Theorem iunrelexpmin2 44466

Description: The indexed union of relation exponentiation over the natural numbers (including zero) is the minimum reflexive-transitive relation that includes the relation. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunrelexpmin2.def	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iunrelexpmin2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑁,𝑠   𝑅,𝑛,𝑟   𝑅,𝑠   𝑛,𝑉,𝑟   𝑉,𝑠,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑠)

Proof of Theorem iunrelexpmin2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrelexpmin2.def	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
2		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑁 = ℕ0)
3		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
4	3	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
5	2, 4	iuneq12d 4985	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
6		elex 3475	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
7	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → 𝑅 ∈ V)
8		nn0ex 12516	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
9		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
10	8, 9	iunex 7963	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
12	1, 5, 7, 11	fvmptd2 6998	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → (𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
13		relexp0g 15066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
14	13	sseq1d 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ↔ ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠))
15		relexp1g 15070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
16	15	sseq1d 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ↔ 𝑅 ⊆ 𝑠))
17	14, 16	3anbi12d 1464	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) ↔ (( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)))
18		elnn0 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0))
19		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟1))
20	19	sseq1d 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠))
21	20	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)))
22		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟𝑦))
23	22	sseq1d 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠))
24	23	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)))
25		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
26	25	sseq1d 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠))
27	26	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
28		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟𝑛))
29	28	sseq1d 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
30	29	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
31		simpr2 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)
32		simp1 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℕ)
33		1nn 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℕ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 1 ∈ ℕ)
35		simp2l 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑅 ∈ 𝑉)
36		relexpaddnn 15095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
37	32, 34, 35, 36	syl3anc 1397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
38		simp2r3 1295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)
39		simp3 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)
40		simp2r2 1294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)
41	38, 39, 40	trrelssd 15017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) ⊆ 𝑠)
42	37, 41	eqsstrrd 3971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)
43	42	3exp 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠 → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
44	43	a2d 30	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
45	21, 24, 27, 30, 31, 44	nnind 12257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
46		simpr1 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠)
47		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟0))
48	47	sseq1d 3967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠))
49	46, 48	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
50	45, 49	jaoi 870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
51	18, 50	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
52	51	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
53	52	ralrimiv 3155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
54		iunss 5008	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
55	53, 54	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
56	55	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
57	17, 56	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
58	57	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
59		sseq1 3961	. . . . 5 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → ((𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠 ↔ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
60	59	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → (((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠) ↔ ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
61	58, 60	imbitrrid 249	. . 3 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠)))
62	12, 61	mpcom 39	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))
63	62	alrimiv 1956	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1102  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  Vcvv 3454   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∪ ciun 4955   ↦ cmpt 5191   I cid 5554  dom cdm 5660  ran crn 5661   ↾ cres 5662   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  ↑_𝑟crelexp 15063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-seq 14045  df-relexp 15064

This theorem is used by:  dfrtrcl3  44487