Theorem trclfvcom 43906

Description: The transitive closure of a relation commutes with the relation. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvcom	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Proof of Theorem trclfvcom

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3459	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		relexpsucnnr 14946	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
3		relexpsucnnl 14951	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
4	2, 3	eqtr3d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
5	4	iuneq2dv 4969	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
6		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
7	6	iuneq2d 4975	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
8		dftrcl3 43903	. . . . . 6 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
9		nnex 12149	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
10		ovex 7389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
11	9, 10	iunex 7910	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6939	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
13	12	coeq1d 5808	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
14		coiun1 43835	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅)
15	13, 14	eqtrdi 2785	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
16	12	coeq2d 5809	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = (𝑅 ∘ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛)))
17		coiun 6213	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))
18	16, 17	eqtrdi 2785	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
19	5, 15, 18	3eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))
20	1, 19	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ∪ ciun 4944   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027  ℕcn 12143  t+ctcl 14906  ↑_𝑟crelexp 14940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-trcl 14908  df-relexp 14941

This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  43912