Theorem dftrcl3 43744

Description: Transitive closure of a relation, expressed as indexed union of powers of relations. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dftrcl3	⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dftrcl3

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑡 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trcl 15006	. 2 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
2		relexp1g 15045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑟↑𝑟1) = 𝑟)
3		nnex 12246	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ∈ V
4		1nn 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → (𝑎↑𝑟𝑛) = (𝑡↑𝑟𝑛))
6	5	iuneq2d 4998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑛))
7		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑡↑𝑟𝑛) = (𝑡↑𝑟𝑘))
8	7	cbviunv 5016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑘)
9	6, 8	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑡 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑘))
10	9	cbvmptv 5225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛)) = (𝑡 ∈ V ↦ ∪ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡↑𝑟𝑘))
11	10	ov2ssiunov2 43724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑟↑𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
12	3, 4, 11	mp3an23 1455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑟↑𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
13	2, 12	eqsstrrd 3994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → 𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
14		nnuz 12895	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1nn0 12517	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	10	iunrelexpuztr 43743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = (ℤ≥‘1) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
17	14, 15, 16	mp3an23 1455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
18		fvex 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V
19		trcleq2lem 15010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)))))
21	20	alrimiv 1927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)))))
22		elabgt 3651	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V ∧ ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))) → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))
23	18, 21, 22	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))))
24	13, 17, 23	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
25		intss1 4939	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
27		vex 3463	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑠 ∈ V
28		trcleq2lem 15010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)))
29	27, 28	elab 3658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠))
30		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = ℕ
31	10	iunrelexpmin1 43732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = ℕ) → ∀𝑠((𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
32	30, 31	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∀𝑠((𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
33	32	19.21bi 2189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑟 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
34	29, 33	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ V → (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
35	34	ralrimiv 3131	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
36		ssint 4940	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
37	35, 36	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)})
38	26, 37	eqssd 3976	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟))
39		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑟 → (𝑎↑𝑟𝑛) = (𝑟↑𝑟𝑛))
40	39	iuneq2d 4998	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑟 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
41		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))
42		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
43	3, 42	iunex 7967	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛) ∈ V
44	40, 41, 43	fvmpt 6986	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎↑𝑟𝑛))‘𝑟) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
45	38, 44	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)} = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
46	45	mpteq2ia 5216	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ V ↦ ∩ {𝑧 ∣ (𝑟 ⊆ 𝑧 ∧ (𝑧 ∘ 𝑧) ⊆ 𝑧)}) = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))
47	1, 46	eqtri 2758	1 ⊢ t+ = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟↑𝑟𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∩ cint 4922  ∪ ciun 4967   ↦ cmpt 5201   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤ_≥cuz 12852  t+ctcl 15004  ↑_𝑟crelexp 15038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-trcl 15006  df-relexp 15039

This theorem is referenced by:  brfvtrcld  43745  fvtrcllb1d  43746  trclfvcom  43747  cnvtrclfv  43748  cotrcltrcl  43749  trclimalb2  43750  trclfvdecomr  43752  dfrtrcl4  43762  corcltrcl  43763  cotrclrcl  43766