Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem35 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem etransclem35 44920
Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is case 2 of the proof in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem35.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
etransclem35.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
etransclem35.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
etransclem35.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
etransclem35.d 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0))
Assertion
Ref Expression
etransclem35 (πœ‘ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑐,𝑗,π‘₯   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑐,𝑗,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑗,𝑛,𝑐)
Proof of Theorem etransclem35
Dummy variables 𝐴 π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11198 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
3 reopn 43934 . . . . 5 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
4 eqid 2733 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54tgioo2 24301 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
63, 5eleqtri 2832 . . . 4 ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
8 etransclem35.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
9 etransclem35.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
10 etransclem35.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯↑(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑𝑃)))
11 nnm1nn0 12509 . . . 4 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
128, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
13 etransclem5 44890 . . 3 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦 βˆ’ π‘˜)↑if(π‘˜ = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 𝑃))))
14 etransclem35.c . . 3 𝐢 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = 𝑛})
15 0red 11213 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
162, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15etransclem31 44916 . 2 (πœ‘ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) = Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))(((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))))
17 nfv 1918 . . 3 β„²π‘πœ‘
18 nfcv 2904 . . 3 Ⅎ𝑐(((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))))))
1914, 12etransclem16 44901 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
20 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
2114, 12etransclem12 44897 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) = {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1)})
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) = {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1)})
2320, 22eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1)})
24 rabid 3453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1)} ↔ (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1)))
2523, 24sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1)))
2625simprd 497 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1))
2726eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—))
2827fveq2d 6892 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) = (!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)))
2928oveq1d 7419 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) = ((!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))))
30 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗𝑐
31 fzfid 13934 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
32 nn0ex 12474 . . . . . . . . . 10 β„•0 ∈ V
33 fzssnn0 43962 . . . . . . . . . 10 (0...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† β„•0
34 mapss 8879 . . . . . . . . . 10 ((β„•0 ∈ V ∧ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† β„•0) β†’ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) βŠ† (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
3532, 33, 34mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) βŠ† (β„•0 ↑m (0...𝑀))
3625simpld 496 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑐 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)))
3735, 36sselid 3979 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m (0...𝑀)))
3830, 31, 37mccl 44249 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((!β€˜Ξ£π‘— ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„•)
3929, 38eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„•)
4039nnzd 12581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„€)
418adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
429adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
43 elmapi 8839 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
4436, 43syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
45 0zd 12566 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ β„€)
4641, 42, 44, 45etransclem10 44895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) ∈ β„€)
47 fzfid 13934 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
488ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
4944adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
50 fz1ssfz0 13593 . . . . . . . . . 10 (1...𝑀) βŠ† (0...𝑀)
5150sseli 3977 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5251adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
53 0zd 12566 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ∈ β„€)
5448, 49, 52, 53etransclem3 44888 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„€)
5547, 54fprodzcl 15894 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„€)
5646, 55zmulcld 12668 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) ∈ β„€)
5740, 56zmulcld 12668 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„€)
5857zcnd 12663 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) ∈ β„‚)
59 nn0uz 12860 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6012, 59eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
61 eluzfz2 13505 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
63 eluzfz1 13504 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
6562, 64ifcld 4573 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
6665adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
67 etransclem35.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0))
6866, 67fmptd 7109 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷:(0...𝑀)⟢(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
69 ovex 7437 . . . . . . 7 (0...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ V
70 ovex 7437 . . . . . . 7 (0...𝑀) ∈ V
7169, 70elmap 8861 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝐷:(0...𝑀)⟢(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
7268, 71sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)))
739, 59eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
74 fzsscn 43956 . . . . . . . 8 (0...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† β„‚
