Theorem dftrcl3 38961

Description: Transitive closure of a relation, expressed as indexed union of powers of relations. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dftrcl3	⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dftrcl3

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑡 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trcl 14135	. 2 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
2		relexp1g 14173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑟↑𝑟1) = 𝑟)
3		nnex 11381	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
4		1nn 11387	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		oveq1 6929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝑎↑𝑟𝑛) = (𝑡↑𝑟𝑛))
6	5	iuneq2d 4780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑛))
7		oveq2 6930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑡↑𝑟𝑛) = (𝑡↑𝑟𝑘))
8	7	cbviunv 4792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑘)
9	6, 8	syl6eq 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑘))
10	9	cbvmptv 4985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛)) = (𝑡 ∈ V ↦ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑘))
11	10	ov2ssiunov2 38941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑟↑𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
12	3, 4, 11	mp3an23 1526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑟↑𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
13	2, 12	eqsstr3d 3858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → 𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
14		nnuz 12029	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1nn0 11660	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	10	iunrelexpuztr 38960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = (ℤ≥‘1) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
17	14, 15, 16	mp3an23 1526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
18		fvex 6459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V
19		trcleq2lem 14139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)))))
21	20	alrimiv 1970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)))))
22		elabgt 3552	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V ∧ ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))) → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))
23	18, 21, 22	sylancr 581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))
24	13, 17, 23	mpbir2and 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
25		intss1 4725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
27		vex 3400	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑠 ∈ V
28		trcleq2lem 14139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)))
29	27, 28	elab 3557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠))
30		eqid 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = ℕ
31	10	iunrelexpmin1 38949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = ℕ) → ∀𝑠((𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
32	30, 31	mpan2 681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∀𝑠((𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
33	32	19.21bi 2172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
34	29, 33	syl5bi 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
35	34	ralrimiv 3146	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
36		ssint 4726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
37	35, 36	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
38	26, 37	eqssd 3837	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
39		oveq1 6929	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑟 → (𝑎↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟𝑛))
40	39	iuneq2d 4780	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑟 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
41		eqid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))
42		ovex 6954	. . . . . 6 ⊢ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
43	3, 42	iunex 7425	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
44	40, 41, 43	fvmpt 6542	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
45	38, 44	eqtrd 2813	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
46	45	mpteq2ia 4975	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ V ↦ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}) = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
47	1, 46	eqtri 2801	1 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386  ∀wal 1599   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  {cab 2762  ∀wral 3089  Vcvv 3397   ⊆ wss 3791  ∩ cint 4710  ∪ ciun 4753   ↦ cmpt 4965   ∘ ccom 5359  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1c1 10273  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642  ℤ_≥cuz 11992  t+ctcl 14133  ↑_𝑟crelexp 14167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-seq 13120  df-trcl 14135  df-relexp 14168

This theorem is referenced by:  brfvtrcld  38962  fvtrcllb1d  38963  trclfvcom  38964  cnvtrclfv  38965  cotrcltrcl  38966  trclimalb2  38967  trclfvdecomr  38969  dfrtrcl4  38979  corcltrcl  38980  cotrclrcl  38983