Theorem iunrelexpmin2 43708

Description: The indexed union of relation exponentiation over the natural numbers (including zero) is the minimum reflexive-transitive relation that includes the relation. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunrelexpmin2.def	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iunrelexpmin2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑁,𝑠   𝑅,𝑛,𝑟   𝑅,𝑠   𝑛,𝑉,𝑟   𝑉,𝑠,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑠)

Proof of Theorem iunrelexpmin2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrelexpmin2.def	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
2		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑁 = ℕ0)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
4	3	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
5	2, 4	iuneq12d 4988	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
6		elex 3471	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → 𝑅 ∈ V)
8		nn0ex 12455	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
9		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
10	8, 9	iunex 7950	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
12	1, 5, 7, 11	fvmptd2 6979	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → (𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
13		relexp0g 14995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
14	13	sseq1d 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ↔ ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠))
15		relexp1g 14999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
16	15	sseq1d 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ↔ 𝑅 ⊆ 𝑠))
17	14, 16	3anbi12d 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) ↔ (( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)))
18		elnn0 12451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0))
19		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟1))
20	19	sseq1d 3981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠))
21	20	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)))
22		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟𝑦))
23	22	sseq1d 3981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠))
24	23	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)))
25		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
26	25	sseq1d 3981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠))
27	26	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
28		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟𝑛))
29	28	sseq1d 3981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
30	29	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
31		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)
32		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℕ)
33		1nn 12204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℕ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 1 ∈ ℕ)
35		simp2l 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑅 ∈ 𝑉)
36		relexpaddnn 15024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
37	32, 34, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
38		simp2r3 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)
39		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)
40		simp2r2 1277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)
41	38, 39, 40	trrelssd 14946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) ⊆ 𝑠)
42	37, 41	eqsstrrd 3985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)
43	42	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠 → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
44	43	a2d 29	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
45	21, 24, 27, 30, 31, 44	nnind 12211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
46		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠)
47		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟0))
48	47	sseq1d 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠))
49	46, 48	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
50	45, 49	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
51	18, 50	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
52	51	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
53	52	ralrimiv 3125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
54		iunss 5012	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
55	53, 54	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
56	55	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
57	17, 56	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
59		sseq1 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → ((𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠 ↔ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
60	59	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → (((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠) ↔ ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
61	58, 60	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠)))
62	12, 61	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))
63	62	alrimiv 1927	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∪ cun 3915   ⊆ wss 3917  ∪ ciun 4958   ↦ cmpt 5191   I cid 5535  dom cdm 5641  ran crn 5642   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ↑_𝑟crelexp 14992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-relexp 14993

This theorem is referenced by:  dfrtrcl3  43729