MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclreclem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rtrclreclem1 15028
Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
rtrclreclem1.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Proof of Theorem rtrclreclem1
Dummy variables π‘Ÿ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 12510 . . . . 5 1 ∈ β„•0
2 ssidd 4001 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑅)
3 rtrclreclem1.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
43relexp1d 15000 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ1) = 𝑅)
52, 4sseqtrrd 4019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ1))
6 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿ1))
76sseq2d 4010 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ↔ 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ1)))
87rspcev 3607 . . . . 5 ((1 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ1)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
91, 5, 8sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
10 ssiun 5043 . . . 4 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
119, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
12 eqidd 2728 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)))
13 oveq1 7421 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
1413iuneq2d 5020 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
1514adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = 𝑅) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
163elexd 3490 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
17 nn0ex 12500 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
18 ovex 7447 . . . . . 6 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
1917, 18iunex 7966 . . . . 5 βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V)
2112, 15, 16, 20fvmptd 7006 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
2211, 21sseqtrrd 4019 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
23 df-rtrclrec 15027 . . 3 t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))
24 fveq1 6890 . . . . 5 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (t*recβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
2524sseq2d 4010 . . . 4 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…) ↔ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…)))
2625imbi2d 340 . . 3 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ ((πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))))
2723, 26ax-mp 5 . 2 ((πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…)))
2822, 27mpbir 230 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131  β„•0cn0 12494  β†‘π‘Ÿcrelexp 14990  t*reccrtrcl 15026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-seq 13991  df-relexp 14991  df-rtrclrec 15027
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  15033
  Copyright terms: Public domain W3C validator