Theorem etransc 47037

Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
etransc	⊢ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

Proof of Theorem etransc

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑙 𝑛 𝑞 𝑘 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11227	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2		nn0abscl 15389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12584	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
5		nnabscl 15403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℕ)
6	5	nnge1d 12302	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ≤ (abs‘𝑘))
7	1, 4, 6	lensymd 11379	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1)
8		nan 843	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1))
9	7, 8	mpbir 234	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
10	9	nrex 3096	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)
11		ere 16168	. . . . . . . 8 ⊢ e ∈ ℝ
12	11	recni 11241	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℂ
13		neldif 4091	. . . . . . 7 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)) → e ∈ 𝔸)
14	12, 13	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ 𝔸)
15		ene0 16290	. . . . . . . 8 ⊢ e ≠ 0
16		elsng 4608	. . . . . . . . 9 ⊢ (e ∈ ℂ → (e ∈ {0} ↔ e = 0))
17	12, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (e ∈ {0} ↔ e = 0)
18	15, 17	nemtbir 3057	. . . . . . 7 ⊢ ¬ e ∈ {0}
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ¬ e ∈ {0})
20	14, 19	eldifd 3919	. . . . 5 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ (𝔸 ∖ {0}))
21		elaa2 46988	. . . . 5 ⊢ (e ∈ (𝔸 ∖ {0}) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
22	20, 21	sylib 221	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
23	22	simprd 501	. . 3 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0))
24		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ (Poly‘ℤ))
25		0nn0 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
26		n0p 45805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
27	25, 26	mp3an2 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
28		nelsn 4637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
29	27, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
30	24, 29	eldifd 3919	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
31	30	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
32		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → (𝑞‘e) = 0)
33		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (coeff‘𝑞) = (coeff‘𝑞)
34		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0)
35		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝑞) = (deg‘𝑞)
36		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
37		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
38		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((coeff‘𝑞)‘ℎ) = ((coeff‘𝑞)‘𝑙))
39		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (e↑𝑐ℎ) = (e↑𝑐𝑙))
40	38, 39	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ)) = (((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙)))
41	40	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) = (abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))))
42	41	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
43	42	cbvsumv 15773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
45		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) = (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛))
46		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (!‘𝑚) = (!‘𝑛))
47	45, 46	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)) = ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
48	44, 47	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))) = (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
49	48	cbvmptv 5220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
51		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
52	50, 51	fveq12d 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛))
53	52	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)))
54	53	breq1d 5124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
55	54	cbvralvw 3246	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1)
56		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑖))
57	56	raleqdv 3326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
58	55, 57	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
59	58	cbvrabv 3429	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1} = {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}
60	59	infeq1i 9449	. . . . 5 ⊢ inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}, ℝ, < )
61		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < ) = sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < )
62	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 60, 61	etransclem48 47036	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
63	62	rexlimiva 3161	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
64	23, 63	syl 18	. 2 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
65	10, 64	mt3 204	1 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  {crab 3419   ∖ cdif 3905  {csn 4594  {ctp 4598   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  supcsup 9410  infcinf 9411  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   / cdiv 11889  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ↑cexp 14117  !cfa 14329  abscabs 15311  Σcsu 15763  eceu 16141  0_𝑝c0p 25865  Polycply 26378  coeffccoe 26380  degcdgr 26381  𝔸caa 26512  ↑_𝑐ccxp 26757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-symdif 4209  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-prod 15984  df-ef 16146  df-e 16147  df-sin 16148  df-cos 16149  df-tan 16150  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-prm 16755  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-cmp 23581  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-ovol 25660  df-vol 25661  df-mbf 25815  df-itg1 25816  df-itg2 25817  df-ibl 25818  df-itg 25819  df-0p 25866  df-limc 26062  df-dv 26063  df-dvn 26064  df-ply 26382  df-coe 26384  df-dgr 26385  df-aa 26513  df-log 26758  df-cxp 26759

This theorem is used by: (None)