MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mnd 18864
Description: The monoid of endofunctions on β„•0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (πΊβ€˜πΎ) is a monoid. (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1mnd 𝑆 ∈ Mnd
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1mnd
Dummy variables 𝑏 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . 3 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
2 smndex1ibas.n . . 3 𝑁 ∈ β„•
3 smndex1ibas.i . . 3 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
5 smndex1mgm.b . . 3 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
6 smndex1mgm.s . . 3 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6smndex1sgrp 18862 . 2 𝑆 ∈ Smgrp
8 nn0ex 12506 . . . . . . . . 9 β„•0 ∈ V
98mptex 7230 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁)) ∈ V
103, 9eqeltri 2821 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
1110snid 4660 . . . . . 6 𝐼 ∈ {𝐼}
12 elun1 4170 . . . . . 6 (𝐼 ∈ {𝐼} β†’ 𝐼 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 𝐼 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
1413, 5eleqtrri 2824 . . . 4 𝐼 ∈ 𝐡
15 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
16 coeq1 5854 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ 𝑏))
1716eqeq1d 2727 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ↔ (𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏))
18 coeq2 5855 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝑏 ∘ π‘Ž) = (𝑏 ∘ 𝐼))
1918eqeq1d 2727 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
2017, 19anbi12d 630 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏) ↔ ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
2120ralbidv 3168 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
2221adantl 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž = 𝐼) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)))
231, 2, 3, 4, 5, 6smndex1mndlem 18863 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
2423rgen 3053 . . . . . 6 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏)
2524a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝐼 ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ 𝐼) = 𝑏))
2615, 22, 25rspcedvd 3604 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏))
2714, 26ax-mp 5 . . 3 βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)
281, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18859 . . . . . . 7 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
29 ssel 3966 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
30 ssel 3966 . . . . . . . 8 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
3129, 30anim12d 607 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))))
3228, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
33 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
34 snex 5427 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐼} ∈ V
35 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^𝑁) ∈ V
36 snex 5427 . . . . . . . . . . . . . 14 {(πΊβ€˜π‘›)} ∈ V
3735, 36iunex 7968 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ∈ V
3834, 37unex 7745 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ∈ V
395, 38eqeltri 2821 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
40 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
416, 40ressplusg 17268 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†))
4239, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†)
4342eqcomi 2734 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘€)
441, 33, 43efmndov 18835 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = (π‘Ž ∘ 𝑏))
4544eqeq1d 2727 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏))
4643oveqi 7428 . . . . . . . . 9 (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = (𝑏(+gβ€˜π‘€)π‘Ž)
471, 33, 40efmndov 18835 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘€)π‘Ž) = (𝑏 ∘ π‘Ž))
4847ancoms 457 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘€)π‘Ž) = (𝑏 ∘ π‘Ž))
4946, 48eqtrid 2777 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = (𝑏 ∘ π‘Ž))
5049eqeq1d 2727 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏 ↔ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏))
5145, 50anbi12d 630 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)))
5232, 51syl 17 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)))
5352ralbidva 3166 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏)))
5453rexbiia 3082 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏 ∘ π‘Ž) = 𝑏))
5527, 54mpbir 230 . 2 βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏)
561, 2, 3, 4, 5, 6smndex1bas 18860 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = 𝐡
5756eqcomi 2734 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
58 eqid 2725 . . 3 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
5957, 58ismnddef 18693 . 2 (𝑆 ∈ Mnd ↔ (𝑆 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((π‘Ž(+gβ€˜π‘†)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘†)π‘Ž) = 𝑏)))
607, 55, 59mpbir2an 709 1 𝑆 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βˆͺ cun 3938   βŠ† wss 3940  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5226   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  ..^cfzo 13657   mod cmo 13864  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  +gcplusg 17230  Smgrpcsgrp 18675  Mndcmnd 18691  EndoFMndcefmnd 18822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-tset 17249  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-efmnd 18823
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator