Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvtrclfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvtrclfv 42778
Description: The converse of the transitive closure is equal to the transitive closure of the converse relation. (Contributed by RP, 19-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
cnvtrclfv (𝑅𝑉(t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))

Proof of Theorem cnvtrclfv
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 nnnn0 12484 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3 relexpcnv 14987 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑅 ∈ V) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
42, 3sylan 579 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
54expcom 413 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛)))
65ralrimiv 3144 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
7 iuneq2 5016 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
86, 7syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
9 oveq1 7419 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
109iuneq2d 5026 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
11 dftrcl3 42774 . . . . . 6 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
12 nnex 12223 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
13 ovex 7445 . . . . . . 7 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1412, 13iunex 7958 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1510, 11, 14fvmpt 6998 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
1615cnveqd 5875 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
17 cnviun 42704 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛)
1816, 17eqtrdi 2787 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
19 cnvexg 7918 . . . 4 (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
20 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑅 → (𝑠𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
2120iuneq2d 5026 . . . . 5 (𝑠 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑠𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
22 dftrcl3 42774 . . . . 5 t+ = (𝑠 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠𝑟𝑛))
23 ovex 7445 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
2412, 23iunex 7958 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
2521, 22, 24fvmpt 6998 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
2619, 25syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
278, 18, 263eqtr4d 2781 . 2 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))
281, 27syl 17 1 (𝑅𝑉(t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  Vcvv 3473   ciun 4997  ccnv 5675  cfv 6543  (class class class)co 7412  cn 12217  0cn0 12477  t+ctcl 14937  𝑟crelexp 14971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-trcl 14939  df-relexp 14972
This theorem is referenced by:  rntrclfvRP  42785
  Copyright terms: Public domain W3C validator