7568ffvelcdmda 7082 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
7674, 75sselid 3979 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ β„‚)
77 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 β†’ (π·β€˜π‘—) = (π·β€˜0))
7873, 76, 77fsum1p 15695 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π·β€˜π‘—) = ((π·β€˜0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(π·β€˜π‘—)))
7967a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0)))
80 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = 0) β†’ 𝑗 = 0)
8180iftrued 4535 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = 0) β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0) = (𝑃 βˆ’ 1))
82 eluzfz1 13504 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
8373, 82syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
8479, 81, 83, 12fvmptd 7001 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜0) = (𝑃 βˆ’ 1))
85 0p1e1 12330 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
8685oveq1i 7414 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
8786sumeq1i 15640 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(π·β€˜π‘—) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(π·β€˜π‘—)
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(π·β€˜π‘—) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(π·β€˜π‘—))
8967fvmpt2 7005 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (π·β€˜π‘—) = if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0))
9051, 65, 89syl2anr 598 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘—) = if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0))
91 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
92 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ∈ ℝ)
93 elfzelz 13497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
9493zred 12662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
95 0lt1 11732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 1)
97 elfzle1 13500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ≀ 𝑗)
9891, 92, 94, 96, 97ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 𝑗)
9991, 98gtned 11345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 β‰  0)
10099neneqd 2946 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ Β¬ 𝑗 = 0)
101100iffalsed 4538 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0) = 0)
102101adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0) = 0)
10390, 102eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘—) = 0)
104103sumeq2dv 15645 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(π·β€˜π‘—) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0)
105 fzfi 13933 . . . . . . . . . 10 (1...𝑀) ∈ Fin
106105olci 865 . . . . . . . . 9 ((1...𝑀) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π΄) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin)
107 sumz 15664 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π΄) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
108106, 107mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
10988, 104, 1083eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(π·β€˜π‘—) = 0)
11084, 109oveq12d 7422 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(π·β€˜π‘—)) = ((𝑃 βˆ’ 1) + 0))
1118nncnd 12224 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
112 1cnd 11205 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
113111, 112subcld 11567 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
114113addridd 11410 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + 0) = (𝑃 βˆ’ 1))
11578, 110, 1143eqtrd 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π·β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1))
116 fveq1 6887 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘—))
117116sumeq2sdv 15646 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π·β€˜π‘—))
118117eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1) ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π·β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1)))
119118elrab 3682 . . . . 5 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1)} ↔ (𝐷 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π·β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1)))
12072, 115, 119sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1)})
121120, 21eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
122116fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) = (!β€˜(π·β€˜π‘—)))
123122prodeq2ad 44243 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) = βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—)))
124123oveq2d 7420 . . . 4 (𝑐 = 𝐷 β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))))
125 fveq1 6887 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 β†’ (π‘β€˜0) = (π·β€˜0))
126125breq2d 5159 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0) ↔ (𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0)))
127125oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐷 β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)) = ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))
128127fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 β†’ (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))) = (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))
129128oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))))
130127oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 β†’ (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))) = (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))
131129, 130oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))))
132126, 131ifbieq2d 4553 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) = if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))))
133116breq2d 5159 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 β†’ (𝑃 < (π‘β€˜π‘—) ↔ 𝑃 < (π·β€˜π‘—)))
134116oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐷 β†’ (𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)) = (𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))
135134fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐷 β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))
136135oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 β†’ ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))))
137134oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 β†’ ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))) = ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))
138136, 137oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 β†’ (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) = (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))))
139133, 138ifbieq2d 4553 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 β†’ if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))))
140139prodeq2ad 44243 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))))
