Theorem smndex1id 19116

Description: The modulo function 𝐼 is the identity of the monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1id	⊢ 𝐼 = (0g‘𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1id

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2		nn0ex 12616	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	mptex 7230	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ V
5	4	snid 4619	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ {𝐼}
6		elun1 4180	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
8		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
9	7, 8	eleqtrri 2859	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ 𝐵
10		smndex1ibas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		smndex1ibas.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
13		smndex1mgm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
14	10, 11, 1, 12, 8, 13	smndex1bas 19111	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
15	14	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
17		snex 5396	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
18		ovex 7454	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
19		snex 5396	. . . . . . 7 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
20	18, 19	iunex 7981	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
21	17, 20	unex 7762	. . . . 5 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
22	8, 21	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
24	13, 23	ressplusg 17468	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
25	22, 24	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
26		id 23	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ 𝐵)
27	10, 11, 1	smndex1ibas 19102	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
29	10, 11, 1, 12, 8	smndex1basss 19110	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
30	29	sseli 3904	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝑀))
31		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
32	10, 31, 23	efmndov 19083	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = (𝐼 ∘ 𝑎))
33	28, 30, 32	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = (𝐼 ∘ 𝑎))
34	10, 11, 1, 12, 8, 13	smndex1mndlem 19114	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎 ∧ (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎))
35	34	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎)
36	35	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎)
37	33, 36	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = 𝑎)
38	10, 31, 23	efmndov 19083	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = (𝑎 ∘ 𝐼))
39	30, 28, 38	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = (𝑎 ∘ 𝐼))
40	34	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎)
41	40	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎)
42	39, 41	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = 𝑎)
43	16, 25, 26, 37, 42	grpidd 18858	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 = (0g‘𝑆))
44	9, 43	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐼 = (0g‘𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∪ cun 4149  {csn 4584  ∪ ciun 4950   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ..^cfzo 13792   mod cmo 14013  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616  EndoFMndcefmnd 19070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-tset 17453  df-0g 17618  df-efmnd 19071

This theorem is used by: (None)