Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1id 18067
 Description: The modulo function 𝐼 is the identity of the monoid of endofunctions on ℕ0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1id 𝐼 = (0g𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1id
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2 nn0ex 11891 . . . . . . 7 0 ∈ V
32mptex 6969 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
41, 3eqeltri 2912 . . . . 5 𝐼 ∈ V
54snid 4584 . . . 4 𝐼 ∈ {𝐼}
6 elun1 4136 . . . 4 (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
75, 6ax-mp 5 . . 3 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
8 smndex1mgm.b . . 3 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
97, 8eleqtrri 2915 . 2 𝐼𝐵
10 smndex1ibas.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
12 smndex1ibas.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
13 smndex1mgm.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
1410, 11, 1, 12, 8, 13smndex1bas 18062 . . . . 5 (Base‘𝑆) = 𝐵
1514eqcomi 2833 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
1615a1i 11 . . 3 (𝐼𝐵𝐵 = (Base‘𝑆))
17 snex 5315 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
18 ovex 7173 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ∈ V
19 snex 5315 . . . . . . 7 {(𝐺𝑛)} ∈ V
2018, 19iunex 7654 . . . . . 6 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ∈ V
2117, 20unex 7454 . . . . 5 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ∈ V
228, 21eqeltri 2912 . . . 4 𝐵 ∈ V
23 eqid 2824 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
2413, 23ressplusg 16603 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
2522, 24mp1i 13 . . 3 (𝐼𝐵 → (+g𝑀) = (+g𝑆))
26 id 22 . . 3 (𝐼𝐵𝐼𝐵)
2710, 11, 1smndex1ibas 18056 . . . . . 6 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝐵𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
2910, 11, 1, 12, 8smndex1basss 18061 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
3029sseli 3947 . . . . 5 (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝑀))
31 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3210, 31, 23efmndov 18037 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = (𝐼𝑎))
3328, 30, 32syl2an 598 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = (𝐼𝑎))
3410, 11, 1, 12, 8, 13smndex1mndlem 18065 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → ((𝐼𝑎) = 𝑎 ∧ (𝑎𝐼) = 𝑎))
3534simpld 498 . . . . 5 (𝑎𝐵 → (𝐼𝑎) = 𝑎)
3635adantl 485 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼𝑎) = 𝑎)
3733, 36eqtrd 2859 . . 3 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = 𝑎)
3810, 31, 23efmndov 18037 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = (𝑎𝐼))
3930, 28, 38syl2anr 599 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = (𝑎𝐼))
4034simprd 499 . . . . 5 (𝑎𝐵 → (𝑎𝐼) = 𝑎)
4140adantl 485 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎𝐼) = 𝑎)
4239, 41eqtrd 2859 . . 3 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = 𝑎)
4316, 25, 26, 37, 42grpidd 17872 . 2 (𝐼𝐵𝐼 = (0g𝑆))
449, 43ax-mp 5 1 𝐼 = (0g𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3479   ∪ cun 3916  {csn 4548  ∪ ciun 4902   ↦ cmpt 5129   ∘ ccom 5542  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  0cc0 10524  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ..^cfzo 13028   mod cmo 13232  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  EndoFMndcefmnd 18024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-tset 16575  df-0g 16706  df-efmnd 18025 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator