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Theorem iunrelexpmin2 40333
Description: The indexed union of relation exponentiation over the natural numbers (including zero) is the minimum reflexive-transitive relation that includes the relation. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
iunrelexpmin2.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
Assertion
Ref Expression
iunrelexpmin2 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑁,𝑠   𝑅,𝑛,𝑟   𝑅,𝑠   𝑛,𝑉,𝑟   𝑉,𝑠,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑠)

Proof of Theorem iunrelexpmin2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunrelexpmin2.def . . . 4 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
2 simplr 768 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑁 = ℕ0)
3 simpr 488 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
43oveq1d 7164 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
52, 4iuneq12d 4933 . . . 4 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
6 elex 3498 . . . . 5 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
76adantr 484 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → 𝑅 ∈ V)
8 nn0ex 11900 . . . . . 6 0 ∈ V
9 ovex 7182 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
108, 9iunex 7664 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1110a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
121, 5, 7, 11fvmptd2 6767 . . 3 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → (𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
13 relexp0g 14381 . . . . . . . 8 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
1413sseq1d 3984 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ↔ ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠))
15 relexp1g 14385 . . . . . . . 8 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1615sseq1d 3984 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠𝑅𝑠))
1714, 163anbi12d 1434 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) ↔ (( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)))
18 elnn0 11896 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0))
19 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟1))
2019sseq1d 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠))
2120imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)))
22 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟𝑦))
2322sseq1d 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠))
2423imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)))
25 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
2625sseq1d 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠))
2726imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
28 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟𝑛))
2928sseq1d 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
3029imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
31 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)
32 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℕ)
33 1nn 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 1 ∈ ℕ)
35 simp2l 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑅𝑉)
36 relexpaddnn 14410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
3732, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
38 simp2r3 1274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)
39 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)
40 simp2r2 1273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)
4138, 39, 40trrelssd 14333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) ⊆ 𝑠)
4237, 41eqsstrrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)
43423exp 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → ((𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠 → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
4443a2d 29 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
4521, 24, 27, 30, 31, 44nnind 11652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
46 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠)
47 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 0 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟0))
4847sseq1d 3984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 0 → ((𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠))
4946, 48syl5ibr 249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5045, 49jaoi 854 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0) → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5118, 50sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5251com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5352ralrimiv 3176 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
54 iunss 4955 . . . . . . . 8 ( 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
5553, 54sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
5655ex 416 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5717, 56sylbird 263 . . . . 5 (𝑅𝑉 → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5857adantr 484 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
59 sseq1 3978 . . . . 5 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) → ((𝐶𝑅) ⊆ 𝑠 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
6059imbi2d 344 . . . 4 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) → (((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠) ↔ ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
6158, 60syl5ibr 249 . . 3 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) → ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠)))
6212, 61mpcom 38 . 2 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
6362alrimiv 1929 1 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084  wal 1536   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  Vcvv 3480  cun 3917  wss 3919   ciun 4905  cmpt 5132   I cid 5446  dom cdm 5542  ran crn 5543  cres 5544  ccom 5546  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538  cn 11634  0cn0 11894  𝑟crelexp 14379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-seq 13374  df-relexp 14380
This theorem is referenced by:  dfrtrcl3  40354
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