MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclreclem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rtrclreclem1 15000
Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
rtrclreclem1.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Proof of Theorem rtrclreclem1
Dummy variables π‘Ÿ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 12484 . . . . 5 1 ∈ β„•0
2 ssidd 4004 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝑅)
3 rtrclreclem1.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
43relexp1d 14972 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ1) = 𝑅)
52, 4sseqtrrd 4022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ1))
6 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿ1))
76sseq2d 4013 . . . . . 6 (𝑛 = 1 β†’ (𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ↔ 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ1)))
87rspcev 3612 . . . . 5 ((1 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ1)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
91, 5, 8sylancr 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
10 ssiun 5048 . . . 4 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑅 βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
119, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
12 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)))
13 oveq1 7412 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
1413iuneq2d 5025 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
1514adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ = 𝑅) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
163elexd 3494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
17 nn0ex 12474 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
18 ovex 7438 . . . . . 6 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
1917, 18iunex 7951 . . . . 5 βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V)
2112, 15, 16, 20fvmptd 7002 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
2211, 21sseqtrrd 4022 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
23 df-rtrclrec 14999 . . 3 t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))
24 fveq1 6887 . . . . 5 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (t*recβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
2524sseq2d 4013 . . . 4 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…) ↔ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…)))
2625imbi2d 340 . . 3 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ ((πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))))
2723, 26ax-mp 5 . 2 ((πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…)))
2822, 27mpbir 230 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆͺ ciun 4996   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107  β„•0cn0 12468  β†‘π‘Ÿcrelexp 14962  t*reccrtrcl 14998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-relexp 14963  df-rtrclrec 14999
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  15005
  Copyright terms: Public domain W3C validator