MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldiv 13832
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fldiv ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Proof of Theorem fldiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐴)
2 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝐴 − (⌊‘𝐴)) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
31, 2intfrac2 13830 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ∧ 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴)))))
43simp3d 1143 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
65oveq1d 7427 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁))
7 reflcl 13768 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
87recnd 11249 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
9 resubcl 11531 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
107, 9mpdan 684 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
1110recnd 11249 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
12 nncn 12227 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
13 nnne0 12253 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
1412, 13jca 511 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
15 divdir 11904 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
168, 11, 14, 15syl2an3an 1421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
176, 16eqtrd 2771 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
18 flcl 13767 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
19 eqid 2731 . . . . . . . 8 (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))
20 eqid 2731 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
2119, 20intfracq 13831 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))))
2221simp3d 1143 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
2318, 22sylan 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
2423oveq1d 7427 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
257adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
26 nnre 12226 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2726adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2813adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
2925, 27, 28redivcld 12049 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℝ)
30 reflcl 13768 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℝ)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℝ)
3231recnd 11249 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℂ)
3329, 31resubcld 11649 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
3433recnd 11249 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
3510adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
3635, 27, 28redivcld 12049 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ)
3736recnd 11249 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
3832, 34, 37addassd 11243 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
3917, 24, 383eqtrd 2775 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
4039fveq2d 6895 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))))
4121simp1d 1141 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
4218, 41sylan 579 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
43 fracge0 13776 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
4410, 43jca 511 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
45 nngt0 12250 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4626, 45jca 511 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
47 divge0 12090 . . . . 5 ((((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴))) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
4844, 46, 47syl2an 595 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
4933, 36, 42, 48addge0d 11797 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
50 peano2rem 11534 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5126, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5251, 26, 13redivcld 12049 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
53 nnrecre 12261 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
5452, 53jca 511 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ))
5554adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ))
5633, 36, 55jca31 514 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)))
5721simp2d 1142 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
5818, 57sylan 579 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
59 fraclt1 13774 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
6059adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
61 1re 11221 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
62 ltdiv1 12085 . . . . . . . . 9 (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
6361, 62mp3an2 1448 . . . . . . . 8 (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
6410, 46, 63syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
6560, 64mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁))
6658, 65jca 511 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
67 leltadd 11705 . . . . 5 ((((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)) → (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁))))
6856, 66, 67sylc 65 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
69 ax-1cn 11174 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
70 npcan 11476 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7112, 69, 70sylancl 585 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7271oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
7351recnd 11249 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
74 divdir 11904 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
7569, 74mp3an2 1448 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
7673, 12, 13, 75syl12anc 834 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
7712, 13dividd 11995 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
7872, 76, 773eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
7978adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
8068, 79breqtrd 5174 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)
8129flcld 13770 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
8233, 36readdcld 11250 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℝ)
83 flbi2 13789 . . . 4 (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℝ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
8481, 82, 83syl2anc 583 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
8549, 80, 84mpbir2and 710 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
8640, 85eqtr2d 2772 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451   / cdiv 11878  cn 12219  cz 12565  cfl 13762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fl 13764
This theorem is referenced by:  fldiv2  13833  modmulnn  13861  digit2  14206  bitsp1  16379
  Copyright terms: Public domain W3C validator