Theorem cplem2 9989

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9991. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.) Use the Scott operation. (Revised by BTernaryTau, 19-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cplem2	⊢ ∃𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplem2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		scottex 9970	. . 3 ⊢ Scott 𝐵 ∈ V
3	1, 2	iunex 8014	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 ∈ V
4		nfiu1 4991	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
5	4	nfeq2 2943	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
6		ineq2 4114	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝑦) = (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵))
7	6	neeq1d 3018	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → ((𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) ↔ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)))
9	5, 8	ralbid 3279	. 2 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)))
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
11	10	cplem1 9987	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)
12	3, 9, 11	ceqsexv2d 3503	1 ⊢ ∃𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  ∪ ciun 4956  Scott cscott 9965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-reg 9623  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-r1 9805  df-rank 9806  df-scott 9966

This theorem is used by:  cp  9991