Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dftrcl3 40056
 Description: Transitive closure of a relation, expressed as indexed union of powers of relations. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dftrcl3 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dftrcl3
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑡 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trcl 14339 . 2 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
2 relexp1g 14377 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → (𝑟𝑟1) = 𝑟)
3 nnex 11636 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
4 1nn 11641 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
5 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑡 → (𝑎𝑟𝑛) = (𝑡𝑟𝑛))
65iuneq2d 4939 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑡 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑛))
7 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑡𝑟𝑛) = (𝑡𝑟𝑘))
87cbviunv 4956 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑛) = 𝑘 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑘)
96, 8syl6eq 2870 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑡 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛) = 𝑘 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑘))
109cbvmptv 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛)) = (𝑡 ∈ V ↦ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑘))
1110ov2ssiunov2 40036 . . . . . . . . 9 ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑟𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
123, 4, 11mp3an23 1447 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → (𝑟𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
132, 12eqsstrrd 4004 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → 𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
14 nnuz 12273 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
15 1nn0 11905 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
1610iunrelexpuztr 40055 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = (ℤ‘1) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
1714, 15, 16mp3an23 1447 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
18 fvex 6676 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V
19 trcleq2lem 14343 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ V → (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)))))
2120alrimiv 1922 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)))))
22 elabgt 3661 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V ∧ ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))) → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))
2318, 21, 22sylancr 589 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))
2413, 17, 23mpbir2and 711 . . . . . 6 (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
25 intss1 4882 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
27 vex 3496 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
28 trcleq2lem 14343 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)))
2927, 28elab 3665 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠))
30 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 ℕ = ℕ
3110iunrelexpmin1 40044 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = ℕ) → ∀𝑠((𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
3230, 31mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ V → ∀𝑠((𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
333219.21bi 2181 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → ((𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
3429, 33syl5bi 244 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
3534ralrimiv 3179 . . . . . 6 (𝑟 ∈ V → ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
36 ssint 4883 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
3735, 36sylibr 236 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
3826, 37eqssd 3982 . . . 4 (𝑟 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
39 oveq1 7155 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑟 → (𝑎𝑟𝑛) = (𝑟𝑟𝑛))
4039iuneq2d 4939 . . . . 5 (𝑎 = 𝑟 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
41 eqid 2819 . . . . 5 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))
42 ovex 7181 . . . . . 6 (𝑟𝑟𝑛) ∈ V
433, 42iunex 7661 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt 6761 . . . 4 (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
4538, 44eqtrd 2854 . . 3 (𝑟 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
4645mpteq2ia 5148 . 2 (𝑟 ∈ V ↦ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)}) = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
471, 46eqtri 2842 1 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∀wal 1529   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {cab 2797  ∀wral 3136  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  ∩ cint 4867  ∪ ciun 4910   ↦ cmpt 5137   ∘ ccom 5552  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  1c1 10530  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11889  ℤ≥cuz 12235  t+ctcl 14337  ↑𝑟crelexp 14371 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13362  df-trcl 14339  df-relexp 14372 This theorem is referenced by:  brfvtrcld  40057  fvtrcllb1d  40058  trclfvcom  40059  cnvtrclfv  40060  cotrcltrcl  40061  trclimalb2  40062  trclfvdecomr  40064  dfrtrcl4  40074  corcltrcl  40075  cotrclrcl  40078
 Copyright terms: Public domain W3C validator