MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclreclem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rtrclreclem1 15031
Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
rtrclreclem1.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Proof of Theorem rtrclreclem1
Dummy variables π‘Ÿ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 12513 . . . . 5 1 ∈ β„•0
2 ssidd 3997 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑅)
3 rtrclreclem1.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
43relexp1d 15003 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ1) = 𝑅)
52, 4sseqtrrd 4015 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ1))
6 oveq2 7421 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿ1))
76sseq2d 4006 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ↔ 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ1)))
87rspcev 3603 . . . . 5 ((1 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ1)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
91, 5, 8sylancr 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
10 ssiun 5045 . . . 4 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
119, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
12 eqidd 2726 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)))
13 oveq1 7420 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
1413iuneq2d 5021 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
1514adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = 𝑅) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
163elexd 3485 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
17 nn0ex 12503 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
18 ovex 7446 . . . . . 6 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
1917, 18iunex 7966 . . . . 5 βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V)
2112, 15, 16, 20fvmptd 7005 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
2211, 21sseqtrrd 4015 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
23 df-rtrclrec 15030 . . 3 t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))
24 fveq1 6889 . . . . 5 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (t*recβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
2524sseq2d 4006 . . . 4 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…) ↔ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…)))
2625imbi2d 339 . . 3 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ ((πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))))
2723, 26ax-mp 5 . 2 ((πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…)))
2822, 27mpbir 230 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941  βˆͺ ciun 4992   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  1c1 11134  β„•0cn0 12497  β†‘π‘Ÿcrelexp 14993  t*reccrtrcl 15029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-seq 13994  df-relexp 14994  df-rtrclrec 15030
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  15036
  Copyright terms: Public domain W3C validator