141132, 140oveq12d 7422 . . . 4 (𝑐 = 𝐷 β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))))))
142124, 141oveq12d 7422 . . 3 (𝑐 = 𝐷 β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))))))
14317, 18, 19, 58, 121, 142fsumsplit1 15687 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))(((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = ((((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))))) + Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})(((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))))
14433, 75sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ β„•0)
145144faccld 14240 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π·β€˜π‘—)) ∈ β„•)
146145nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π·β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
14777fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 0 β†’ (!β€˜(π·β€˜π‘—)) = (!β€˜(π·β€˜0)))
14873, 146, 147fprod1p 15908 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—)) = ((!β€˜(π·β€˜0)) Β· βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))))
14984fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (!β€˜(π·β€˜0)) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
15086prodeq1i 15858 . . . . . . . . . . . 12 βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—)) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))
151150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—)) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—)))
152103fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (!β€˜(π·β€˜π‘—)) = (!β€˜0))
153 fac0 14232 . . . . . . . . . . . . 13 (!β€˜0) = 1
154152, 153eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (!β€˜(π·β€˜π‘—)) = 1)
155154prodeq2dv 15863 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—)) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)1)
156 prod1 15884 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π΄) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)1 = 1)
157106, 156mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)1 = 1)
158151, 155, 1573eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—)) = 1)
159149, 158oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(π·β€˜0)) Β· βˆπ‘— ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· 1))
16012faccld 14240 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
161160nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
162161mulridd 11227 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· 1) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
163148, 159, 1623eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—)) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
164163oveq2d 7420 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
165160nnne0d 12258 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β‰  0)
166161, 165dividd 11984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1))) = 1)
167164, 166eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))) = 1)
16812nn0red 12529 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
16984, 168eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π·β€˜0) ∈ ℝ)
170169, 168lttri3d 11350 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜0) = (𝑃 βˆ’ 1) ↔ (Β¬ (π·β€˜0) < (𝑃 βˆ’ 1) ∧ Β¬ (𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0))))
17184, 170mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ (π·β€˜0) < (𝑃 βˆ’ 1) ∧ Β¬ (𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0)))
172171simprd 497 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0))
173172iffalsed 4538 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))))
17484eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) = (π·β€˜0))
175113, 174subeq0bd 11636 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)) = 0)
176175fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))) = (!β€˜0))
177176, 153eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))) = 1)
178177oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / 1))
179161div1d 11978 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / 1) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
180178, 179eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
181175oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))) = (0↑0))
182 0cnd 11203 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
183182exp0d 14101 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0↑0) = 1)
184181, 183eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))) = 1)
185180, 184oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· 1))
186173, 185, 1623eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
187 fzssre 43959 . . . . . . . . . . . 12 (0...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† ℝ
18868adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐷:(0...𝑀)⟢(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
18951adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
190188, 189ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
191187, 190sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ)
1928nnred 12223 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
193192adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
1948nngt0d 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑃)
19515, 192, 194ltled 11358 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑃)
196195adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ 𝑃)
197103, 196eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑃)
198191, 193, 197lensymd 11361 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ Β¬ 𝑃 < (π·β€˜π‘—))
199198iffalsed 4538 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))) = (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))))
200103oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)) = (𝑃 βˆ’ 0))
201111adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
202201subid1d 11556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑃 βˆ’ 0) = 𝑃)
203200, 202eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)) = 𝑃)
204203fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))) = (!β€˜π‘ƒ))
205204oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) = ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜π‘ƒ)))
2068nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
207206faccld 14240 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘ƒ) ∈ β„•)
208207nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘ƒ) ∈ β„‚)
209207nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘ƒ) β‰  0)
210208, 209dividd 11984 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜π‘ƒ)) = 1)
211210adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜π‘ƒ)) = 1)
212205, 211eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) = 1)
213 df-neg 11443 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑗 = (0 βˆ’ 𝑗)
