Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dftrcl3 42773
Description: Transitive closure of a relation, expressed as indexed union of powers of relations. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dftrcl3 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑟

Proof of Theorem dftrcl3
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑡 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trcl 14938 . 2 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
2 relexp1g 14977 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → (𝑟𝑟1) = 𝑟)
3 nnex 12222 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
4 1nn 12227 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
5 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑡 → (𝑎𝑟𝑛) = (𝑡𝑟𝑛))
65iuneq2d 5026 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑡 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑛))
7 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑡𝑟𝑛) = (𝑡𝑟𝑘))
87cbviunv 5043 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑛) = 𝑘 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑘)
96, 8eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑡 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛) = 𝑘 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑘))
109cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛)) = (𝑡 ∈ V ↦ 𝑘 ∈ ℕ (𝑡𝑟𝑘))
1110ov2ssiunov2 42753 . . . . . . . . 9 ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑟𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
123, 4, 11mp3an23 1453 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → (𝑟𝑟1) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
132, 12eqsstrrd 4021 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → 𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
14 nnuz 12869 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
15 1nn0 12492 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
1610iunrelexpuztr 42772 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = (ℤ‘1) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
1714, 15, 16mp3an23 1453 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
18 fvex 6904 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V
19 trcleq2lem 14942 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ V → (𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)))))
2120alrimiv 1930 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)))))
22 elabgt 3662 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ V ∧ ∀𝑧(𝑧 = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))) → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))
2318, 21, 22sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟 ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∧ (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∘ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟)) ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))))
2413, 17, 23mpbir2and 711 . . . . . 6 (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
25 intss1 4967 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ⊆ ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
27 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
28 trcleq2lem 14942 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 → ((𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)))
2927, 28elab 3668 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ (𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠))
30 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ℕ = ℕ
3110iunrelexpmin1 42761 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ V ∧ ℕ = ℕ) → ∀𝑠((𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
3230, 31mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ V → ∀𝑠((𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
333219.21bi 2182 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ V → ((𝑟𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
3429, 33biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ V → (𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠))
3534ralrimiv 3145 . . . . . 6 (𝑟 ∈ V → ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
36 ssint 4968 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ 𝑠)
3735, 36sylibr 233 . . . . 5 (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) ⊆ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)})
3826, 37eqssd 3999 . . . 4 (𝑟 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} = ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟))
39 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑟 → (𝑎𝑟𝑛) = (𝑟𝑟𝑛))
4039iuneq2d 5026 . . . . 5 (𝑎 = 𝑟 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
41 eqid 2732 . . . . 5 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛)) = (𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))
42 ovex 7444 . . . . . 6 (𝑟𝑟𝑛) ∈ V
433, 42iunex 7957 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) ∈ V
4440, 41, 43fvmpt 6998 . . . 4 (𝑟 ∈ V → ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑟𝑛))‘𝑟) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
4538, 44eqtrd 2772 . . 3 (𝑟 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)} = 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
4645mpteq2ia 5251 . 2 (𝑟 ∈ V ↦ {𝑧 ∣ (𝑟𝑧 ∧ (𝑧𝑧) ⊆ 𝑧)}) = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
471, 46eqtri 2760 1 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2709  wral 3061  Vcvv 3474  wss 3948   cint 4950   ciun 4997  cmpt 5231  ccom 5680  cfv 6543  (class class class)co 7411  1c1 11113  cn 12216  0cn0 12476  cuz 12826  t+ctcl 14936  𝑟crelexp 14970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-trcl 14938  df-relexp 14971
This theorem is referenced by:  brfvtrcld  42774  fvtrcllb1d  42775  trclfvcom  42776  cnvtrclfv  42777  cotrcltrcl  42778  trclimalb2  42779  trclfvdecomr  42781  dfrtrcl4  42791  corcltrcl  42792  cotrclrcl  42795
  Copyright terms: Public domain W3C validator