Theorem cplem2 9884

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9886. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.) Use the Scott operation. (Revised by BTernaryTau, 19-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cplem2	⊢ ∃𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplem2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		scottex 9865	. . 3 ⊢ Scott 𝐵 ∈ V
3	1, 2	iunex 7967	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 ∈ V
4		nfiu1 4994	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
5	4	nfeq2 2944	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
6		ineq2 4167	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝑦) = (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵))
7	6	neeq1d 3019	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → ((𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) ↔ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)))
9	5, 8	ralbid 3280	. 2 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)))
10		eqid 2765	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
11	10	cplem1 9882	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)
12	3, 9, 11	ceqsexv2d 3506	1 ⊢ ∃𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  ∪ ciun 4958  Scott cscott 9860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-reg 9557  ax-inf2 9613

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-r1 9739  df-rank 9740  df-scott 9861

This theorem is used by:  cp  9886