214213eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 (0 βˆ’ 𝑗) = -𝑗
215214a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (0 βˆ’ 𝑗) = -𝑗)
216215, 203oveq12d 7422 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))) = (-𝑗↑𝑃))
217212, 216oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) = (1 Β· (-𝑗↑𝑃)))
21893znegcld 12664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ -𝑗 ∈ β„€)
219218zcnd 12663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ -𝑗 ∈ β„‚)
220219adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ -𝑗 ∈ β„‚)
221206adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
222220, 221expcld 14107 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (-𝑗↑𝑃) ∈ β„‚)
223222mullidd 11228 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (1 Β· (-𝑗↑𝑃)) = (-𝑗↑𝑃))
224199, 217, 2233eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))) = (-𝑗↑𝑃))
225224prodeq2dv 15863 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))) = βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃))
226186, 225oveq12d 7422 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)))
227167, 226oveq12d 7422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))))) = (1 Β· ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃))))
228 fzfid 13934 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
229 zexpcl 14038 . . . . . . . . . 10 ((-𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„•0) β†’ (-𝑗↑𝑃) ∈ β„€)
230218, 206, 229syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (-𝑗↑𝑃) ∈ β„€)
231228, 230fprodzcl 15894 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃) ∈ β„€)
232231zcnd 12663 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃) ∈ β„‚)
233161, 232mulcld 11230 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)) ∈ β„‚)
234233mullidd 11228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 Β· ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)))
235227, 234eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)))
236 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷}) β†’ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
23783adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
23844, 237ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (π‘β€˜0) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
239236, 238sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (π‘β€˜0) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
240187, 239sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (π‘β€˜0) ∈ ℝ)
241168adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
242 elfzle2 13501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘β€˜0) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (π‘β€˜0) ≀ (𝑃 βˆ’ 1))
243239, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (π‘β€˜0) ≀ (𝑃 βˆ’ 1))
244240, 241, 243lensymd 11361 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ Β¬ (𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0))
245244iffalsed 4538 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))))
24612nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€)
247246adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€)
248239elfzelzd 13498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (π‘β€˜0) ∈ β„€)
249247, 248zsubcld 12667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)) ∈ β„€)
25044ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑐 Fn (0...𝑀))
251250adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) β†’ 𝑐 Fn (0...𝑀))
25268ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (0...𝑀))
253252ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) β†’ 𝐷 Fn (0...𝑀))
254 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 0 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜0))
255254adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 = 0) β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜0))
256 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0))
257256eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0) β†’ (π‘β€˜0) = (𝑃 βˆ’ 1))
258257ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 = 0) β†’ (π‘β€˜0) = (𝑃 βˆ’ 1))
25977adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = 0) β†’ (π·β€˜π‘—) = (π·β€˜0))
26084adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = 0) β†’ (π·β€˜0) = (𝑃 βˆ’ 1))
261259, 260eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) = (π·β€˜π‘—))
262261adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) = (π·β€˜π‘—))
263255, 258, 2623eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 = 0) β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘—))
264263adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 = 0) β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘—))
265264adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 = 0) β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘—))
26626ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1))
267168ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
268168ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
26944adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑐:(0...𝑀)⟢(0...(𝑃 βˆ’ 1)))
27050sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ ∈ (1...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
271270adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
272269, 271ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
27333, 272sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
27447, 273fsumnn0cl 15678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
275274nn0red 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
276275ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
277 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
27844ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
279187, 278sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ ℝ)
280279ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ ℝ)
281 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 β„²π‘˜((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0)
282 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 β„²π‘˜(π‘β€˜π‘—)
283 fzfid 13934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
284 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
28574, 272sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
286284, 285sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
287 1zzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 1 ∈ β„€)
288 elfzel2 13495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
289288adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
290 elfzelz 13497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
291290adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
292 elfznn0 13590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
293292adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
294 neqne 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (Β¬ 𝑗 = 0 β†’ 𝑗 β‰  0)
