Theorem smndex1mnd 18881

Description: The monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) is a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1mnd	⊢ 𝑆 ∈ Mnd

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1mnd

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2		smndex1ibas.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		smndex1ibas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4		smndex1ibas.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
5		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
6		smndex1mgm.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1sgrp 18879	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Smgrp
8		nn0ex 12443	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	mptex 7178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
10	3, 9	eqeltri 2832	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ V
11	10	snid 4606	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ {𝐼}
12		elun1 4122	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
14	13, 5	eleqtrri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ 𝐵
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ 𝐵)
16		coeq1 5812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎 ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ 𝑏))
17	16	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ↔ (𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏))
18		coeq2 5813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑏 ∘ 𝑎) = (𝑏 ∘ 𝐼))
19	18	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
20	17, 19	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
21	20	ralbidv 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1mndlem 18880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
24	23	rgen 3053	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
26	15, 22, 25	rspcedvd 3566	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
27	14, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)
28	1, 2, 3, 4, 5	smndex1basss 18876	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
29		ssel 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)))
30		ssel 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
31	29, 30	anim12d 610	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))))
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
33		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34		snex 5381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐼} ∈ V
35		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
36		snex 5381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
37	35, 36	iunex 7921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
38	34, 37	unex 7698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
39	5, 38	eqeltri 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ V
40		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
41	6, 40	ressplusg 17254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
42	39, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆)
43	42	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑀)
44	1, 33, 43	efmndov 18849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = (𝑎 ∘ 𝑏))
45	44	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ↔ (𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏))
46	43	oveqi 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = (𝑏(+g‘𝑀)𝑎)
47	1, 33, 40	efmndov 18849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑀)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
48	47	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑀)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
49	46, 48	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = (𝑏 ∘ 𝑎))
50	49	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
51	45, 50	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
52	32, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
53	52	ralbidva 3158	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏)))
54	53	rexbiia 3082	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝑎) = 𝑏))
55	27, 54	mpbir 231	. 2 ⊢ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏)
56	1, 2, 3, 4, 5, 6	smndex1bas 18877	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
57	56	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
58		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
59	57, 58	ismnddef 18704	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd ↔ (𝑆 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎(+g‘𝑆)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑆)𝑎) = 𝑏)))
60	7, 55, 59	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑆 ∈ Mnd

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ∪ ciun 4933   ↦ cmpt 5166   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ..^cfzo 13608   mod cmo 13828  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  Smgrpcsgrp 18686  Mndcmnd 18702  EndoFMndcefmnd 18836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-efmnd 18837

This theorem is referenced by: (None)