Theorem iunrelexpmin2 41320

Description: The indexed union of relation exponentiation over the natural numbers (including zero) is the minimum reflexive-transitive relation that includes the relation. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunrelexpmin2.def	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iunrelexpmin2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑁,𝑠   𝑅,𝑛,𝑟   𝑅,𝑠   𝑛,𝑉,𝑟   𝑉,𝑠,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑠)

Proof of Theorem iunrelexpmin2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrelexpmin2.def	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
2		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑁 = ℕ0)
3		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
4	3	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
5	2, 4	iuneq12d 4952	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
6		elex 3450	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → 𝑅 ∈ V)
8		nn0ex 12239	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
9		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
10	8, 9	iunex 7811	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
12	1, 5, 7, 11	fvmptd2 6883	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → (𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
13		relexp0g 14733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
14	13	sseq1d 3952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ↔ ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠))
15		relexp1g 14737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
16	15	sseq1d 3952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ↔ 𝑅 ⊆ 𝑠))
17	14, 16	3anbi12d 1436	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) ↔ (( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)))
18		elnn0 12235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0))
19		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟1))
20	19	sseq1d 3952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠))
21	20	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)))
22		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟𝑦))
23	22	sseq1d 3952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠))
24	23	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)))
25		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
26	25	sseq1d 3952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠))
27	26	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
28		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟𝑛))
29	28	sseq1d 3952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
30	29	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
31		simpr2 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)
32		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℕ)
33		1nn 11984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℕ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 1 ∈ ℕ)
35		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑅 ∈ 𝑉)
36		relexpaddnn 14762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
37	32, 34, 35, 36	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
38		simp2r3 1276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)
39		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)
40		simp2r2 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)
41	38, 39, 40	trrelssd 14684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) ⊆ 𝑠)
42	37, 41	eqsstrrd 3960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)
43	42	3exp 1118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠 → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
44	43	a2d 29	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
45	21, 24, 27, 30, 31, 44	nnind 11991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
46		simpr1 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠)
47		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟0))
48	47	sseq1d 3952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠))
49	46, 48	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
50	45, 49	jaoi 854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
51	18, 50	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
52	51	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
53	52	ralrimiv 3102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
54		iunss 4975	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
55	53, 54	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
56	55	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
57	17, 56	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
58	57	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
59		sseq1 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → ((𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠 ↔ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
60	59	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → (((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠) ↔ ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
61	58, 60	syl5ibr 245	. . 3 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠)))
62	12, 61	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))
63	62	alrimiv 1930	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∪ ciun 4924   ↦ cmpt 5157   I cid 5488  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ↑_𝑟crelexp 14730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-relexp 14731

This theorem is referenced by:  dfrtrcl3  41341