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Theorem iunrelexpmin2 38975
Description: The indexed union of relation exponentiation over the natural numbers (including zero) is the minimum reflexive-transitive relation that includes the relation. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
iunrelexpmin2.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
Assertion
Ref Expression
iunrelexpmin2 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑁,𝑠   𝑅,𝑛,𝑟   𝑅,𝑠   𝑛,𝑉,𝑟   𝑉,𝑠,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑠)

Proof of Theorem iunrelexpmin2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunrelexpmin2.def . . . . 5 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
21a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛)))
3 simplr 759 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑁 = ℕ0)
4 simpr 479 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
54oveq1d 6939 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
63, 5iuneq12d 4781 . . . 4 (((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
7 elex 3414 . . . . 5 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
87adantr 474 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → 𝑅 ∈ V)
9 nn0ex 11654 . . . . . 6 0 ∈ V
10 ovex 6956 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
119, 10iunex 7427 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1211a1i 11 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
132, 6, 8, 12fvmptd 6550 . . 3 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → (𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
14 relexp0g 14175 . . . . . . . 8 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
1514sseq1d 3851 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ↔ ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠))
16 relexp1g 14179 . . . . . . . 8 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1716sseq1d 3851 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → ((𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠𝑅𝑠))
1815, 173anbi12d 1510 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) ↔ (( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)))
19 elnn0 11649 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0))
20 oveq2 6932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟1))
2120sseq1d 3851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠))
2221imbi2d 332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)))
23 oveq2 6932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟𝑦))
2423sseq1d 3851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠))
2524imbi2d 332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)))
26 oveq2 6932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
2726sseq1d 3851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠))
2827imbi2d 332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
29 oveq2 6932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (𝑅𝑟𝑥) = (𝑅𝑟𝑛))
3029sseq1d 3851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
3130imbi2d 332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑛 → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑥) ⊆ 𝑠) ↔ ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
32 simpr2 1207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)
33 simp1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑦 ∈ ℕ)
34 1nn 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 1 ∈ ℕ)
36 simp2l 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → 𝑅𝑉)
37 relexpaddnn 14204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
3833, 35, 36, 37syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) = (𝑅𝑟(𝑦 + 1)))
39 simp2r3 1333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)
40 simp3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠)
41 simp2r2 1332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠)
4239, 40, 41trrelssd 14127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑟𝑦) ∘ (𝑅𝑟1)) ⊆ 𝑠)
4338, 42eqsstr3d 3859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)
44433exp 1109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → ((𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠 → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
4544a2d 29 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑦) ⊆ 𝑠) → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟(𝑦 + 1)) ⊆ 𝑠)))
4622, 25, 28, 31, 32, 45nnind 11399 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
47 simpr1 1205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠)
48 oveq2 6932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 0 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟0))
4948sseq1d 3851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 0 → ((𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ (𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠))
5047, 49syl5ibr 238 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5146, 50jaoi 846 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∨ 𝑛 = 0) → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5219, 51sylbi 209 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5352com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5453ralrimiv 3147 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
55 iunss 4796 . . . . . . . 8 ( 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
5654, 55sylibr 226 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉 ∧ ((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠)) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)
5756ex 403 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (((𝑅𝑟0) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5818, 57sylbird 252 . . . . 5 (𝑅𝑉 → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
5958adantr 474 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
60 sseq1 3845 . . . . 5 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) → ((𝐶𝑅) ⊆ 𝑠 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠))
6160imbi2d 332 . . . 4 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) → (((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠) ↔ ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ⊆ 𝑠)))
6259, 61syl5ibr 238 . . 3 ((𝐶𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) → ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠)))
6313, 62mpcom 38 . 2 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
6463alrimiv 1970 1 ((𝑅𝑉𝑁 = ℕ0) → ∀𝑠((( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) ⊆ 𝑠𝑅𝑠 ∧ (𝑠𝑠) ⊆ 𝑠) → (𝐶𝑅) ⊆ 𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 836  w3a 1071  wal 1599   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  Vcvv 3398  cun 3790  wss 3792   ciun 4755  cmpt 4967   I cid 5262  dom cdm 5357  ran crn 5358  cres 5359  ccom 5361  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277  cn 11379  0cn0 11647  𝑟crelexp 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-seq 13125  df-relexp 14174
This theorem is referenced by:  dfrtrcl3  38996
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