Theorem rtrclreclem1 14999

Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
rtrclreclem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
rtrclreclem1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem1

Dummy variables 𝑟 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12434	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		ssidd 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑅)
3		rtrclreclem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4	3	relexp1d 14971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
5	2, 4	sseqtrrd 3981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟1))
6		oveq2 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
7	6	sseq2d 3976	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛) ↔ 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟1)))
8	7	rspcev 3585	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
9	1, 5, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
10		ssiun 5005	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛) → 𝑅 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
12		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)))
13		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
14	13	iuneq2d 4982	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
16	3	elexd 3468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
17		nn0ex 12424	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
18		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
19	17, 18	iunex 7926	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
21	12, 15, 16, 20	fvmptd 6957	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
22	11, 21	sseqtrrd 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅))
23		df-rtrclrec 14998	. . 3 ⊢ t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))
24		fveq1 6839	. . . . 5 ⊢ (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) → (t*rec‘𝑅) = ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅))
25	24	sseq2d 3976	. . . 4 ⊢ (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) → (𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅) ↔ 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅)))
26	25	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) → ((𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅))))
27	23, 26	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅)))
28	22, 27	mpbir 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11045  ℕ₀cn0 12418  ↑_𝑟crelexp 14961  t*reccrtrcl 14997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-relexp 14962  df-rtrclrec 14998

This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  15004