Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trclfvdecomr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trclfvdecomr 38544
Description: The transitive closure of a relation may be decomposed into a union of the relation and the composition of the relation with its transitive closure. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
trclfvdecomr (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))

Proof of Theorem trclfvdecomr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3364 . . 3 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 oveq1 6803 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
32iuneq2d 4682 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
4 dftrcl3 38536 . . . 4 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
5 nnex 11232 . . . . 5 ℕ ∈ V
6 ovex 6827 . . . . 5 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
75, 6iunex 7298 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
83, 4, 7fvmpt 6426 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
91, 8syl 17 . 2 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
10 nnuz 11930 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
11 2eluzge1 11941 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘1)
12 uzsplit 12619 . . . . . . 7 (2 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘1) = ((1...(2 − 1)) ∪ (ℤ‘2)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (ℤ‘1) = ((1...(2 − 1)) ∪ (ℤ‘2))
14 2m1e1 11342 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1514oveq2i 6807 . . . . . . . 8 (1...(2 − 1)) = (1...1)
16 1z 11614 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
17 fzsn 12590 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...1) = {1}
1915, 18eqtri 2793 . . . . . . 7 (1...(2 − 1)) = {1}
2019uneq1i 3914 . . . . . 6 ((1...(2 − 1)) ∪ (ℤ‘2)) = ({1} ∪ (ℤ‘2))
2110, 13, 203eqtri 2797 . . . . 5 ℕ = ({1} ∪ (ℤ‘2))
22 iuneq1 4669 . . . . 5 (ℕ = ({1} ∪ (ℤ‘2)) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({1} ∪ (ℤ‘2))(𝑅𝑟𝑛))
2321, 22ax-mp 5 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({1} ∪ (ℤ‘2))(𝑅𝑟𝑛)
24 iunxun 4740 . . . 4 𝑛 ∈ ({1} ∪ (ℤ‘2))(𝑅𝑟𝑛) = ( 𝑛 ∈ {1} (𝑅𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
25 1ex 10241 . . . . . 6 1 ∈ V
26 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
2725, 26iunxsn 4738 . . . . 5 𝑛 ∈ {1} (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1)
2827uneq1i 3914 . . . 4 ( 𝑛 ∈ {1} (𝑅𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛)) = ((𝑅𝑟1) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
2923, 24, 283eqtri 2797 . . 3 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟1) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
30 relexp1g 13974 . . . 4 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
31 oveq1 6803 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑚) = (𝑅𝑟𝑚))
3231iuneq2d 4682 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑅 𝑚 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑚) = 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚))
33 dftrcl3 38536 . . . . . . . . 9 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑚 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑚))
34 ovex 6827 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑟𝑚) ∈ V
355, 34iunex 7298 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∈ V
3632, 33, 35fvmpt 6426 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚))
371, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚))
3837coeq1d 5421 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
39 coiun1 38468 . . . . . . 7 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = 𝑚 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅)
40 uz2m1nn 11971 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
4140adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
42 eluzp1p1 11919 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
4342, 10eleq2s 2868 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
44 1p1e2 11341 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
4544fveq2i 6336 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
4643, 45syl6eleq 2860 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2))
4746adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2))
48 oveq2 6804 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑅𝑟𝑚) = (𝑅𝑟(𝑛 − 1)))
4948coeq1d 5421 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 − 1) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
50493ad2ant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑚 = (𝑛 − 1)) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
51 oveq2 6804 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
52513ad2ant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑚 + 1)) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
53 relexpsucnnr 13973 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
5453eqcomd 2777 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
55 relexpsucnnr 13973 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ) → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
5640, 55sylan2 580 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
57 eluzelcn 11905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → 𝑛 ∈ ℂ)
58 npcan1 10661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
59 oveq2 6804 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛 → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = (𝑅𝑟𝑛))
6057, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = (𝑅𝑟𝑛))
6160eqeq1d 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅) ↔ (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅)))
6261adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅) ↔ (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅)))
6356, 62mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
6441, 47, 50, 52, 54, 63cbviuneq12dv 38478 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 𝑚 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
6539, 64syl5eq 2817 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
6638, 65eqtrd 2805 . . . . 5 (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
6766eqcomd 2777 . . . 4 (𝑅𝑉 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛) = ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅))
6830, 67uneq12d 3919 . . 3 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑟1) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))
6929, 68syl5eq 2817 . 2 (𝑅𝑉 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))
709, 69eqtrd 2805 1 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cun 3721  {csn 4317   ciun 4655  ccom 5254  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  1c1 10143   + caddc 10145  cmin 10472  cn 11226  2c2 11276  cz 11584  cuz 11893  ...cfz 12533  t+ctcl 13934  𝑟crelexp 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-seq 13009  df-trcl 13936  df-relexp 13969
This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  38545  dmtrclfvRP  38546  frege124d  38577  frege131d  38580
  Copyright terms: Public domain W3C validator