Theorem smndex1id 18838

Description: The modulo function 𝐼 is the identity of the monoid of endofunctions on ℕ₀ restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾). (Contributed by AV, 16-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1id	⊢ 𝐼 = (0g‘𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1id

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
2		nn0ex 12448	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
3	2	mptex 7197	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁)) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ V
5	4	snid 4626	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ {𝐼}
6		elun1 4145	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ {𝐼} → 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
8		smndex1mgm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
9	7, 8	eleqtrri 2827	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ 𝐵
10		smndex1ibas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
11		smndex1ibas.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12		smndex1ibas.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
13		smndex1mgm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)
14	10, 11, 1, 12, 8, 13	smndex1bas 18833	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = 𝐵
15	14	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
17		snex 5391	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
18		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
19		snex 5391	. . . . . . 7 ⊢ {(𝐺‘𝑛)} ∈ V
20	18, 19	iunex 7947	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ∈ V
21	17, 20	unex 7720	. . . . 5 ⊢ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ∈ V
22	8, 21	eqeltri 2824	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
24	13, 23	ressplusg 17254	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
25	22, 24	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑆))
26		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ 𝐵)
27	10, 11, 1	smndex1ibas 18827	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
29	10, 11, 1, 12, 8	smndex1basss 18832	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
30	29	sseli 3942	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝑀))
31		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
32	10, 31, 23	efmndov 18808	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = (𝐼 ∘ 𝑎))
33	28, 30, 32	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = (𝐼 ∘ 𝑎))
34	10, 11, 1, 12, 8, 13	smndex1mndlem 18836	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → ((𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎 ∧ (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎))
35	34	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎)
36	35	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∘ 𝑎) = 𝑎)
37	33, 36	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐼(+g‘𝑀)𝑎) = 𝑎)
38	10, 31, 23	efmndov 18808	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = (𝑎 ∘ 𝐼))
39	30, 28, 38	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = (𝑎 ∘ 𝐼))
40	34	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎)
41	40	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∘ 𝐼) = 𝑎)
42	39, 41	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑀)𝐼) = 𝑎)
43	16, 25, 26, 37, 42	grpidd 18598	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 = (0g‘𝑆))
44	9, 43	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐼 = (0g‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912  {csn 4589  ∪ ciun 4955   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ..^cfzo 13615   mod cmo 13831  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  EndoFMndcefmnd 18795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-efmnd 18796

This theorem is referenced by: (None)