Theorem smndex1id 19103

Description: The modulo function 𝐼 is the identity of the monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1id	⊢ 𝐼 = (0g‘𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1id

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2		nn0ex 12605	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	mptex 7227	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ V
5	4	snid 4623	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ {𝐼}
6		elun1 4128	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
8		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
9	7, 8	eleqtrri 2860	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ 𝐵
10		smndex1ibas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		smndex1ibas.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
13		smndex1mgm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
14	10, 11, 1, 12, 8, 13	smndex1bas 19098	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
15	14	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
17		snex 5397	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
18		ovex 7451	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
19		snex 5397	. . . . . . 7 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
20	18, 19	iunex 7978	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
21	17, 20	unex 7759	. . . . 5 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
22	8, 21	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
23		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
24	13, 23	ressplusg 17455	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
25	22, 24	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
26		id 23	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ 𝐵)
27	10, 11, 1	smndex1ibas 19089	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
29	10, 11, 1, 12, 8	smndex1basss 19097	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
30	29	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝑀))
31		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
32	10, 31, 23	efmndov 19070	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = (𝐼 ∘ 𝑎))
33	28, 30, 32	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = (𝐼 ∘ 𝑎))
34	10, 11, 1, 12, 8, 13	smndex1mndlem 19101	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎 ∧ (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎))
35	34	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎)
36	35	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎)
37	33, 36	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = 𝑎)
38	10, 31, 23	efmndov 19070	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = (𝑎 ∘ 𝐼))
39	30, 28, 38	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = (𝑎 ∘ 𝐼))
40	34	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎)
41	40	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎)
42	39, 41	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = 𝑎)
43	16, 25, 26, 37, 42	grpidd 18845	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 = (0g‘𝑆))
44	9, 43	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐼 = (0g‘𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∪ cun 3897  {csn 4584  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ..^cfzo 13781   mod cmo 14002  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603  EndoFMndcefmnd 19057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-tset 17440  df-0g 17605  df-efmnd 19058

This theorem is used by: (None)