Theorem etransc 46265

Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
etransc	⊢ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

Proof of Theorem etransc

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑙 𝑛 𝑞 𝑘 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11135	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
2		nn0abscl 15237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 12464	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℝ)
5		nnabscl 15251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (abs‘𝑘) ∈ ℕ)
6	5	nnge1d 12194	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → 1 ≤ (abs‘𝑘))
7	1, 4, 6	lensymd 11285	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1)
8		nan 829	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0) → ¬ (abs‘𝑘) < 1))
9	7, 8	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ¬ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
10	9	nrex 3057	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)
11		ere 16014	. . . . . . . 8 ⊢ e ∈ ℝ
12	11	recni 11148	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℂ
13		neldif 4087	. . . . . . 7 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ ¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)) → e ∈ 𝔸)
14	12, 13	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ 𝔸)
15		ene0 16136	. . . . . . . 8 ⊢ e ≠ 0
16		elsng 4593	. . . . . . . . 9 ⊢ (e ∈ ℂ → (e ∈ {0} ↔ e = 0))
17	12, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (e ∈ {0} ↔ e = 0)
18	15, 17	nemtbir 3021	. . . . . . 7 ⊢ ¬ e ∈ {0}
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ¬ e ∈ {0})
20	14, 19	eldifd 3916	. . . . 5 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → e ∈ (𝔸 ∖ {0}))
21		elaa2 46216	. . . . 5 ⊢ (e ∈ (𝔸 ∖ {0}) ↔ (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
22	20, 21	sylib 218	. . . 4 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → (e ∈ ℂ ∧ ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)))
23	22	simprd 495	. . 3 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0))
24		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ (Poly‘ℤ))
25		0nn0 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
26		n0p 45023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
27	25, 26	mp3an2 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0𝑝)
28		nelsn 4620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → ¬ 𝑞 ∈ {0𝑝})
30	24, 29	eldifd 3916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
31	30	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → 𝑞 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
32		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → (𝑞‘e) = 0)
33		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (coeff‘𝑞) = (coeff‘𝑞)
34		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0)
35		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝑞) = (deg‘𝑞)
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
37		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
38		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((coeff‘𝑞)‘ℎ) = ((coeff‘𝑞)‘𝑙))
39		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (e↑𝑐ℎ) = (e↑𝑐𝑙))
40	38, 39	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ)) = (((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙)))
41	40	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑙 → (abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) = (abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))))
42	41	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑙 → ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = ((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
43	42	cbvsumv 15621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))))
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) = Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))))
45		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) = (((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛))
46		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (!‘𝑚) = (!‘𝑛))
47	45, 46	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)) = ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
48	44, 47	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))) = (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
49	48	cbvmptv 5199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
51		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
52	50, 51	fveq12d 6833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛))
53	52	fveq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)))
54	53	breq1d 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
55	54	cbvralvw 3207	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1)
56		fveq2 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑖))
57	56	raleqdv 3290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
58	55, 57	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1))
59	58	cbvrabv 3407	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1} = {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}
60	59	infeq1i 9388	. . . . 5 ⊢ inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < ) = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (Σ𝑙 ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘𝑙) · (e↑𝑐𝑙))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑛)) < 1}, ℝ, < )
61		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < ) = sup({(abs‘((coeff‘𝑞)‘0)), (!‘(deg‘𝑞)), inf({𝑗 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (Σℎ ∈ (0...(deg‘𝑞))((abs‘(((coeff‘𝑞)‘ℎ) · (e↑𝑐ℎ))) · ((deg‘𝑞) · ((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1)))) · ((((deg‘𝑞)↑((deg‘𝑞) + 1))↑𝑚) / (!‘𝑚))))‘𝑚)) < 1}, ℝ, < )}, ℝ*, < )
62	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 60, 61	etransclem48 46264	. . . 4 ⊢ ((𝑞 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
63	62	rexlimiva 3122	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ (Poly‘ℤ)(((coeff‘𝑞)‘0) ≠ 0 ∧ (𝑞‘e) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
64	23, 63	syl 17	. 2 ⊢ (¬ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
65	10, 64	mt3 201	1 ⊢ e ∈ (ℂ ∖ 𝔸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3396   ∖ cdif 3902  {csn 4579  {ctp 4583   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  supcsup 9349  infcinf 9350  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   / cdiv 11795  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428  ↑cexp 13986  !cfa 14198  abscabs 15159  Σcsu 15611  eceu 15987  0_𝑝c0p 25586  Polycply 26105  coeffccoe 26107  degcdgr 26108  𝔸caa 26238  ↑_𝑐ccxp 26480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-prod 15829  df-ef 15992  df-e 15993  df-sin 15994  df-cos 15995  df-tan 15996  df-pi 15997  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538  df-ibl 25539  df-itg 25540  df-0p 25587  df-limc 25783  df-dv 25784  df-dvn 25785  df-ply 26109  df-coe 26111  df-dgr 26112  df-aa 26239  df-log 26481  df-cxp 26482

This theorem is referenced by: (None)