Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransc 42548
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
etransc e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

Proof of Theorem etransc
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑛 𝑞 𝑘 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10634 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2 nn0abscl 14664 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℕ0)
32nn0red 11948 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
43adantr 483 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
5 nnabscl 14677 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℕ)
65nnge1d 11677 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ≤ (abs‘𝑘))
71, 4, 6lensymd 10783 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1)
8 nan 827 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1))
97, 8mpbir 233 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
109nrex 3267 . 2 ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)
11 ere 15434 . . . . . . . 8 e ∈ ℝ
1211recni 10647 . . . . . . 7 e ∈ ℂ
13 neldif 4104 . . . . . . 7 ((e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)) → e ∈ 𝔸)
1412, 13mpan 688 . . . . . 6 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ 𝔸)
15 ene0 15554 . . . . . . . 8 e ≠ 0
16 elsng 4573 . . . . . . . . 9 (e ∈ ℂ → (e ∈ {0} ↔ e = 0))
1712, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 (e ∈ {0} ↔ e = 0)
1815, 17nemtbir 3110 . . . . . . 7 ¬ e ∈ {0}
1918a1i 11 . . . . . 6 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ¬ e ∈ {0})
2014, 19eldifd 3945 . . . . 5 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ (𝔸 ∖ {0}))
21 elaa2 42499 . . . . 5 (e ∈ (𝔸 ∖ {0}) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
2220, 21sylib 220 . . . 4 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
2322simprd 498 . . 3 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0))
24 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ (Poly‘ℤ))
25 0nn0 11904 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
26 n0p 41285 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
2725, 26mp3an2 1442 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
28 nelsn 4597 . . . . . . . 8 (𝑞 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
3024, 29eldifd 3945 . . . . . 6 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
3130adantrr 715 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
32 simprr 771 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → (𝑞‘e) = 0)
33 eqid 2819 . . . . 5 (coeff‘𝑞) = (coeff‘𝑞)
34 simprl 769 . . . . 5 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0)
35 eqid 2819 . . . . 5 (deg‘𝑞) = (deg‘𝑞)
36 eqid 2819 . . . . 5 Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
37 eqid 2819 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
38 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = 𝑙 → ((coeff‘𝑞)‘) = ((coeff‘𝑞)‘𝑙))
39 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = 𝑙 → (e↑𝑐) = (e↑𝑐𝑙))
4038, 39oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( = 𝑙 → (((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐)) = (((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙)))
4140fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = 𝑙 → (abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) = (abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))))
4241oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑙 → ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
4342cbvsumv 15045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
45 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑛 → (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) = (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛))
46 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑛 → (!‘𝑚) = (!‘𝑛))
4745, 46oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)) = ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4844, 47oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))) = (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
4948cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
51 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
5250, 51fveq12d 6670 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛))
5352fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)))
5453breq1d 5067 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
5554cbvralvw 3448 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1)
56 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑖))
5756raleqdv 3414 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
5855, 57syl5bb 285 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
5958cbvrabv 3490 . . . . . 6 {𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1} = {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}
6059infeq1i 8934 . . . . 5 inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}, ℝ, < )
61 eqid 2819 . . . . 5 sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < ) = sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘) · (e↑𝑐))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < )
6231, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 60, 61etransclem48 42547 . . . 4 ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
6362rexlimiva 3279 . . 3 (∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
6423, 63syl 17 . 2 (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
6510, 64mt3 203 1 e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  {crab 3140  cdif 3931  {csn 4559  {ctp 4563   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7148  supcsup 8896  infcinf 8897  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  *cxr 10666   < clt 10667   / cdiv 11289  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12884  cexp 13421  !cfa 13625  abscabs 14585  Σcsu 15034  eceu 15408  0𝑝c0p 24262  Polycply 24766  coeffccoe 24768  degcdgr 24769  𝔸caa 24895  𝑐ccxp 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-symdif 4217  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-prod 15252  df-ef 15413  df-e 15414  df-sin 15415  df-cos 15416  df-tan 15417  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-mbf 24212  df-itg1 24213  df-itg2 24214  df-ibl 24215  df-itg 24216  df-0p 24263  df-limc 24456  df-dv 24457  df-dvn 24458  df-ply 24770  df-coe 24772  df-dgr 24773  df-aa 24896  df-log 25132  df-cxp 25133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator