Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trclfvcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trclfvcom 39428
Description: The transitive closure of a relation commutes with the relation. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
trclfvcom (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Proof of Theorem trclfvcom
Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3434 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 relexpsucnnr 14245 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑛 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
3 relexpsucnnl 14252 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑛 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
42, 3eqtr3d 2817 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
54iuneq2dv 4815 . . 3 (𝑅 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
6 oveq1 6983 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
76iuneq2d 4820 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
8 dftrcl3 39425 . . . . . 6 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
9 nnex 11446 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
10 ovex 7008 . . . . . . 7 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
119, 10iunex 7481 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
127, 8, 11fvmpt 6595 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
1312coeq1d 5582 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
14 coiun1 39357 . . . 4 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅)
1513, 14syl6eq 2831 . . 3 (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
1612coeq2d 5583 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = (𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛)))
17 coiun 5948 . . . 4 (𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛)) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛))
1816, 17syl6eq 2831 . . 3 (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
195, 15, 183eqtr4d 2825 . 2 (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))
201, 19syl 17 1 (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3416   ciun 4792  ccom 5411  cfv 6188  (class class class)co 6976  1c1 10336   + caddc 10338  cn 11439  t+ctcl 14206  𝑟crelexp 14240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-seq 13185  df-trcl 14208  df-relexp 14241
This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  39434
  Copyright terms: Public domain W3C validator