Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransc 41288
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
etransc e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

Proof of Theorem etransc
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑛 𝑞 𝑘 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10364 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2 nn0abscl 14436 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℕ0)
32nn0red 11686 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
43adantr 474 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
5 nnabscl 14449 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℕ)
65nnge1d 11406 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ≤ (abs‘𝑘))
71, 4, 6lensymd 10514 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1)
8 nan 864 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1))
97, 8mpbir 223 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
109nrex 3208 . 2 ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)
11 ere 15198 . . . . . . . 8 e ∈ ℝ
1211recni 10378 . . . . . . 7 e ∈ ℂ
13 neldif 3964 . . . . . . 7 ((e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)) → e ∈ 𝔸)
1412, 13mpan 681 . . . . . 6 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ 𝔸)
15 ene0 15318 . . . . . . . 8 e ≠ 0
16 elsng 4413 . . . . . . . . 9 (e ∈ ℂ → (e ∈ {0} ↔ e = 0))
1712, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (e ∈ {0} ↔ e = 0)
1815, 17nemtbir 3094 . . . . . . 7 ¬ e ∈ {0}
1918a1i 11 . . . . . 6 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ¬ e ∈ {0})
2014, 19eldifd 3809 . . . . 5 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ (𝔸 ∖ {0}))
21 elaa2 41239 . . . . 5 (e ∈ (𝔸 ∖ {0}) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
2220, 21sylib 210 . . . 4 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
2322simprd 491 . . 3 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0))
24 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ (Poly‘ℤ))
25 0nn0 11642 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
26 n0p 40021 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
2725, 26mp3an2 1577 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
28 nelsn 4435 . . . . . . . 8 (𝑞 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
3024, 29eldifd 3809 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
3130adantrr 708 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
32 simprr 789 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → (𝑞‘e) = 0)
33 eqid 2825 . . . . 5 (coeff‘𝑞) = (coeff‘𝑞)
34 simprl 787 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0)
35 eqid 2825 . . . . 5 (deg‘𝑞) = (deg‘𝑞)
36 eqid 2825 . . . . 5 Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
37 eqid 2825 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
38 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = 𝑙 → ((coeff‘𝑞)‘) = ((coeff‘𝑞)‘𝑙))
39 oveq2 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = 𝑙 → (e↑𝑐) = (e↑𝑐𝑙))
4038, 39oveq12d 6928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( = 𝑙 → (((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐)) = (((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙)))
4140fveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = 𝑙 → (abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) = (abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))))
4241oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑙 → ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
4342cbvsumv 14810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
45 oveq2 6918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑛 → (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) = (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛))
46 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑛 → (!‘𝑚) = (!‘𝑛))
4745, 46oveq12d 6928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)) = ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4844, 47oveq12d 6928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))) = (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
4948cbvmptv 4975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
51 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
5250, 51fveq12d 6444 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛))
5352fveq2d 6441 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)))
5453breq1d 4885 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
5554cbvralv 3383 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1)
56 fveq2 6437 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑖))
5756raleqdv 3356 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
5855, 57syl5bb 275 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
5958cbvrabv 3412 . . . . . 6 {𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1} = {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}
6059infeq1i 8659 . . . . 5 inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}, ℝ, < )
61 eqid 2825 . . . . 5 sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < ) = sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < )
6231, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 60, 61etransclem48 41287 . . . 4 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
6362rexlimiva 3237 . . 3 (∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
6423, 63syl 17 . 2 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
6510, 64mt3 193 1 e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  {crab 3121  cdif 3795  {csn 4399  {ctp 4403   class class class wbr 4875  cmpt 4954  cfv 6127  (class class class)co 6910  supcsup 8621  infcinf 8622  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  *cxr 10397   < clt 10398   / cdiv 11016  0cn0 11625  cz 11711  cuz 11975  ...cfz 12626  cexp 13161  !cfa 13360  abscabs 14358  Σcsu 14800  eceu 15172  0𝑝c0p 23842  Polycply 24346  coeffccoe 24348  degcdgr 24349  𝔸caa 24475  𝑐ccxp 24708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-symdif 4072  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-disj 4844  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-prod 15016  df-ef 15177  df-e 15178  df-sin 15179  df-cos 15180  df-tan 15181  df-pi 15182  df-dvds 15365  df-gcd 15597  df-prm 15765  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-cmp 21568  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-ovol 23637  df-vol 23638  df-mbf 23792  df-itg1 23793  df-itg2 23794  df-ibl 23795  df-itg 23796  df-0p 23843  df-limc 24036  df-dv 24037  df-dvn 24038  df-ply 24350  df-coe 24352  df-dgr 24353  df-aa 24476  df-log 24709  df-cxp 24710
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator