Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvtrclfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvtrclfv 39930
Description: The converse of the transitive closure is equal to the transitive closure of the converse relation. (Contributed by RP, 19-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
cnvtrclfv (𝑅𝑉(t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))

Proof of Theorem cnvtrclfv
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3517 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 nnnn0 11896 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3 relexpcnv 14387 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑅 ∈ V) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
42, 3sylan 580 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
54expcom 414 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛)))
65ralrimiv 3185 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
7 iuneq2 4934 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
86, 7syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
9 oveq1 7158 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
109iuneq2d 4944 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
11 dftrcl3 39926 . . . . . 6 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
12 nnex 11636 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
13 ovex 7184 . . . . . . 7 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1412, 13iunex 7663 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1510, 11, 14fvmpt 6764 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
1615cnveqd 5744 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
17 cnviun 39856 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛)
1816, 17syl6eq 2876 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
19 cnvexg 7620 . . . 4 (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
20 oveq1 7158 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑅 → (𝑠𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
2120iuneq2d 4944 . . . . 5 (𝑠 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑠𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
22 dftrcl3 39926 . . . . 5 t+ = (𝑠 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠𝑟𝑛))
23 ovex 7184 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
2412, 23iunex 7663 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
2521, 22, 24fvmpt 6764 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
2619, 25syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
278, 18, 263eqtr4d 2870 . 2 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))
281, 27syl 17 1 (𝑅𝑉(t+‘𝑅) = (t+‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  Vcvv 3499   ciun 4916  ccnv 5552  cfv 6351  (class class class)co 7151  cn 11630  0cn0 11889  t+ctcl 14338  𝑟crelexp 14372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13363  df-trcl 14340  df-relexp 14373
This theorem is referenced by:  rntrclfvRP  39937
  Copyright terms: Public domain W3C validator