Theorem smndex1id 18550

Description: The modulo function 𝐼 is the identity of the monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1id	⊢ 𝐼 = (0g‘𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1id

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2		nn0ex 12239	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	mptex 7099	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ V
5	4	snid 4597	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ {𝐼}
6		elun1 4110	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
8		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
9	7, 8	eleqtrri 2838	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ 𝐵
10		smndex1ibas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		smndex1ibas.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
13		smndex1mgm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
14	10, 11, 1, 12, 8, 13	smndex1bas 18545	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
15	14	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
17		snex 5354	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
18		ovex 7308	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
19		snex 5354	. . . . . . 7 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
20	18, 19	iunex 7811	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
21	17, 20	unex 7596	. . . . 5 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
22	8, 21	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
23		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
24	13, 23	ressplusg 17000	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
25	22, 24	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
26		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ 𝐵)
27	10, 11, 1	smndex1ibas 18539	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
29	10, 11, 1, 12, 8	smndex1basss 18544	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
30	29	sseli 3917	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝑀))
31		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
32	10, 31, 23	efmndov 18520	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = (𝐼 ∘ 𝑎))
33	28, 30, 32	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = (𝐼 ∘ 𝑎))
34	10, 11, 1, 12, 8, 13	smndex1mndlem 18548	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎 ∧ (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎))
35	34	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎)
36	35	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎)
37	33, 36	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = 𝑎)
38	10, 31, 23	efmndov 18520	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = (𝑎 ∘ 𝐼))
39	30, 28, 38	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = (𝑎 ∘ 𝐼))
40	34	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎)
41	40	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎)
42	39, 41	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = 𝑎)
43	16, 25, 26, 37, 42	grpidd 18355	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 = (0g‘𝑆))
44	9, 43	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐼 = (0g‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∪ cun 3885  {csn 4561  ∪ ciun 4924   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ..^cfzo 13382   mod cmo 13589  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150  EndoFMndcefmnd 18507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-0g 17152  df-efmnd 18508

This theorem is referenced by: (None)