Theorem trclfvcom 39428

Description: The transitive closure of a relation commutes with the relation. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvcom	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Proof of Theorem trclfvcom

Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3434	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		relexpsucnnr 14245	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 1)) = ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
3		relexpsucnnl 14252	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑟(𝑛 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
4	2, 3	eqtr3d 2817	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
5	4	iuneq2dv 4815	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
6		oveq1 6983	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
7	6	iuneq2d 4820	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
8		dftrcl3 39425	. . . . . 6 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
9		nnex 11446	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
10		ovex 7008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
11	9, 10	iunex 7481	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
12	7, 8, 11	fvmpt 6595	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛))
13	12	coeq1d 5582	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
14		coiun1 39357	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅)
15	13, 14	syl6eq 2831	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅↑𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
16	12	coeq2d 5583	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = (𝑅 ∘ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛)))
17		coiun 5948	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅↑𝑟𝑛)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛))
18	16, 17	syl6eq 2831	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑛)))
19	5, 15, 18	3eqtr4d 2825	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))
20	1, 19	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3416  ∪ ciun 4792   ∘ ccom 5411  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  1c1 10336   + caddc 10338  ℕcn 11439  t+ctcl 14206  ↑_𝑟crelexp 14240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-seq 13185  df-trcl 14208  df-relexp 14241

This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  39434