Theorem iunrelexpmin2 43701

Description: The indexed union of relation exponentiation over the natural numbers (including zero) is the minimum reflexive-transitive relation that includes the relation. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunrelexpmin2.def	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iunrelexpmin2	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑁,𝑠   𝑅,𝑛,𝑟   𝑅,𝑠   𝑛,𝑉,𝑟   𝑉,𝑠,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑠)

Proof of Theorem iunrelexpmin2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrelexpmin2.def	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
2		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑁 = ℕ0)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
4	3	oveq1d 7445	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
5	2, 4	iuneq12d 5025	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
6		elex 3498	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → 𝑅 ∈ V)
8		nn0ex 12529	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
9		ovex 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
10	8, 9	iunex 7991	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
12	1, 5, 7, 11	fvmptd2 7023	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → (𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
13		relexp0g 15057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
14	13	sseq1d 4026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ↔ ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠))
15		relexp1g 15061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
16	15	sseq1d 4026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ↔ 𝑅 ⊆ 𝑠))
17	14, 16	3anbi12d 1436	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) ↔ (( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)))
18		elnn0 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0))
19		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟1))
20	19	sseq1d 4026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠))
21	20	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)))
22		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟𝑦))
23	22	sseq1d 4026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠))
24	23	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)))
25		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
26	25	sseq1d 4026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠))
27	26	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
28		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑅↑𝑟𝑥) = (𝑅↑𝑟𝑛))
29	28	sseq1d 4026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
30	29	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
31		simpr2 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)
32		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℕ)
33		1nn 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℕ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 1 ∈ ℕ)
35		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑅 ∈ 𝑉)
36		relexpaddnn 15086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
37	32, 34, 35, 36	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) = (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)))
38		simp2r3 1276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)
39		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)
40		simp2r2 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠)
41	38, 39, 40	trrelssd 15008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ∘ (𝑅↑𝑟1)) ⊆ 𝑠)
42	37, 41	eqsstrrd 4034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)
43	42	3exp 1118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ((𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠 → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
44	43	a2d 29	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
45	21, 24, 27, 30, 31, 44	nnind 12281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
46		simpr1 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠)
47		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟0))
48	47	sseq1d 4026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠))
49	46, 48	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
50	45, 49	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
51	18, 50	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
52	51	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
53	52	ralrimiv 3142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
54		iunss 5049	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
55	53, 54	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
56	55	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑅↑𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅↑𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
57	17, 56	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
59		sseq1 4020	. . . . 5 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → ((𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠 ↔ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
60	59	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → (((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠) ↔ ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
61	58, 60	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ ((𝐶‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) → ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠)))
62	12, 61	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))
63	62	alrimiv 1924	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶‘𝑅) ⊆ 𝑠))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1534   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477   ∪ cun 3960   ⊆ wss 3962  ∪ ciun 4995   ↦ cmpt 5230   I cid 5581  dom cdm 5688  ran crn 5689   ↾ cres 5690   ∘ ccom 5692  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ↑_𝑟crelexp 15054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-relexp 15055

This theorem is referenced by:  dfrtrcl3  43722