Theorem cnvtrclfv 40062

Description: The converse of the transitive closure is equal to the transitive closure of the converse relation. (Contributed by RP, 19-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cnvtrclfv	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))

Proof of Theorem cnvtrclfv

Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3513	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		nnnn0 11898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3		relexpcnv 14388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V) → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
4	2, 3	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ V) → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
5	4	expcom 416	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛)))
6	5	ralrimiv 3181	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∀𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
7		iuneq2 4931	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
9		oveq1 7157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
10	9	iuneq2d 4941	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
11		dftrcl3 40058	. . . . . 6 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
12		nnex 11638	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
13		ovex 7183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
14	12, 13	iunex 7663	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
15	10, 11, 14	fvmpt 6763	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
16	15	cnveqd 5741	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = ◡∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
17		cnviun 39988	. . . 4 ⊢ ◡∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛)
18	16, 17	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛))
19		cnvexg 7623	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡𝑅 ∈ V)
20		oveq1 7157	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ◡𝑅 → (𝑠↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
21	20	iuneq2d 4941	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ◡𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
22		dftrcl3 40058	. . . . 5 ⊢ t+ = (𝑠 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠↑𝑟𝑛))
23		ovex 7183	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
24	12, 23	iunex 7663	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
25	21, 22, 24	fvmpt 6763	. . . 4 ⊢ (◡𝑅 ∈ V → (t+‘◡𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
26	19, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘◡𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
27	8, 18, 26	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))
28	1, 27	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3495  ∪ ciun 4912  ^◡ccnv 5549  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  t+ctcl 14339  ↑_𝑟crelexp 14373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-trcl 14341  df-relexp 14374

This theorem is referenced by:  rntrclfvRP  40069