Theorem cnvtrclfv 43699

Description: The converse of the transitive closure is equal to the transitive closure of the converse relation. (Contributed by RP, 19-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cnvtrclfv	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))

Proof of Theorem cnvtrclfv

Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3484	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		nnnn0 12516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
3		relexpcnv 15056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V) → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
4	2, 3	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ V) → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
5	4	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑛 ∈ ℕ → ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛)))
6	5	ralrimiv 3132	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∀𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
7		iuneq2 4991	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
9		oveq1 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
10	9	iuneq2d 5002	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
11		dftrcl3 43695	. . . . . 6 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
12		nnex 12254	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
13		ovex 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
14	12, 13	iunex 7975	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
15	10, 11, 14	fvmpt 6996	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
16	15	cnveqd 5866	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = ◡∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
17		cnviun 43625	. . . 4 ⊢ ◡∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛)
18	16, 17	eqtrdi 2785	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ◡(𝑅↑𝑟𝑛))
19		cnvexg 7928	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡𝑅 ∈ V)
20		oveq1 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ◡𝑅 → (𝑠↑𝑟𝑛) = (◡𝑅↑𝑟𝑛))
21	20	iuneq2d 5002	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ◡𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
22		dftrcl3 43695	. . . . 5 ⊢ t+ = (𝑠 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑠↑𝑟𝑛))
23		ovex 7446	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
24	12, 23	iunex 7975	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
25	21, 22, 24	fvmpt 6996	. . . 4 ⊢ (◡𝑅 ∈ V → (t+‘◡𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
26	19, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘◡𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝑅↑𝑟𝑛))
27	8, 18, 26	3eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))
28	1, 27	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ◡(t+‘𝑅) = (t+‘◡𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  Vcvv 3463  ∪ ciun 4971  ^◡ccnv 5664  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12509  t+ctcl 15006  ↑_𝑟crelexp 15040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14025  df-trcl 15008  df-relexp 15041

This theorem is referenced by:  rntrclfvRP  43706