Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trclfvdecomr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trclfvdecomr 42074
Description: The transitive closure of a relation may be decomposed into a union of the relation and the composition of the relation with its transitive closure. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
trclfvdecomr (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))

Proof of Theorem trclfvdecomr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3466 . . 3 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 oveq1 7369 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
32iuneq2d 4988 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
4 dftrcl3 42066 . . . 4 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
5 nnex 12166 . . . . 5 ℕ ∈ V
6 ovex 7395 . . . . 5 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
75, 6iunex 7906 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
83, 4, 7fvmpt 6953 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
91, 8syl 17 . 2 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
10 nnuz 12813 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
11 2eluzge1 12826 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘1)
12 uzsplit 13520 . . . . . . 7 (2 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘1) = ((1...(2 − 1)) ∪ (ℤ‘2)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (ℤ‘1) = ((1...(2 − 1)) ∪ (ℤ‘2))
14 2m1e1 12286 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1514oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (1...(2 − 1)) = (1...1)
16 1z 12540 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
17 fzsn 13490 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...1) = {1}
1915, 18eqtri 2765 . . . . . . 7 (1...(2 − 1)) = {1}
2019uneq1i 4124 . . . . . 6 ((1...(2 − 1)) ∪ (ℤ‘2)) = ({1} ∪ (ℤ‘2))
2110, 13, 203eqtri 2769 . . . . 5 ℕ = ({1} ∪ (ℤ‘2))
22 iuneq1 4975 . . . . 5 (ℕ = ({1} ∪ (ℤ‘2)) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({1} ∪ (ℤ‘2))(𝑅𝑟𝑛))
2321, 22ax-mp 5 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ({1} ∪ (ℤ‘2))(𝑅𝑟𝑛)
24 iunxun 5059 . . . 4 𝑛 ∈ ({1} ∪ (ℤ‘2))(𝑅𝑟𝑛) = ( 𝑛 ∈ {1} (𝑅𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
25 1ex 11158 . . . . . 6 1 ∈ V
26 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
2725, 26iunxsn 5056 . . . . 5 𝑛 ∈ {1} (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1)
2827uneq1i 4124 . . . 4 ( 𝑛 ∈ {1} (𝑅𝑟𝑛) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛)) = ((𝑅𝑟1) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
2923, 24, 283eqtri 2769 . . 3 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟1) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
30 relexp1g 14918 . . . 4 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
31 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑚) = (𝑅𝑟𝑚))
3231iuneq2d 4988 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑅 𝑚 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑚) = 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚))
33 dftrcl3 42066 . . . . . . . . 9 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑚 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑚))
34 ovex 7395 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑟𝑚) ∈ V
355, 34iunex 7906 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∈ V
3632, 33, 35fvmpt 6953 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚))
371, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚))
3837coeq1d 5822 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
39 coiun1 41998 . . . . . . 7 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = 𝑚 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅)
40 uz2m1nn 12855 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
4140adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ)
42 eluzp1p1 12798 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ‘1) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
4342, 10eleq2s 2856 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
44 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
4544fveq2i 6850 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
4643, 45eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2))
4746adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘2))
48 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑅𝑟𝑚) = (𝑅𝑟(𝑛 − 1)))
4948coeq1d 5822 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 − 1) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
50493ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑚 = (𝑛 − 1)) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
51 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
52513ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = (𝑚 + 1)) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
53 relexpsucnnr 14917 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑚 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅))
5453eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = (𝑅𝑟(𝑚 + 1)))
55 relexpsucnnr 14917 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉 ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ) → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
5640, 55sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
57 eluzelcn 12782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → 𝑛 ∈ ℂ)
58 npcan1 11587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
59 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛 → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = (𝑅𝑟𝑛))
6057, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → (𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = (𝑅𝑟𝑛))
6160eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅) ↔ (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅)))
6261adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑅𝑟((𝑛 − 1) + 1)) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅) ↔ (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅)))
6356, 62mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅𝑟𝑛) = ((𝑅𝑟(𝑛 − 1)) ∘ 𝑅))
6441, 47, 50, 52, 54, 63cbviuneq12dv 42008 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 𝑚 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
6539, 64eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑚) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
6638, 65eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛))
6766eqcomd 2743 . . . 4 (𝑅𝑉 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛) = ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅))
6830, 67uneq12d 4129 . . 3 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑟1) ∪ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)(𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))
6929, 68eqtrid 2789 . 2 (𝑅𝑉 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))
709, 69eqtrd 2777 1 (𝑅𝑉 → (t+‘𝑅) = (𝑅 ∪ ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  cun 3913  {csn 4591   ciun 4959  ccom 5642  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  cn 12160  2c2 12215  cz 12506  cuz 12770  ...cfz 13431  t+ctcl 14877  𝑟crelexp 14911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-trcl 14879  df-relexp 14912
This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  42075  dmtrclfvRP  42076  frege124d  42107  frege131d  42110
  Copyright terms: Public domain W3C validator