295294adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 𝑗 β‰  0)
296 elnnne0 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ β„• ↔ (𝑗 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 β‰  0))
297293, 295, 296sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
298297nnge1d 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 1 ≀ 𝑗)
299 elfzle2 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑗 ∈ (0...𝑀) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
300299adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 𝑗 ≀ 𝑀)
301287, 289, 291, 298, 300elfzd 13488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑀))
302301adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑀))
303302adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑀))
304 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘—))
305281, 282, 283, 286, 303, 304fsumsplit1 15687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = ((π‘β€˜π‘—) + Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜)))
306305eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ ((π‘β€˜π‘—) + Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜))
307306, 276eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ ((π‘β€˜π‘—) + Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
308 elfzle1 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘β€˜π‘—) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘—))
309278, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘—))
310309ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘—))
311 neqne 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0 β†’ (π‘β€˜π‘—) β‰  0)
312311adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ (π‘β€˜π‘—) β‰  0)
313277, 280, 310, 312leneltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ 0 < (π‘β€˜π‘—))
314 diffi 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((1...𝑀) ∈ Fin β†’ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗}) ∈ Fin)
315105, 314mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗}) ∈ Fin)
316 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗}) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝑀))
317316adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})) β†’ π‘˜ ∈ (1...𝑀))
31850, 317sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
31944ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)))
320187, 319sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
321318, 320syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
322 elfzle1 13500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((π‘β€˜π‘˜) ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘˜))
323319, 322syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘˜))
324318, 323syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘˜))
325315, 321, 324fsumge0 15737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜))
326325adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜))
327315, 321fsumrecl 15676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
328327adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
329279, 328addge01d 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜) ↔ (π‘β€˜π‘—) ≀ ((π‘β€˜π‘—) + Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜))))
330326, 329mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ≀ ((π‘β€˜π‘—) + Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜)))
331330ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ (π‘β€˜π‘—) ≀ ((π‘β€˜π‘—) + Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜)))
332277, 280, 307, 313, 331ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ 0 < ((π‘β€˜π‘—) + Ξ£π‘˜ ∈ ((1...𝑀) βˆ– {𝑗})(π‘β€˜π‘˜)))
333332, 306breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ 0 < Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜))
334276, 333elrpd 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
335268, 334ltaddrpd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) < ((𝑃 βˆ’ 1) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜)))
336335adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) < ((𝑃 βˆ’ 1) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜)))
337 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘˜))
338337cbvsumv 15638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜)
339338a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜))
34073ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
341 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))))
34274, 319sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
343341, 342sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
344 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜0))
345340, 343, 344fsum1p 15695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = ((π‘β€˜0) + Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑀)(π‘β€˜π‘˜)))
346257ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ (π‘β€˜0) = (𝑃 βˆ’ 1))
34786sumeq1i 15640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜)
348347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑀)(π‘β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜))
349346, 348oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ ((π‘β€˜0) + Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...𝑀)(π‘β€˜π‘˜)) = ((𝑃 βˆ’ 1) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜)))
350339, 345, 3493eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + Ξ£π‘˜ ∈ (1...𝑀)(π‘β€˜π‘˜)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—))
351336, 350breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) < Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—))
352267, 351gtned 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) β‰  (𝑃 βˆ’ 1))
353352neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘—) = 0) β†’ Β¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(π‘β€˜π‘—) = (𝑃 βˆ’ 1))
354266, 353condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ (π‘β€˜π‘—) = 0)
355 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ (0...𝑀))
35633, 66sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0) ∈ β„•0)
35767fvmpt2 7005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0) ∈ β„•0) β†’ (π·β€˜π‘—) = if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0))
358355, 356, 357syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘—) = if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0))
359358adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ (π·β€˜π‘—) = if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0))
360 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ Β¬ 𝑗 = 0)
361360iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ if(𝑗 = 0, (𝑃 βˆ’ 1), 0) = 0)
362359, 361eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 0 = (π·β€˜π‘—))
363362adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 0 = (π·β€˜π‘—))
364363adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ 0 = (π·β€˜π‘—))
