Theorem trclfvcom 43736

Description: The transitive closure of a relation commutes with the relation. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvcom	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Proof of Theorem trclfvcom

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3501	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		relexpsucnnr 15064	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
3		relexpsucnnl 15069	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
4	2, 3	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
5	4	iuneq2dv 5016	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
6		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
7	6	iuneq2d 5022	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
8		dftrcl3 43733	. . . . . 6 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
9		nnex 12272	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
10		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
11	9, 10	iunex 7993	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
13	12	coeq1d 5872	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
14		coiun1 43665	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅)
15	13, 14	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
16	12	coeq2d 5873	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = (𝑅 ∘ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛)))
17		coiun 6276	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))
18	16, 17	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
19	5, 15, 18	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))
20	1, 19	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∪ ciun 4991   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  ℕcn 12266  t+ctcl 15024  ↑_𝑟crelexp 15058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-trcl 15026  df-relexp 15059

This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  43742