MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1id 18925
Description: The modulo function 𝐼 is the identity of the monoid of endofunctions on 0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾). (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1id 𝐼 = (0g𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1id
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2 nn0ex 12534 . . . . . . 7 0 ∈ V
32mptex 7244 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
41, 3eqeltri 2836 . . . . 5 𝐼 ∈ V
54snid 4661 . . . 4 𝐼 ∈ {𝐼}
6 elun1 4181 . . . 4 (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
75, 6ax-mp 5 . . 3 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
8 smndex1mgm.b . . 3 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
97, 8eleqtrri 2839 . 2 𝐼𝐵
10 smndex1ibas.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
12 smndex1ibas.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
13 smndex1mgm.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
1410, 11, 1, 12, 8, 13smndex1bas 18920 . . . . 5 (Base‘𝑆) = 𝐵
1514eqcomi 2745 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
1615a1i 11 . . 3 (𝐼𝐵𝐵 = (Base‘𝑆))
17 snex 5435 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
18 ovex 7465 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ∈ V
19 snex 5435 . . . . . . 7 {(𝐺𝑛)} ∈ V
2018, 19iunex 7994 . . . . . 6 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ∈ V
2117, 20unex 7765 . . . . 5 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ∈ V
228, 21eqeltri 2836 . . . 4 𝐵 ∈ V
23 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
2413, 23ressplusg 17335 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
2522, 24mp1i 13 . . 3 (𝐼𝐵 → (+g𝑀) = (+g𝑆))
26 id 22 . . 3 (𝐼𝐵𝐼𝐵)
2710, 11, 1smndex1ibas 18914 . . . . . 6 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝐵𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
2910, 11, 1, 12, 8smndex1basss 18919 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
3029sseli 3978 . . . . 5 (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝑀))
31 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3210, 31, 23efmndov 18895 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = (𝐼𝑎))
3328, 30, 32syl2an 596 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = (𝐼𝑎))
3410, 11, 1, 12, 8, 13smndex1mndlem 18923 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → ((𝐼𝑎) = 𝑎 ∧ (𝑎𝐼) = 𝑎))
3534simpld 494 . . . . 5 (𝑎𝐵 → (𝐼𝑎) = 𝑎)
3635adantl 481 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼𝑎) = 𝑎)
3733, 36eqtrd 2776 . . 3 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = 𝑎)
3810, 31, 23efmndov 18895 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = (𝑎𝐼))
3930, 28, 38syl2anr 597 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = (𝑎𝐼))
4034simprd 495 . . . . 5 (𝑎𝐵 → (𝑎𝐼) = 𝑎)
4140adantl 481 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎𝐼) = 𝑎)
4239, 41eqtrd 2776 . . 3 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = 𝑎)
4316, 25, 26, 37, 42grpidd 18685 . 2 (𝐼𝐵𝐼 = (0g𝑆))
449, 43ax-mp 5 1 𝐼 = (0g𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cun 3948  {csn 4625   ciun 4990  cmpt 5224  ccom 5688  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  cn 12267  0cn0 12528  ..^cfzo 13695   mod cmo 13910  Basecbs 17248  s cress 17275  +gcplusg 17298  0gc0g 17485  EndoFMndcefmnd 18882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17487  df-efmnd 18883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator