Theorem etransc 46320

Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
etransc	⊢ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

Proof of Theorem etransc

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑙 𝑛 𝑞 𝑘 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11110	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2		nn0abscl 15216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12440	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
5		nnabscl 15230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℕ)
6	5	nnge1d 12170	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ≤ (abs‘𝑘))
7	1, 4, 6	lensymd 11261	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1)
8		nan 829	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1))
9	7, 8	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
10	9	nrex 3060	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)
11		ere 15993	. . . . . . . 8 ⊢ e ∈ ℝ
12	11	recni 11123	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℂ
13		neldif 4084	. . . . . . 7 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)) → e ∈ 𝔸)
14	12, 13	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ 𝔸)
15		ene0 16115	. . . . . . . 8 ⊢ e ≠ 0
16		elsng 4590	. . . . . . . . 9 ⊢ (e ∈ ℂ → (e ∈ {0} ↔ e = 0))
17	12, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (e ∈ {0} ↔ e = 0)
18	15, 17	nemtbir 3024	. . . . . . 7 ⊢ ¬ e ∈ {0}
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ¬ e ∈ {0})
20	14, 19	eldifd 3913	. . . . 5 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ (𝔸 ∖ {0}))
21		elaa2 46271	. . . . 5 ⊢ (e ∈ (𝔸 ∖ {0}) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
22	20, 21	sylib 218	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
23	22	simprd 495	. . 3 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0))
24		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ (Poly‘ℤ))
25		0nn0 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
26		n0p 45081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
27	25, 26	mp3an2 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
28		nelsn 4619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
30	24, 29	eldifd 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
31	30	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
32		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → (𝑞‘e) = 0)
33		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (coeff‘𝑞) = (coeff‘𝑞)
34		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0)
35		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝑞) = (deg‘𝑞)
36		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
37		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
38		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((coeff‘𝑞)‘ℎ) = ((coeff‘𝑞)‘𝑙))
39		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (e↑𝑐ℎ) = (e↑𝑐𝑙))
40	38, 39	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ)) = (((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙)))
41	40	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) = (abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))))
42	41	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
43	42	cbvsumv 15600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
45		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) = (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛))
46		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (!‘𝑚) = (!‘𝑛))
47	45, 46	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)) = ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
48	44, 47	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))) = (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
49	48	cbvmptv 5195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
51		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
52	50, 51	fveq12d 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛))
53	52	fveq2d 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)))
54	53	breq1d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
55	54	cbvralvw 3210	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1)
56		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑖))
57	56	raleqdv 3292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
58	55, 57	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
59	58	cbvrabv 3405	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1} = {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}
60	59	infeq1i 9363	. . . . 5 ⊢ inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}, ℝ, < )
61		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < ) = sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < )
62	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 60, 61	etransclem48 46319	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
63	62	rexlimiva 3125	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
64	23, 63	syl 17	. 2 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
65	10, 64	mt3 201	1 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ∖ cdif 3899  {csn 4576  {ctp 4580   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  supcsup 9324  infcinf 9325  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   / cdiv 11771  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465  ℤ_≥cuz 12729  ...cfz 13404  ↑cexp 13965  !cfa 14177  abscabs 15138  Σcsu 15590  eceu 15966  0_𝑝c0p 25595  Polycply 26114  coeffccoe 26116  degcdgr 26117  𝔸caa 26247  ↑_𝑐ccxp 26489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10323  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-symdif 4203  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-acn 9832  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-shft 14971  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-prod 15808  df-ef 15971  df-e 15972  df-sin 15973  df-cos 15974  df-tan 15975  df-pi 15976  df-dvds 16161  df-gcd 16403  df-prm 16580  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-cmp 23300  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-ovol 25390  df-vol 25391  df-mbf 25545  df-itg1 25546  df-itg2 25547  df-ibl 25548  df-itg 25549  df-0p 25596  df-limc 25792  df-dv 25793  df-dvn 25794  df-ply 26118  df-coe 26120  df-dgr 26121  df-aa 26248  df-log 26490  df-cxp 26491

This theorem is referenced by: (None)