Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvtrclfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvtrclfv 41332
Description: The converse of the transitive closure is equal to the transitive closure of the converse relation. (Contributed by RP, 19-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
cnvtrclfv (𝑅𝑉(t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))

Proof of Theorem cnvtrclfv
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3450 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 nnnn0 12240 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3 relexpcnv 14746 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑅 ∈ V) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
42, 3sylan 580 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
54expcom 414 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛)))
65ralrimiv 3102 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
7 iuneq2 4943 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
86, 7syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
9 oveq1 7282 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
109iuneq2d 4953 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
11 dftrcl3 41328 . . . . . 6 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
12 nnex 11979 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
13 ovex 7308 . . . . . . 7 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1412, 13iunex 7811 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1510, 11, 14fvmpt 6875 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
1615cnveqd 5784 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
17 cnviun 41258 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛)
1816, 17eqtrdi 2794 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
19 cnvexg 7771 . . . 4 (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
20 oveq1 7282 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑅 → (𝑠𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
2120iuneq2d 4953 . . . . 5 (𝑠 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑠𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
22 dftrcl3 41328 . . . . 5 t+ = (𝑠 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠𝑟𝑛))
23 ovex 7308 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
2412, 23iunex 7811 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
2521, 22, 24fvmpt 6875 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
2619, 25syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
278, 18, 263eqtr4d 2788 . 2 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))
281, 27syl 17 1 (𝑅𝑉(t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3432   ciun 4924  ccnv 5588  cfv 6433  (class class class)co 7275  cn 11973  0cn0 12233  t+ctcl 14696  𝑟crelexp 14730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-trcl 14698  df-relexp 14731
This theorem is referenced by:  rntrclfvRP  41339
  Copyright terms: Public domain W3C validator