Theorem cplem2 9945

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9947. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.) Use the Scott operation. (Revised by BTernaryTau, 19-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cplem2	⊢ ∃𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplem2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		scottex 9926	. . 3 ⊢ Scott 𝐵 ∈ V
3	1, 2	iunex 7978	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 ∈ V
4		nfiu1 4986	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
5	4	nfeq2 2940	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
6		ineq2 4160	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝑦) = (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵))
7	6	neeq1d 3015	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → ((𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) ↔ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)))
9	5, 8	ralbid 3276	. 2 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)))
10		eqid 2761	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
11	10	cplem1 9943	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)
12	3, 9, 11	ceqsexv2d 3500	1 ⊢ ∃𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  ∪ ciun 4951  Scott cscott 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-reg 9579  ax-inf2 9635

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-r1 9761  df-rank 9762  df-scott 9922

This theorem is used by:  cp  9947