MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplem2 9833
Description: Lemma for the Collection Principle cp 9834. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
cplem2.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
cplem2 βˆƒπ‘¦βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑦) β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑦,𝐡
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem cplem2
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cplem2.1 . . 3 𝐴 ∈ V
2 scottex 9828 . . 3 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} ∈ V
31, 2iunex 7906 . 2 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} ∈ V
4 nfiu1 4993 . . . 4 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}
54nfeq2 2925 . . 3 β„²π‘₯ 𝑦 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}
6 ineq2 4171 . . . . 5 (𝑦 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} β†’ (𝐡 ∩ 𝑦) = (𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}))
76neeq1d 3004 . . . 4 (𝑦 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} β†’ ((𝐡 ∩ 𝑦) β‰  βˆ… ↔ (𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}) β‰  βˆ…))
87imbi2d 341 . . 3 (𝑦 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} β†’ ((𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) ↔ (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}) β‰  βˆ…)))
95, 8ralbid 3259 . 2 (𝑦 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}) β‰  βˆ…)))
10 eqid 2737 . . 3 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} = {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}
11 eqid 2737 . . 3 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}
1210, 11cplem1 9832 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}) β‰  βˆ…)
133, 9, 12ceqsexv2d 3500 1 βˆƒπ‘¦βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑦) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βˆͺ ciun 4959  β€˜cfv 6501  rankcrnk 9706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-reg 9535  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-r1 9707  df-rank 9708
This theorem is referenced by:  cp  9834
  Copyright terms: Public domain W3C validator