Theorem cplem2 9957

Description: Lemma for the Collection Principle cp 9959. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.) Use the Scott operation. (Revised by BTernaryTau, 19-Jul-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplem2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cplem2	⊢ ∃𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplem2.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		scottex 9938	. . 3 ⊢ Scott 𝐵 ∈ V
3	1, 2	iunex 7982	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 ∈ V
4		nfiu1 4985	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
5	4	nfeq2 2939	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
6		ineq2 4110	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → (𝐵 ∩ 𝑦) = (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵))
7	6	neeq1d 3014	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → ((𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) ↔ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)))
9	5, 8	ralbid 3275	. 2 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)))
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵
11	10	cplem1 9955	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott 𝐵) ≠ ∅)
12	3, 9, 11	ceqsexv2d 3499	1 ⊢ ∃𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  ∪ ciun 4950  Scott cscott 9933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-reg 9591  ax-inf2 9647

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-r1 9773  df-rank 9774  df-scott 9934

This theorem is used by:  cp  9959