MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplem2 9914
Description: Lemma for the Collection Principle cp 9915. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
cplem2.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
cplem2 βˆƒπ‘¦βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑦) β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑦,𝐡
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem cplem2
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cplem2.1 . . 3 𝐴 ∈ V
2 scottex 9909 . . 3 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} ∈ V
31, 2iunex 7972 . 2 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} ∈ V
4 nfiu1 5030 . . . 4 β„²π‘₯βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}
54nfeq2 2917 . . 3 β„²π‘₯ 𝑦 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}
6 ineq2 4206 . . . . 5 (𝑦 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} β†’ (𝐡 ∩ 𝑦) = (𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}))
76neeq1d 2997 . . . 4 (𝑦 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} β†’ ((𝐡 ∩ 𝑦) β‰  βˆ… ↔ (𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}) β‰  βˆ…))
87imbi2d 340 . . 3 (𝑦 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} β†’ ((𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) ↔ (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}) β‰  βˆ…)))
95, 8ralbid 3267 . 2 (𝑦 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑦) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}) β‰  βˆ…)))
10 eqid 2728 . . 3 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} = {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}
11 eqid 2728 . . 3 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)} = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}
1210, 11cplem1 9913 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (rankβ€˜π‘§) βŠ† (rankβ€˜π‘€)}) β‰  βˆ…)
133, 9, 12ceqsexv2d 3526 1 βˆƒπ‘¦βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝐡 β‰  βˆ… β†’ (𝐡 ∩ 𝑦) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  {crab 3429  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  βˆͺ ciun 4996  β€˜cfv 6548  rankcrnk 9787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-reg 9616  ax-inf2 9665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-r1 9788  df-rank 9789
This theorem is referenced by:  cp  9915
  Copyright terms: Public domain W3C validator