MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1id 18937
Description: The modulo function 𝐼 is the identity of the monoid of endofunctions on 0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾). (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1id 𝐼 = (0g𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1id
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2 nn0ex 12530 . . . . . . 7 0 ∈ V
32mptex 7243 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
41, 3eqeltri 2835 . . . . 5 𝐼 ∈ V
54snid 4667 . . . 4 𝐼 ∈ {𝐼}
6 elun1 4192 . . . 4 (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
75, 6ax-mp 5 . . 3 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
8 smndex1mgm.b . . 3 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
97, 8eleqtrri 2838 . 2 𝐼𝐵
10 smndex1ibas.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
12 smndex1ibas.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
13 smndex1mgm.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
1410, 11, 1, 12, 8, 13smndex1bas 18932 . . . . 5 (Base‘𝑆) = 𝐵
1514eqcomi 2744 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
1615a1i 11 . . 3 (𝐼𝐵𝐵 = (Base‘𝑆))
17 snex 5442 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
18 ovex 7464 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ∈ V
19 snex 5442 . . . . . . 7 {(𝐺𝑛)} ∈ V
2018, 19iunex 7992 . . . . . 6 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ∈ V
2117, 20unex 7763 . . . . 5 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ∈ V
228, 21eqeltri 2835 . . . 4 𝐵 ∈ V
23 eqid 2735 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
2413, 23ressplusg 17336 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
2522, 24mp1i 13 . . 3 (𝐼𝐵 → (+g𝑀) = (+g𝑆))
26 id 22 . . 3 (𝐼𝐵𝐼𝐵)
2710, 11, 1smndex1ibas 18926 . . . . . 6 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝐵𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
2910, 11, 1, 12, 8smndex1basss 18931 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
3029sseli 3991 . . . . 5 (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝑀))
31 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3210, 31, 23efmndov 18907 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = (𝐼𝑎))
3328, 30, 32syl2an 596 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = (𝐼𝑎))
3410, 11, 1, 12, 8, 13smndex1mndlem 18935 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → ((𝐼𝑎) = 𝑎 ∧ (𝑎𝐼) = 𝑎))
3534simpld 494 . . . . 5 (𝑎𝐵 → (𝐼𝑎) = 𝑎)
3635adantl 481 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼𝑎) = 𝑎)
3733, 36eqtrd 2775 . . 3 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = 𝑎)
3810, 31, 23efmndov 18907 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = (𝑎𝐼))
3930, 28, 38syl2anr 597 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = (𝑎𝐼))
4034simprd 495 . . . . 5 (𝑎𝐵 → (𝑎𝐼) = 𝑎)
4140adantl 481 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎𝐼) = 𝑎)
4239, 41eqtrd 2775 . . 3 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = 𝑎)
4316, 25, 26, 37, 42grpidd 18697 . 2 (𝐼𝐵𝐼 = (0g𝑆))
449, 43ax-mp 5 1 𝐼 = (0g𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  {csn 4631   ciun 4996  cmpt 5231  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  ..^cfzo 13691   mod cmo 13906  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  EndoFMndcefmnd 18894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-efmnd 18895
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator