Theorem ltleadd 11780

Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ltleadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem ltleadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1 11764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵)))
2	1	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵)))
3	2	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵)))
4	3	adantrr 730	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵)))
5		leadd2 11766	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
6	5	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
7	6	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
8	7	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 ≤ 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
9	4, 8	anbi12d 644	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))))
10		readdcl 11264	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
12		readdcl 11264	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
14	13	ad2ant2lr 761	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
15		readdcl 11264	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
16	15	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
17		ltletr 11383	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
18	11, 14, 16, 17	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐵) ∧ (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
19	9, 18	sylbid 243	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is used by:  leltadd  11781  addgtge0  11785  ltleaddd  11918  modaddmodup  14057  blcvx  25097  poimirlem29  38535