MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcmplem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txcmplem2 23146
Description: Lemma for txcmp 23147. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x 𝑋 = βˆͺ 𝑅
txcmp.y π‘Œ = βˆͺ 𝑆
txcmp.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Comp)
txcmp.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Comp)
txcmp.w (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
txcmp.u (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
txcmplem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝑣)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑆   𝑣,π‘Œ   𝑣,π‘Š   𝑣,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣)   𝑅(𝑣)
Proof of Theorem txcmplem2
Dummy variables 𝑓 𝑒 π‘₯ 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Comp)
2 txcmp.x . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝑅
3 txcmp.y . . . . 5 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
4 txcmp.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Comp)
54adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ Comp)
61adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ Comp)
7 txcmp.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
87adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘Š βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
9 txcmp.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ π‘Š)
109adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ π‘Š)
11 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
122, 3, 5, 6, 8, 10, 11txcmplem1 23145 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
1312ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣))
14 unieq 4920 . . . . 5 (𝑣 = (π‘“β€˜π‘’) β†’ βˆͺ 𝑣 = βˆͺ (π‘“β€˜π‘’))
1514sseq2d 4015 . . . 4 (𝑣 = (π‘“β€˜π‘’) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))
163, 15cmpcovf 22895 . . 3 ((𝑆 ∈ Comp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)(π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’))))
171, 13, 16syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)(π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’))))
18 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ 𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin))
19 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) β†’ 𝑓 Fn 𝑀)
20 fniunfv 7246 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 Fn 𝑀 β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) = βˆͺ ran 𝑓)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) = βˆͺ ran 𝑓)
2218frnd 6726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝒫 π‘Š ∩ Fin))
23 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 π‘Š ∩ Fin) βŠ† 𝒫 π‘Š
2422, 23sstrdi 3995 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝒫 π‘Š)
25 sspwuni 5104 . . . . . . . . . . 11 (ran 𝑓 βŠ† 𝒫 π‘Š ↔ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† π‘Š)
2624, 25sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† π‘Š)
2721, 26eqsstrd 4021 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) βŠ† π‘Š)
28 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ V
29 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 (π‘“β€˜π‘§) ∈ V
3028, 29iunex 7955 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) ∈ V
3130elpw 4607 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝒫 π‘Š ↔ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) βŠ† π‘Š)
3227, 31sylibr 233 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝒫 π‘Š)
33 inss2 4230 . . . . . . . . . 10 (𝒫 𝑆 ∩ Fin) βŠ† Fin
34 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3533, 34sselid 3981 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
36 inss2 4230 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 π‘Š ∩ Fin) βŠ† Fin
37 fss 6735 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) βŠ† Fin) β†’ 𝑓:π‘€βŸΆFin)
3818, 36, 37sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ 𝑓:π‘€βŸΆFin)
39 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:π‘€βŸΆFin ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ Fin)
4039ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (𝑓:π‘€βŸΆFin β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) ∈ Fin)
4138, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) ∈ Fin)
42 iunfi 9340 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) ∈ Fin)
4335, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) ∈ Fin)
4432, 43elind 4195 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin))
45 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑀)
46 uniiun 5062 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑀 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 𝑧
4745, 46eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 𝑧)
4847xpeq2d 5707 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = (𝑋 Γ— βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 𝑧))
49 xpiundi 5747 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 Γ— βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 𝑧) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑧)
5048, 49eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑧))
51 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’))
52 xpeq2 5698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑋 Γ— 𝑒) = (𝑋 Γ— 𝑧))
53 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑧 β†’ (π‘“β€˜π‘’) = (π‘“β€˜π‘§))
5453unieqd 4923 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = 𝑧 β†’ βˆͺ (π‘“β€˜π‘’) = βˆͺ (π‘“β€˜π‘§))
5552, 54sseq12d 4016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’) ↔ (𝑋 Γ— 𝑧) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘§)))
5655cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑧) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘§))
5751, 56sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑧) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘§))
58 ss2iun 5016 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑧) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑧) βŠ† βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 βˆͺ (π‘“β€˜π‘§))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑧) βŠ† βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 βˆͺ (π‘“β€˜π‘§))
6050, 59eqsstrd 4021 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 βˆͺ (π‘“β€˜π‘§))
6118ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin))
6223, 61sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝒫 π‘Š)
63 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝒫 π‘Š β†’ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† π‘Š)
64 uniss 4917 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘“β€˜π‘§) βŠ† π‘Š β†’ βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† βˆͺ π‘Š)
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† βˆͺ π‘Š)
669ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ π‘Š)
6765, 66sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑀) β†’ βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
6867ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
69 iunss 5049 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑀 βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
7068, 69sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
7160, 70eqssd 4000 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 βˆͺ (π‘“β€˜π‘§))
72 iuncom4 5006 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§)
7371, 72eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§))
74 unieq 4920 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) β†’ βˆͺ 𝑣 = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§))
7574rspceeqv 3634 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑀 (π‘“β€˜π‘§)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝑣)
7644, 73, 75syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ (π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ (𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝑣)
7776expr 458 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ π‘Œ = βˆͺ 𝑀) β†’ ((𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝑣))
7877exlimdv 1937 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ∧ π‘Œ = βˆͺ 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝑣))
7978expimpd 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) β†’ ((π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝑣))
8079rexlimdva 3156 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)(π‘Œ = βˆͺ 𝑀 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘€βŸΆ(𝒫 π‘Š ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘’))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝑣))
8117, 80mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘Š ∩ Fin)(𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝑣)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  Compccmp 22890   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-tx 23066
This theorem is referenced by:  txcmp  23147
  Copyright terms: Public domain W3C validator