MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1id Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1id 18867
Description: The modulo function 𝐼 is the identity of the monoid of endofunctions on β„•0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (πΊβ€˜πΎ). (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1id 𝐼 = (0gβ€˜π‘†)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1id
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.i . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
2 nn0ex 12508 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
32mptex 7231 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁)) ∈ V
41, 3eqeltri 2821 . . . . 5 𝐼 ∈ V
54snid 4660 . . . 4 𝐼 ∈ {𝐼}
6 elun1 4170 . . . 4 (𝐼 ∈ {𝐼} β†’ 𝐼 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
75, 6ax-mp 5 . . 3 𝐼 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
8 smndex1mgm.b . . 3 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
97, 8eleqtrri 2824 . 2 𝐼 ∈ 𝐡
10 smndex1ibas.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
11 smndex1ibas.n . . . . . 6 𝑁 ∈ β„•
12 smndex1ibas.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
13 smndex1mgm.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
1410, 11, 1, 12, 8, 13smndex1bas 18862 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = 𝐡
1514eqcomi 2734 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
1615a1i 11 . . 3 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†))
17 snex 5427 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
18 ovex 7449 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ∈ V
19 snex 5427 . . . . . . 7 {(πΊβ€˜π‘›)} ∈ V
2018, 19iunex 7970 . . . . . 6 βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ∈ V
2117, 20unex 7746 . . . . 5 ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ∈ V
228, 21eqeltri 2821 . . . 4 𝐡 ∈ V
23 eqid 2725 . . . . 5 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
2413, 23ressplusg 17270 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†))
2522, 24mp1i 13 . . 3 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†))
26 id 22 . . 3 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
2710, 11, 1smndex1ibas 18856 . . . . . 6 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)
2827a1i 11 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
2910, 11, 1, 12, 8smndex1basss 18861 . . . . . 6 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
3029sseli 3968 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€))
31 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
3210, 31, 23efmndov 18837 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐼(+gβ€˜π‘€)π‘Ž) = (𝐼 ∘ π‘Ž))
3328, 30, 32syl2an 594 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(+gβ€˜π‘€)π‘Ž) = (𝐼 ∘ π‘Ž))
3410, 11, 1, 12, 8, 13smndex1mndlem 18865 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ ((𝐼 ∘ π‘Ž) = π‘Ž ∧ (π‘Ž ∘ 𝐼) = π‘Ž))
3534simpld 493 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ (𝐼 ∘ π‘Ž) = π‘Ž)
3635adantl 480 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 ∘ π‘Ž) = π‘Ž)
3733, 36eqtrd 2765 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐼(+gβ€˜π‘€)π‘Ž) = π‘Ž)
3810, 31, 23efmndov 18837 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝐼) = (π‘Ž ∘ 𝐼))
3930, 28, 38syl2anr 595 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝐼) = (π‘Ž ∘ 𝐼))
4034simprd 494 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ (π‘Ž ∘ 𝐼) = π‘Ž)
4140adantl 480 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∘ 𝐼) = π‘Ž)
4239, 41eqtrd 2765 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝐼) = π‘Ž)
4316, 25, 26, 37, 42grpidd 18630 . 2 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 = (0gβ€˜π‘†))
449, 43ax-mp 5 1 𝐼 = (0gβ€˜π‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βˆͺ cun 3937  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5226   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  ..^cfzo 13659   mod cmo 13866  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  EndoFMndcefmnd 18824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-0g 17422  df-efmnd 18825
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator