
2615, 22, 25rspcedvd 3584 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏))
2714, 26ax-mp 5 . . 3 βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)
281, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18716 . . . . . . 7 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
29 ssel 3938 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
30 ssel 3938 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
3129, 30anim12d 610 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
33 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
34 snex 5389 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐼} ∈ V
35 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑁) ∈ V
36 snex 5389 . . . . . . . . . . . . . 14 {(πΊβ€˜π‘›)} ∈ V
3735, 36iunex 7902 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ∈ V
3834, 37unex 7681 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ∈ V
395, 38eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
40 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
416, 40ressplusg 17172 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†))
4239, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†)
4342eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘€)
441, 33, 43efmndov 18692 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = (π‘Ž ∘ 𝑏))
4544eqeq1d 2739 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏))
4643oveqi 7371 . . . . . . . . 9 (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = (𝑏(+gβ€˜π‘€)π‘Ž)
471, 33, 40efmndov 18692 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘€)π‘Ž) = (𝑏 ∘ π‘Ž))
4847ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘€)π‘Ž) = (𝑏 ∘ π‘Ž))
4946, 48eqtrid 2789 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = (𝑏 ∘ π‘Ž))
5049eqeq1d 2739 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏))
5145, 50anbi12d 632 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)))
5232, 51syl 17 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)))
5352ralbidva 3173 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)))
5453rexbiia 3096 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏))
5527, 54mpbir 230 . 2 βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏)
561, 2, 3, 4, 5, 6smndex1bas 18717 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = 𝐡
5756eqcomi 2746 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
58 eqid 2737 . . 3 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
5957, 58ismnddef 18559 . 2 (𝑆 ∈ Mnd ↔ (𝑆 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏)))
607, 55, 59mpbir2an 710 1 𝑆 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βˆͺ ciun 4955   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  β„•cn 12154  β„•0cn0 12414  ..^cfzo 13568   mod cmo 13775  Basecbs 17084   β†Ύs cress 17113  +gcplusg 17134  Smgrpcsgrp 18546  Mndcmnd 18557  EndoFMndcefmnd 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-tset 17153  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-efmnd 18680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator