Theorem trclfvcom 44299

Description: The transitive closure of a relation commutes with the relation. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvcom	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Proof of Theorem trclfvcom

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3475	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		relexpsucnnr 15038	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
3		relexpsucnnl 15043	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
4	2, 3	eqtr3d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
5	4	iuneq2dv 4974	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
6		oveq1 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
7	6	iuneq2d 4980	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
8		dftrcl3 44296	. . . . . 6 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
9		nnex 12216	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
10		ovex 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
11	9, 10	iunex 7949	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6975	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
13	12	coeq1d 5833	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
14		coiun1 44228	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅)
15	13, 14	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
16	12	coeq2d 5834	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = (𝑅 ∘ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛)))
17		coiun 6244	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))
18	16, 17	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
19	5, 15, 18	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))
20	1, 19	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ∪ ciun 4949   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1c1 11074   + caddc 11076  ℕcn 12210  t+ctcl 14998  ↑_𝑟crelexp 15032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-seq 14015  df-trcl 15000  df-relexp 15033

This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  44305