Theorem etransc 46977

Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
etransc	⊢ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

Proof of Theorem etransc

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑙 𝑛 𝑞 𝑘 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11210	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2		nn0abscl 15365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12567	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
5		nnabscl 15379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℕ)
6	5	nnge1d 12285	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ≤ (abs‘𝑘))
7	1, 4, 6	lensymd 11362	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1)
8		nan 842	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1))
9	7, 8	mpbir 234	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
10	9	nrex 3093	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)
11		ere 16144	. . . . . . . 8 ⊢ e ∈ ℝ
12	11	recni 11224	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℂ
13		neldif 4089	. . . . . . 7 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)) → e ∈ 𝔸)
14	12, 13	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ 𝔸)
15		ene0 16266	. . . . . . . 8 ⊢ e ≠ 0
16		elsng 4604	. . . . . . . . 9 ⊢ (e ∈ ℂ → (e ∈ {0} ↔ e = 0))
17	12, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (e ∈ {0} ↔ e = 0)
18	15, 17	nemtbir 3054	. . . . . . 7 ⊢ ¬ e ∈ {0}
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ¬ e ∈ {0})
20	14, 19	eldifd 3917	. . . . 5 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ (𝔸 ∖ {0}))
21		elaa2 46928	. . . . 5 ⊢ (e ∈ (𝔸 ∖ {0}) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
22	20, 21	sylib 221	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
23	22	simprd 500	. . 3 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0))
24		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ (Poly‘ℤ))
25		0nn0 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
26		n0p 45745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
27	25, 26	mp3an2 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
28		nelsn 4633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
29	27, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
30	24, 29	eldifd 3917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
31	30	adantrr 729	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
32		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → (𝑞‘e) = 0)
33		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (coeff‘𝑞) = (coeff‘𝑞)
34		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0)
35		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝑞) = (deg‘𝑞)
36		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
37		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
38		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((coeff‘𝑞)‘ℎ) = ((coeff‘𝑞)‘𝑙))
39		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (e↑𝑐ℎ) = (e↑𝑐𝑙))
40	38, 39	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ)) = (((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙)))
41	40	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) = (abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))))
42	41	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
43	42	cbvsumv 15749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
45		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) = (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛))
46		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (!‘𝑚) = (!‘𝑛))
47	45, 46	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)) = ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
48	44, 47	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))) = (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
49	48	cbvmptv 5216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
51		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
52	50, 51	fveq12d 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛))
53	52	fveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)))
54	53	breq1d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
55	54	cbvralvw 3243	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1)
56		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑖))
57	56	raleqdv 3323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
58	55, 57	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
59	58	cbvrabv 3426	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1} = {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}
60	59	infeq1i 9440	. . . . 5 ⊢ inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}, ℝ, < )
61		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < ) = sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < )
62	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 60, 61	etransclem48 46976	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
63	62	rexlimiva 3158	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
64	23, 63	syl 18	. 2 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
65	10, 64	mt3 204	1 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ∖ cdif 3903  {csn 4590  {ctp 4594   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  supcsup 9401  infcinf 9402  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   / cdiv 11872  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536  ↑cexp 14099  !cfa 14311  abscabs 15287  Σcsu 15739  eceu 16117  0_𝑝c0p 25809  Polycply 26322  coeffccoe 26324  degcdgr 26325  𝔸caa 26456  ↑_𝑐ccxp 26698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-prod 15960  df-ef 16122  df-e 16123  df-sin 16124  df-cos 16125  df-tan 16126  df-pi 16127  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-prm 16731  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759  df-itg1 25760  df-itg2 25761  df-ibl 25762  df-itg 25763  df-0p 25810  df-limc 26006  df-dv 26007  df-dvn 26008  df-ply 26326  df-coe 26328  df-dgr 26329  df-aa 26457  df-log 26699  df-cxp 26700

This theorem is referenced by: (None)