MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1id 18651
Description: The modulo function 𝐼 is the identity of the monoid of endofunctions on 0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾). (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1id 𝐼 = (0g𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1id
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2 nn0ex 12349 . . . . . . 7 0 ∈ V
32mptex 7164 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
41, 3eqeltri 2834 . . . . 5 𝐼 ∈ V
54snid 4617 . . . 4 𝐼 ∈ {𝐼}
6 elun1 4131 . . . 4 (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
75, 6ax-mp 5 . . 3 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
8 smndex1mgm.b . . 3 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
97, 8eleqtrri 2837 . 2 𝐼𝐵
10 smndex1ibas.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
12 smndex1ibas.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
13 smndex1mgm.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
1410, 11, 1, 12, 8, 13smndex1bas 18646 . . . . 5 (Base‘𝑆) = 𝐵
1514eqcomi 2746 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
1615a1i 11 . . 3 (𝐼𝐵𝐵 = (Base‘𝑆))
17 snex 5383 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
18 ovex 7379 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ∈ V
19 snex 5383 . . . . . . 7 {(𝐺𝑛)} ∈ V
2018, 19iunex 7888 . . . . . 6 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ∈ V
2117, 20unex 7667 . . . . 5 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ∈ V
228, 21eqeltri 2834 . . . 4 𝐵 ∈ V
23 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
2413, 23ressplusg 17102 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
2522, 24mp1i 13 . . 3 (𝐼𝐵 → (+g𝑀) = (+g𝑆))
26 id 22 . . 3 (𝐼𝐵𝐼𝐵)
2710, 11, 1smndex1ibas 18640 . . . . . 6 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝐵𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
2910, 11, 1, 12, 8smndex1basss 18645 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
3029sseli 3935 . . . . 5 (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝑀))
31 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3210, 31, 23efmndov 18621 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = (𝐼𝑎))
3328, 30, 32syl2an 597 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = (𝐼𝑎))
3410, 11, 1, 12, 8, 13smndex1mndlem 18649 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → ((𝐼𝑎) = 𝑎 ∧ (𝑎𝐼) = 𝑎))
3534simpld 496 . . . . 5 (𝑎𝐵 → (𝐼𝑎) = 𝑎)
3635adantl 483 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼𝑎) = 𝑎)
3733, 36eqtrd 2777 . . 3 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝐼(+g𝑀)𝑎) = 𝑎)
3810, 31, 23efmndov 18621 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = (𝑎𝐼))
3930, 28, 38syl2anr 598 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = (𝑎𝐼))
4034simprd 497 . . . . 5 (𝑎𝐵 → (𝑎𝐼) = 𝑎)
4140adantl 483 . . . 4 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎𝐼) = 𝑎)
4239, 41eqtrd 2777 . . 3 ((𝐼𝐵𝑎𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝐼) = 𝑎)
4316, 25, 26, 37, 42grpidd 18457 . 2 (𝐼𝐵𝐼 = (0g𝑆))
449, 43ax-mp 5 1 𝐼 = (0g𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cun 3903  {csn 4581   ciun 4949  cmpt 5183  ccom 5631  cfv 6488  (class class class)co 7346  0cc0 10981  cn 12083  0cn0 12343  ..^cfzo 13492   mod cmo 13699  Basecbs 17014  s cress 17043  +gcplusg 17064  0gc0g 17252  EndoFMndcefmnd 18608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-er 8578  df-map 8697  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-sup 9308  df-inf 9309  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-4 12148  df-5 12149  df-6 12150  df-7 12151  df-8 12152  df-9 12153  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-rp 12841  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-fl 13622  df-mod 13700  df-struct 16950  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-tset 17083  df-0g 17254  df-efmnd 18609
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator