Theorem cnvtrclfv 43707

Description: The converse of the transitive closure is equal to the transitive closure of the converse relation. (Contributed by RP, 19-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cnvtrclfv	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))

Proof of Theorem cnvtrclfv

Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3465	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		nnnn0 12427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3		relexpcnv 14978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V) → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
4	2, 3	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ V) → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
5	4	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛)))
6	5	ralrimiv 3124	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∀𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
7		iuneq2 4971	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
9		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
10	9	iuneq2d 4982	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
11		dftrcl3 43703	. . . . . 6 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
12		nnex 12170	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
13		ovex 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
14	12, 13	iunex 7926	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
15	10, 11, 14	fvmpt 6950	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
16	15	cnveqd 5829	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = ◡∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
17		cnviun 43633	. . . 4 ⊢ ◡∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛)
18	16, 17	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛))
19		cnvexg 7880	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡𝑅 ∈ V)
20		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ◡𝑅 → (𝑠↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
21	20	iuneq2d 4982	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ◡𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
22		dftrcl3 43703	. . . . 5 ⊢ t+ = (𝑠 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠↑𝑟𝑛))
23		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
24	12, 23	iunex 7926	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
25	21, 22, 24	fvmpt 6950	. . . 4 ⊢ (◡𝑅 ∈ V → (t+‘◡𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
26	19, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘◡𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
27	8, 18, 26	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))
28	1, 27	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444  ∪ ciun 4951  ^◡ccnv 5630  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℕcn 12164  ℕ₀cn0 12420  t+ctcl 14928  ↑_𝑟crelexp 14962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13945  df-trcl 14930  df-relexp 14963

This theorem is referenced by:  rntrclfvRP  43714