Theorem fldiv 13578

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Proof of Theorem fldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐴)
2		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
3	1, 2	intfrac2 13576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ∧ 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴)))))
4	3	simp3d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
6	5	oveq1d 7286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁))
7		reflcl 13514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11004	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
9		resubcl 11285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	7, 9	mpdan 684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11004	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
12		nncn 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		nnne0 12007	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
14	12, 13	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
15		divdir 11658	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
16	8, 11, 14, 15	syl2an3an 1421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
17	6, 16	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
18		flcl 13513	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
19		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))
20		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
21	19, 20	intfracq 13577	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))))
22	21	simp3d 1143	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
23	18, 22	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
24	23	oveq1d 7286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
25	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
26		nnre 11980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
29	25, 27, 28	redivcld 11803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℝ)
30		reflcl 13514	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℝ → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11004	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℂ)
33	29, 31	resubcld 11403	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11004	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
35	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
36	35, 27, 28	redivcld 11803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11004	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
38	32, 34, 37	addassd 10998	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
39	17, 24, 38	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
40	39	fveq2d 6775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))))
41	21	simp1d 1141	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
42	18, 41	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
43		fracge0 13522	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
44	10, 43	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
45		nngt0 12004	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
46	26, 45	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
47		divge0 11844	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴))) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
48	44, 46, 47	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
49	33, 36, 42, 48	addge0d 11551	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
50		peano2rem 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
51	26, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
52	51, 26, 13	redivcld 11803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
53		nnrecre 12015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
54	52, 53	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ))
55	54	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ))
56	33, 36, 55	jca31 515	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)))
57	21	simp2d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
58	18, 57	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
59		fraclt1 13520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
60	59	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
61		1re 10976	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
62		ltdiv1 11839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
63	61, 62	mp3an2 1448	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
64	10, 46, 63	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
65	60, 64	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁))
66	58, 65	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
67		leltadd 11459	. . . . 5 ⊢ ((((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)) → (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁))))
68	56, 66, 67	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
69		ax-1cn 10930	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		npcan 11230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
71	12, 69, 70	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
72	71	oveq1d 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
73	51	recnd 11004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
74		divdir 11658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
75	69, 74	mp3an2 1448	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
76	73, 12, 13, 75	syl12anc 834	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
77	12, 13	dividd 11749	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
78	72, 76, 77	3eqtr3d 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
79	78	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
80	68, 79	breqtrd 5105	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)
81	29	flcld 13516	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
82	33, 36	readdcld 11005	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℝ)
83		flbi2 13535	. . . 4 ⊢ (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℝ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
84	81, 82, 83	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
85	49, 80, 84	mpbir2and 710	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
86	40, 85	eqtr2d 2781	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  ℝcr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   < clt 11010   ≤ cle 11011   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ⌊cfl 13508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fl 13510

This theorem is referenced by:  fldiv2  13579  modmulnn  13607  digit2  13949  bitsp1  16136