Theorem cnvtrclfv 42460

Description: The converse of the transitive closure is equal to the transitive closure of the converse relation. (Contributed by RP, 19-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cnvtrclfv	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))

Proof of Theorem cnvtrclfv

Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3492	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		nnnn0 12475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3		relexpcnv 14978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V) → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
4	2, 3	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ V) → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
5	4	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛)))
6	5	ralrimiv 3145	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∀𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
7		iuneq2 5015	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
9		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
10	9	iuneq2d 5025	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
11		dftrcl3 42456	. . . . . 6 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
12		nnex 12214	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
13		ovex 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
14	12, 13	iunex 7951	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
15	10, 11, 14	fvmpt 6995	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
16	15	cnveqd 5873	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = ◡∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
17		cnviun 42386	. . . 4 ⊢ ◡∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛)
18	16, 17	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛))
19		cnvexg 7911	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡𝑅 ∈ V)
20		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ◡𝑅 → (𝑠↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
21	20	iuneq2d 5025	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ◡𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
22		dftrcl3 42456	. . . . 5 ⊢ t+ = (𝑠 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠↑𝑟𝑛))
23		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
24	12, 23	iunex 7951	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
25	21, 22, 24	fvmpt 6995	. . . 4 ⊢ (◡𝑅 ∈ V → (t+‘◡𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
26	19, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘◡𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
27	8, 18, 26	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))
28	1, 27	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474  ∪ ciun 4996  ^◡ccnv 5674  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  t+ctcl 14928  ↑_𝑟crelexp 14962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-trcl 14930  df-relexp 14963

This theorem is referenced by:  rntrclfvRP  42467