Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclreclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rtrclreclem1 14469
 Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
rtrclreclem1.1 (𝜑𝑅𝑉)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem1 (𝜑𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem1
Dummy variables 𝑟 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 11955 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 ssidd 3917 . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑅)
3 rtrclreclem1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑉)
43relexp1d 14441 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
52, 4sseqtrrd 3935 . . . . 5 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑅𝑟1))
6 oveq2 7163 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
76sseq2d 3926 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑅 ⊆ (𝑅𝑟𝑛) ↔ 𝑅 ⊆ (𝑅𝑟1)))
87rspcev 3543 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ0𝑅 ⊆ (𝑅𝑟1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅𝑟𝑛))
91, 5, 8sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅𝑟𝑛))
10 ssiun 4938 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅𝑟𝑛) → 𝑅 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
12 eqidd 2759 . . . 4 (𝜑 → (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)))
13 oveq1 7162 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
1413iuneq2d 4915 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
1514adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑟 = 𝑅) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
163elexd 3430 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ V)
17 nn0ex 11945 . . . . . 6 0 ∈ V
18 ovex 7188 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1917, 18iunex 7678 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
2112, 15, 16, 20fvmptd 6770 . . 3 (𝜑 → ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
2211, 21sseqtrrd 3935 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅))
23 df-rtrclrec 14468 . . 3 t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))
24 fveq1 6661 . . . . 5 (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)) → (t*rec‘𝑅) = ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅))
2524sseq2d 3926 . . . 4 (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)) → (𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅) ↔ 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅)))
2625imbi2d 344 . . 3 (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)) → ((𝜑𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝜑𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅))))
2723, 26ax-mp 5 . 2 ((𝜑𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝜑𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅)))
2822, 27mpbir 234 1 (𝜑𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ∪ ciun 4886   ↦ cmpt 5115  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  1c1 10581  ℕ0cn0 11939  ↑𝑟crelexp 14431  t*reccrtrcl 14467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-seq 13424  df-relexp 14432  df-rtrclrec 14468 This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  14474
 Copyright terms: Public domain W3C validator