Theorem etransc 47294

Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. This is Metamath 100 proof #67. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
etransc	⊢ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

Proof of Theorem etransc

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑙 𝑛 𝑞 𝑘 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11310	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2		nn0abscl 15480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12669	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
5		nnabscl 15494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℕ)
6	5	nnge1d 12387	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ≤ (abs‘𝑘))
7	1, 4, 6	lensymd 11462	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1)
8		nan 843	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1))
9	7, 8	mpbir 234	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
10	9	nrex 3091	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)
11		ere 16256	. . . . . . . 8 ⊢ e ∈ ℝ
12	11	recni 11324	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℂ
13		neldif 4081	. . . . . . 7 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)) → e ∈ 𝔸)
14	12, 13	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ 𝔸)
15		ene0 16378	. . . . . . . 8 ⊢ e ≠ 0
16		elsng 4598	. . . . . . . . 9 ⊢ (e ∈ ℂ → (e ∈ {0} ↔ e = 0))
17	12, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (e ∈ {0} ↔ e = 0)
18	15, 17	nemtbir 3052	. . . . . . 7 ⊢ ¬ e ∈ {0}
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ¬ e ∈ {0})
20	14, 19	eldifd 3908	. . . . 5 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ (𝔸 ∖ {0}))
21		elaa2 47245	. . . . 5 ⊢ (e ∈ (𝔸 ∖ {0}) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
22	20, 21	sylib 221	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
23	22	simprd 501	. . 3 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0))
24		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ (Poly‘ℤ))
25		0nn0 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
26		n0p 46063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
27	25, 26	mp3an2 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
28		nelsn 4627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
29	27, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
30	24, 29	eldifd 3908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
31	30	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
32		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → (𝑞‘e) = 0)
33		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (coeff‘𝑞) = (coeff‘𝑞)
34		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0)
35		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝑞) = (deg‘𝑞)
36		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
37		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
38		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((coeff‘𝑞)‘ℎ) = ((coeff‘𝑞)‘𝑙))
39		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (e↑𝑐ℎ) = (e↑𝑐𝑙))
40	38, 39	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ)) = (((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙)))
41	40	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) = (abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))))
42	41	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
43	42	cbvsumv 15864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
45		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) = (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛))
46		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (!‘𝑚) = (!‘𝑛))
47	45, 46	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)) = ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
48	44, 47	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))) = (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
49	48	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
51		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
52	50, 51	fveq12d 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛))
53	52	fveq2d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)))
54	53	breq1d 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
55	54	cbvralvw 3241	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1)
56		fveq2 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑖))
57	56	raleqdv 3320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
58	55, 57	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
59	58	cbvrabv 3423	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1} = {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}
60	59	infeq1i 9472	. . . . 5 ⊢ inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}, ℝ, < )
61		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < ) = sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < )
62	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 60, 61	etransclem48 47293	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
63	62	rexlimiva 3156	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
64	23, 63	syl 18	. 2 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
65	10, 64	mt3 204	1 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413   ∖ cdif 3896  {csn 4584  {ctp 4588   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  supcsup 9433  infcinf 9434  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344   / cdiv 11974  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ...cfz 13640  ↑cexp 14205  !cfa 14418  abscabs 15402  Σcsu 15854  eceu 16229  0_𝑝c0p 25991  Polycply 26503  coeffccoe 26505  degcdgr 26506  𝔸caa 26638  ↑_𝑐ccxp 26884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cc 10514  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-acn 10024  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ioc 13482  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-prod 16074  df-ef 16234  df-e 16235  df-sin 16236  df-cos 16237  df-tan 16238  df-pi 16239  df-dvds 16424  df-gcd 16666  df-prm 16848  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-cmp 23706  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-ovol 25786  df-vol 25787  df-mbf 25941  df-itg1 25942  df-itg2 25943  df-ibl 25944  df-itg 25945  df-0p 25992  df-limc 26187  df-dv 26188  df-dvn 26189  df-ply 26507  df-coe 26509  df-dgr 26510  df-aa 26639  df-log 26885  df-cxp 26886

This theorem is used by: (None)