Theorem cplem2 9891

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9893. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.) Use the Scott operation. (Revised by BTernaryTau, 19-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cplem2	⊢ ∃𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplem2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		scottex 9872	. . 3 ⊢ Scott 𝐵 ∈ V
3	1, 2	iunex 7965	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 ∈ V
4		nfiu1 4986	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
5	4	nfeq2 2939	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
6		ineq2 4160	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝑦) = (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵))
7	6	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → ((𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) ↔ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)))
9	5, 8	ralbid 3275	. 2 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)))
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
11	10	cplem1 9889	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)
12	3, 9, 11	ceqsexv2d 3499	1 ⊢ ∃𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  ∪ ciun 4951  Scott cscott 9867

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-reg 9564  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9868

This theorem is used by:  cp  9893