Theorem smndex1id 18961

Description: The modulo function 𝐼 is the identity of the monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1id	⊢ 𝐼 = (0g‘𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1id

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2		nn0ex 12498	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	mptex 7211	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2861	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ V
5	4	snid 4624	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ {𝐼}
6		elun1 4137	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
8		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
9	7, 8	eleqtrri 2864	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ 𝐵
10		smndex1ibas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		smndex1ibas.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
13		smndex1mgm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
14	10, 11, 1, 12, 8, 13	smndex1bas 18956	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
15	14	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
17		snex 5400	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
18		ovex 7433	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
19		snex 5400	. . . . . . 7 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
20	18, 19	iunex 7953	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
21	17, 20	unex 7731	. . . . 5 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
22	8, 21	eqeltri 2861	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
23		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
24	13, 23	ressplusg 17332	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
25	22, 24	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
26		id 23	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ 𝐵)
27	10, 11, 1	smndex1ibas 18947	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
29	10, 11, 1, 12, 8	smndex1basss 18955	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
30	29	sseli 3935	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝑀))
31		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
32	10, 31, 23	efmndov 18928	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = (𝐼 ∘ 𝑎))
33	28, 30, 32	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = (𝐼 ∘ 𝑎))
34	10, 11, 1, 12, 8, 13	smndex1mndlem 18959	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎 ∧ (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎))
35	34	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎)
36	35	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎)
37	33, 36	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = 𝑎)
38	10, 31, 23	efmndov 18928	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = (𝑎 ∘ 𝐼))
39	30, 28, 38	syl2anr 608	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = (𝑎 ∘ 𝐼))
40	34	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎)
41	40	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎)
42	39, 41	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = 𝑎)
43	16, 25, 26, 37, 42	grpidd 18717	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 = (0g‘𝑆))
44	9, 43	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐼 = (0g‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∪ cun 3905  {csn 4585  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  ℕcn 12221  ℕ₀cn0 12492  ..^cfzo 13670   mod cmo 13890  Basecbs 17257   ↾_s cress 17278  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17480  EndoFMndcefmnd 18915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-mod 13891  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17482  df-efmnd 18916

This theorem is referenced by: (None)