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Theorem iunrelexpmin1 38607
Description: The indexed union of relation exponentiation over the natural numbers is the minimum transitive relation that includes the relation. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
iunrelexpmin1.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
Assertion
Ref Expression
iunrelexpmin1 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) → ∀𝑠((𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑁,𝑠   𝑅,𝑛,𝑟   𝑅,𝑠   𝑛,𝑉,𝑟   𝑉,𝑠,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑠)

Proof of Theorem iunrelexpmin1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunrelexpmin1.def . . . . 5 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
21a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) → 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛)))
3 simplr 785 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑁 = ℕ)
4 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
54oveq1d 6857 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
63, 5iuneq12d 4702 . . . 4 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
7 elex 3365 . . . . 5 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
87adantr 472 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) → 𝑅 ∈ V)
9 nnex 11281 . . . . . 6 ℕ ∈ V
10 ovex 6874 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
119, 10iunex 7345 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
132, 6, 8, 12fvmptd 6477 . . 3 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) → (𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
14 relexp1g 14053 . . . . . . . 8 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1514sseq1d 3792 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠𝑅𝑠))
1615anbi1d 623 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) ↔ (𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)))
17 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟1))
1817sseq1d 3792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠))
1918imbi2d 331 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)))
20 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟𝑦))
2120sseq1d 3792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠))
2221imbi2d 331 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)))
23 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
2423sseq1d 3792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠))
2524imbi2d 331 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
26 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑛 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟𝑛))
2726sseq1d 3792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
2827imbi2d 331 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
29 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)
30 simp1 1166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℕ)
31 1nn 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 1 ∈ ℕ)
33 simp2l 1256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑅𝑉)
34 relexpaddnn 14078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
3530, 32, 33, 34syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
36 simp2rr 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)
37 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)
38 simp2rl 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)
3936, 37, 38trrelssd 14001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) ⊆ 𝑠)
4035, 39eqsstr3d 3800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)
41403exp 1148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → ((𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠 → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
4241a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
4319, 22, 25, 28, 29, 42nnind 11294 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
4443com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
4544ralrimiv 3112 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
46 iunss 4717 . . . . . . . 8 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
4745, 46sylibr 225 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
4847ex 401 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
4916, 48sylbird 251 . . . . 5 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5049adantr 472 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) → ((𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
51 sseq1 3786 . . . . 5 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) → ((𝐶𝑅) ⊆ 𝑠 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5251imbi2d 331 . . . 4 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) → (((𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
5350, 52syl5ibr 237 . . 3 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) → ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) → ((𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠)))
5413, 53mpcom 38 . 2 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) → ((𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
5554alrimiv 2022 1 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ) → ∀𝑠((𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107  wal 1650   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  wss 3732   ciun 4676  cmpt 4888  ccom 5281  cfv 6068  (class class class)co 6842  1c1 10190   + caddc 10192  cn 11274  𝑟crelexp 14047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-seq 13009  df-relexp 14048
This theorem is referenced by:  dftrcl3  38619
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