365354, 364eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ Β¬ 𝑗 = 0) β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘—))
366265, 365pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘—))
367251, 253, 366eqfnfvd 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) β†’ 𝑐 = 𝐷)
368236, 367sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) β†’ 𝑐 = 𝐷)
369 eldifsni 4792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷}) β†’ 𝑐 β‰  𝐷)
370369neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷}) β†’ Β¬ 𝑐 = 𝐷)
371370ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) ∧ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0)) β†’ Β¬ 𝑐 = 𝐷)
372368, 371pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ Β¬ (𝑃 βˆ’ 1) = (π‘β€˜0))
373372neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) β‰  (π‘β€˜0))
374240, 241, 243, 373leneltd 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (π‘β€˜0) < (𝑃 βˆ’ 1))
375240, 241posdifd 11797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ ((π‘β€˜0) < (𝑃 βˆ’ 1) ↔ 0 < ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))
376374, 375mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ 0 < ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))
377 elnnz 12564 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)) ∈ β„• ↔ (((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)) ∈ β„€ ∧ 0 < ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))
378249, 376, 377sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)) ∈ β„•)
3793780expd 14100 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))) = 0)
380379oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· 0))
381161adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
382378nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)) ∈ β„•0)
383382faccld 14240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))) ∈ β„•)
384383nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))) ∈ β„‚)
385383nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))) β‰  0)
386381, 384, 385divcld 11986 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) ∈ β„‚)
387386mul01d 11409 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· 0) = 0)
388245, 380, 3873eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) = 0)
389388oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = (0 Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))
390236, 55sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„€)
391390zcnd 12663 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))) ∈ β„‚)
392391mul02d 11408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (0 Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = 0)
393389, 392eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))) = 0)
394393oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· 0))
395 fzfid 13934 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
39633, 278sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ β„•0)
397236, 396sylanl2 680 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ β„•0)
398397faccld 14240 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„•)
399395, 398fprodnncl 15895 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„•)
400399nncnd 12224 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
401399nnne0d 12258 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—)) β‰  0)
402381, 400, 401divcld 11986 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) ∈ β„‚)
403402mul01d 11409 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· 0) = 0)
404394, 403eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})) β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = 0)
405404sumeq2dv 15645 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})(((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})0)
406 diffi 9175 . . . . . . . 8 ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ Fin β†’ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷}) ∈ Fin)
40719, 406syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷}) ∈ Fin)
408407olcd 873 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷}) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷}) ∈ Fin))
409 sumz 15664 . . . . . 6 ((((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷}) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷}) ∈ Fin) β†’ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})0 = 0)
410408, 409syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})0 = 0)
411405, 410eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})(((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—))))))) = 0)
412235, 411oveq12d 7422 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))))) + Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})(((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))) = (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)) + 0))
413233addridd 11410 . . 3 (πœ‘ β†’ (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)) + 0) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)))
414 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘—πœ‘
415414, 206, 228, 220fprodexp 44245 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃) = (βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
416415oveq2d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
417412, 413, 4163eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π·β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π·β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π·β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π·β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π·β€˜π‘—))))))) + Σ𝑐 ∈ ((πΆβ€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ– {𝐷})(((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / βˆπ‘— ∈ (0...𝑀)(!β€˜(π‘β€˜π‘—))) Β· (if((𝑃 βˆ’ 1) < (π‘β€˜0), 0, (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) / (!β€˜((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0)))) Β· (0↑((𝑃 βˆ’ 1) βˆ’ (π‘β€˜0))))) Β· βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (π‘β€˜π‘—), 0, (((!β€˜π‘ƒ) / (!β€˜(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))) Β· ((0 βˆ’ 𝑗)↑(𝑃 βˆ’ (π‘β€˜π‘—)))))))) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
41816, 143, 4173eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (((ℝ D𝑛 𝐹)β€˜(𝑃 βˆ’ 1))β€˜0) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) Β· (βˆπ‘— ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  (,)cioo 13320  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  !cfa 14229  Ξ£csu 15628  βˆcprod 15845   β†Ύt crest 17362  TopOpenctopn 17363  topGenctg 17379  β„‚fldccnfld 20929   D𝑛 cdvn 25363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-prod 15846  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-dvn 25367
This theorem is referenced by:  etransclem41  44926
  Copyright terms: Public domain W3C validator