Theorem dftrcl3 43753

Description: Transitive closure of a relation, expressed as indexed union of powers of relations. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dftrcl3	⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dftrcl3

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑡 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trcl 14889	. 2 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
2		relexp1g 14928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑟↑𝑟1) = 𝑟)
3		nnex 12126	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
4		1nn 12131	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		oveq1 7348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝑎↑𝑟𝑛) = (𝑡↑𝑟𝑛))
6	5	iuneq2d 4967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑛))
7		oveq2 7349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑡↑𝑟𝑛) = (𝑡↑𝑟𝑘))
8	7	cbviunv 4984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑘)
9	6, 8	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑘))
10	9	cbvmptv 5190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛)) = (𝑡 ∈ V ↦ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑘))
11	10	ov2ssiunov2 43733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑟↑𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
12	3, 4, 11	mp3an23 1455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑟↑𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
13	2, 12	eqsstrrd 3965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → 𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
14		nnuz 12770	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1nn0 12392	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	10	iunrelexpuztr 43752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = (ℤ≥‘1) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
17	14, 15, 16	mp3an23 1455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
18		fvex 6830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V
19		trcleq2lem 14893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)))))
21	20	alrimiv 1928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)))))
22		elabgt 3622	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V ∧ ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))) → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))
23	18, 21, 22	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))
24	13, 17, 23	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
25		intss1 4908	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
27		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑠 ∈ V
28		trcleq2lem 14893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)))
29	27, 28	elab 3630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠))
30		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = ℕ
31	10	iunrelexpmin1 43741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = ℕ) → ∀𝑠((𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
32	30, 31	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∀𝑠((𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
33	32	19.21bi 2192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
34	29, 33	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
35	34	ralrimiv 3123	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
36		ssint 4909	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
37	35, 36	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
38	26, 37	eqssd 3947	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
39		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑟 → (𝑎↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟𝑛))
40	39	iuneq2d 4967	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑟 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
41		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))
42		ovex 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
43	3, 42	iunex 7895	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
44	40, 41, 43	fvmpt 6924	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
45	38, 44	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
46	45	mpteq2ia 5181	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ V ↦ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}) = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
47	1, 46	eqtri 2754	1 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∩ cint 4892  ∪ ciun 4936   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5615  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1c1 11002  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  ℤ_≥cuz 12727  t+ctcl 14887  ↑_𝑟crelexp 14921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904  df-trcl 14889  df-relexp 14922

This theorem is referenced by:  brfvtrcld  43754  fvtrcllb1d  43755  trclfvcom  43756  cnvtrclfv  43757  cotrcltrcl  43758  trclimalb2  43759  trclfvdecomr  43761  dfrtrcl4  43771  corcltrcl  43772  cotrclrcl  43775