Theorem fldiv 13775

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Proof of Theorem fldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐴)
2		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
3	1, 2	intfrac2 13773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ∧ 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴)))))
4	3	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
6	5	oveq1d 7377	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁))
7		reflcl 13711	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11192	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
9		resubcl 11474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	7, 9	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11192	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
12		nncn 12170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		nnne0 12196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
14	12, 13	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
15		divdir 11847	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
16	8, 11, 14, 15	syl2an3an 1422	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
17	6, 16	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
18		flcl 13710	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
19		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))
20		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
21	19, 20	intfracq 13774	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))))
22	21	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
23	18, 22	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
24	23	oveq1d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
25	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
26		nnre 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
29	25, 27, 28	redivcld 11992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℝ)
30		reflcl 13711	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℂ)
33	29, 31	resubcld 11592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
35	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
36	35, 27, 28	redivcld 11992	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
38	32, 34, 37	addassd 11186	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
39	17, 24, 38	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
40	39	fveq2d 6851	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))))
41	21	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
42	18, 41	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
43		fracge0 13719	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
44	10, 43	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
45		nngt0 12193	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
46	26, 45	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
47		divge0 12033	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴))) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
48	44, 46, 47	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
49	33, 36, 42, 48	addge0d 11740	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
50		peano2rem 11477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
51	26, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
52	51, 26, 13	redivcld 11992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
53		nnrecre 12204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
54	52, 53	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ))
55	54	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ))
56	33, 36, 55	jca31 515	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)))
57	21	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
58	18, 57	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
59		fraclt1 13717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
60	59	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
61		1re 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
62		ltdiv1 12028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
63	61, 62	mp3an2 1449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
64	10, 46, 63	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
65	60, 64	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁))
66	58, 65	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
67		leltadd 11648	. . . . 5 ⊢ ((((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)) → (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁))))
68	56, 66, 67	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
69		ax-1cn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		npcan 11419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
71	12, 69, 70	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
72	71	oveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
73	51	recnd 11192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
74		divdir 11847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
75	69, 74	mp3an2 1449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
76	73, 12, 13, 75	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
77	12, 13	dividd 11938	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
78	72, 76, 77	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
79	78	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
80	68, 79	breqtrd 5136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)
81	29	flcld 13713	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
82	33, 36	readdcld 11193	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℝ)
83		flbi2 13732	. . . 4 ⊢ (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℝ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
84	81, 82, 83	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
85	49, 80, 84	mpbir2and 711	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
86	40, 85	eqtr2d 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  ℝcr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   < clt 11198   ≤ cle 11199   − cmin 11394   / cdiv 11821  ℕcn 12162  ℤcz 12508  ⌊cfl 13705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fl 13707

This theorem is referenced by:  fldiv2  13776  modmulnn  13804  digit2  14149  bitsp1  16322