Theorem rtrclreclem1 15093

Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
rtrclreclem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
rtrclreclem1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem1

Dummy variables 𝑟 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12540	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		ssidd 4019	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑅)
3		rtrclreclem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4	3	relexp1d 15065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
5	2, 4	sseqtrrd 4037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟1))
6		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
7	6	sseq2d 4028	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛) ↔ 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟1)))
8	7	rspcev 3622	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
9	1, 5, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
10		ssiun 5051	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛) → 𝑅 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
12		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)))
13		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
14	13	iuneq2d 5027	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
16	3	elexd 3502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
17		nn0ex 12530	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
19	17, 18	iunex 7992	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
21	12, 15, 16, 20	fvmptd 7023	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
22	11, 21	sseqtrrd 4037	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅))
23		df-rtrclrec 15092	. . 3 ⊢ t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))
24		fveq1 6906	. . . . 5 ⊢ (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) → (t*rec‘𝑅) = ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅))
25	24	sseq2d 4028	. . . 4 ⊢ (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) → (𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅) ↔ 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅)))
26	25	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) → ((𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅))))
27	23, 26	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅)))
28	22, 27	mpbir 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∪ ciun 4996   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  ℕ₀cn0 12524  ↑_𝑟crelexp 15055  t*reccrtrcl 15091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-relexp 15056  df-rtrclrec 15092

This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  15098