Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trclfvdecomr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trclfvdecomr 43219
Description: The transitive closure of a relation may be decomposed into a union of the relation and the composition of the relation with its transitive closure. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
trclfvdecomr (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))

Proof of Theorem trclfvdecomr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3482 . . 3 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 oveq1 7420 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
32iuneq2d 5021 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
4 dftrcl3 43211 . . . 4 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
5 nnex 12243 . . . . 5 ℕ ∈ V
6 ovex 7446 . . . . 5 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
75, 6iunex 7966 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
83, 4, 7fvmpt 6998 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
91, 8syl 17 . 2 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
10 nnuz 12890 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
11 2eluzge1 12903 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘1)
12 uzsplit 13600 . . . . . . 7 (2 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘1) = ((1...(2 − 1)) ∪ (ℤ‘2)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (ℤ‘1) = ((1...(2 − 1)) ∪ (ℤ‘2))
14 2m1e1 12363 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1514oveq2i 7424 . . . . . . . 8 (1...(2 − 1)) = (1...1)
16 1z 12617 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
17 fzsn 13570 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...1) = {1}
1915, 18eqtri 2753 . . . . . . 7 (1...(2 − 1)) = {1}
2019uneq1i 4153 . . . . . 6 ((1...(2 − 1)) ∪ (ℤ‘2)) = ({1} ∪ (ℤ‘2))
2110, 13, 203eqtri 2757 . . . . 5 ℕ = ({1} ∪ (ℤ‘2))
22 iuneq1 5008 . . . . 5 (ℕ = ({1} ∪ (ℤ‘2)) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({1} ∪ (ℤ‘2))(𝑅𝑟𝑛))
2321, 22ax-mp 5 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({1} ∪ (ℤ‘2))(𝑅𝑟𝑛)
24 iunxun 5093 . . . 4 𝑛 ∈ ({1} ∪ (ℤ‘2))(𝑅𝑟𝑛) = ( 𝑛 ∈ {1} (𝑅𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
25 1ex 11235 . . . . . 6 1 ∈ V
26 oveq2 7421 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
2725, 26iunxsn 5090 . . . . 5 𝑛 ∈ {1} (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1)
2827uneq1i 4153 . . . 4 ( 𝑛 ∈ {1} (𝑅𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛)) = ((𝑅𝑟1) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
2923, 24, 283eqtri 2757 . . 3 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟1) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
30 relexp1g 15000 . . . 4 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
31 oveq1 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑚) = (𝑅𝑟𝑚))
3231iuneq2d 5021 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑅 𝑚 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑚) = 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚))
33 dftrcl3 43211 . . . . . . . . 9 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑚 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑚))
34 ovex 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑟𝑚) ∈ V
355, 34iunex 7966 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∈ V
3632, 33, 35fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚))
371, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚))
3837coeq1d 5859 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
39 coiun1 43143 . . . . . . 7 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = 𝑚 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅)
40 uz2m1nn 12932 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
4140adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
42 eluzp1p1 12875 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
4342, 10eleq2s 2843 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
44 1p1e2 12362 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
4544fveq2i 6893 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
4643, 45eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2))
4746adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2))
48 oveq2 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑅𝑟𝑚) = (𝑅𝑟(𝑛 − 1)))
4948coeq1d 5859 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 − 1) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
50493ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑚 = (𝑛 − 1)) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
51 oveq2 7421 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
52513ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑚 + 1)) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
53 relexpsucnnr 14999 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
5453eqcomd 2731 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
55 relexpsucnnr 14999 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ) → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
5640, 55sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
57 eluzelcn 12859 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → 𝑛 ∈ ℂ)
58 npcan1 11664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
59 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛 → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = (𝑅𝑟𝑛))
6057, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = (𝑅𝑟𝑛))
6160eqeq1d 2727 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅) ↔ (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅)))
6261adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅) ↔ (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅)))
6356, 62mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
6441, 47, 50, 52, 54, 63cbviuneq12dv 43153 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 𝑚 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
6539, 64eqtrid 2777 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
6638, 65eqtrd 2765 . . . . 5 (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
6766eqcomd 2731 . . . 4 (𝑅𝑉 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛) = ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅))
6830, 67uneq12d 4158 . . 3 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑟1) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))
6929, 68eqtrid 2777 . 2 (𝑅𝑉 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))
709, 69eqtrd 2765 1 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  cun 3939  {csn 4625   ciun 4992  ccom 5677  cfv 6543  (class class class)co 7413  cc 11131  1c1 11134   + caddc 11136  cmin 11469  cn 12237  2c2 12292  cz 12583  cuz 12847  ...cfz 13511  t+ctcl 14959  𝑟crelexp 14993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-seq 13994  df-trcl 14961  df-relexp 14994
This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  43220  dmtrclfvRP  43221  frege124d  43252  frege131d  43255
  Copyright terms: Public domain W3C validator