Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trclfvcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trclfvcom 40595
 Description: The transitive closure of a relation commutes with the relation. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
trclfvcom (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Proof of Theorem trclfvcom
Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3460 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 relexpsucnnr 14396 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑛 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
3 relexpsucnnl 14401 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑛 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
42, 3eqtr3d 2835 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
54iuneq2dv 4909 . . 3 (𝑅 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
6 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
76iuneq2d 4914 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
8 dftrcl3 40592 . . . . . 6 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
9 nnex 11649 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
10 ovex 7178 . . . . . . 7 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
119, 10iunex 7664 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
127, 8, 11fvmpt 6755 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
1312coeq1d 5700 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
14 coiun1 40524 . . . 4 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅)
1513, 14eqtrdi 2849 . . 3 (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
1612coeq2d 5701 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = (𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛)))
17 coiun 6083 . . . 4 (𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛)) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛))
1816, 17eqtrdi 2849 . . 3 (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
195, 15, 183eqtr4d 2843 . 2 (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))
201, 19syl 17 1 (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442  ∪ ciun 4885   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1c1 10545   + caddc 10547  ℕcn 11643  t+ctcl 14356  ↑𝑟crelexp 14390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-seq 13385  df-trcl 14358  df-relexp 14391 This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  40601
 Copyright terms: Public domain W3C validator