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Theorem etransclem35 43352
Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is case 2 of the proof in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem35.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem35.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem35.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem35.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem35.d 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
Assertion
Ref Expression
etransclem35 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑥   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem35
Dummy variables 𝐴 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10707 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 reopn 42365 . . . . 5 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
4 eqid 2738 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54tgioo2 23555 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
63, 5eleqtri 2831 . . . 4 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
8 etransclem35.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 etransclem35.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
10 etransclem35.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
11 nnm1nn0 12017 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
128, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
13 etransclem5 43322 . . 3 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
14 etransclem35.c . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
15 0red 10722 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
162, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15etransclem31 43348 . 2 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
17 nfv 1921 . . 3 𝑐𝜑
18 nfcv 2899 . . 3 𝑐(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
1914, 12etransclem16 43333 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃 − 1)) ∈ Fin)
20 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
2114, 12etransclem12 43329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃 − 1)) = {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝐶‘(𝑃 − 1)) = {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
2320, 22eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
24 rabid 3281 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)} ↔ (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)))
2523, 24sylib 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)))
2625simprd 499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1))
2726eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 1) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
2827fveq2d 6678 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 1)) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)))
2928oveq1d 7185 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))))
30 nfcv 2899 . . . . . . . 8 𝑗𝑐
31 fzfid 13432 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (0...𝑀) ∈ Fin)
32 nn0ex 11982 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
33 fzssnn0 42394 . . . . . . . . . 10 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ0
34 mapss 8499 . . . . . . . . . 10 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ0) → ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀)))
3532, 33, 34mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0m (0...𝑀))
3625simpld 498 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)))
3735, 36sseldi 3875 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ (ℕ0m (0...𝑀)))
3830, 31, 37mccl 42681 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
3929, 38eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
4039nnzd 12167 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℤ)
418adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
429adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
43 elmapi 8459 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
4436, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
45 0zd 12074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
4641, 42, 44, 45etransclem10 43327 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) ∈ ℤ)
47 fzfid 13432 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (1...𝑀) ∈ Fin)
488ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
4944adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
50 fz1ssfz0 13094 . . . . . . . . . 10 (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
5150sseli 3873 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5251adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
53 0zd 12074 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
5448, 49, 52, 53etransclem3 43320 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5547, 54fprodzcl 15400 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5646, 55zmulcld 12174 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) ∈ ℤ)
5740, 56zmulcld 12174 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ)
5857zcnd 12169 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℂ)
59 nn0uz 12362 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
6012, 59eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
61 eluzfz2 13006 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
63 eluzfz1 13005 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6562, 64ifcld 4460 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6665adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
67 etransclem35.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
6866, 67fmptd 6888 . . . . . 6 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
69 ovex 7203 . . . . . . 7 (0...(𝑃 − 1)) ∈ V
70 ovex 7203 . . . . . . 7 (0...𝑀) ∈ V
7169, 70elmap 8481 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
7268, 71sylibr 237 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)))
739, 59eleqtrdi 2843 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
74 fzsscn 42388 . . . . . . . 8 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℂ
7568ffvelrnda 6861 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
7674, 75sseldi 3875 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℂ)
77 fveq2 6674 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐷𝑗) = (𝐷‘0))
7873, 76, 77fsum1p 15201 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗)))
7967a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0)))
80 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 = 0) → 𝑗 = 0)
8180iftrued 4422 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 0) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = (𝑃 − 1))
82 eluzfz1 13005 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
8373, 82syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
8479, 81, 83, 12fvmptd 6782 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
85 0p1e1 11838 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
8685oveq1i 7180 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
8786sumeq1i 15148 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗)
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗))
8967fvmpt2 6786 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
9051, 65, 89syl2anr 600 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
91 0red 10722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
92 1red 10720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
93 elfzelz 12998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
9493zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
95 0lt1 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
97 elfzle1 13001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
9891, 92, 94, 96, 97ltletrd 10878 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
9991, 98gtned 10853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
10099neneqd 2939 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
101100iffalsed 4425 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
102101adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
10390, 102eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) = 0)
104103sumeq2dv 15153 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0)
105 fzfi 13431 . . . . . . . . . 10 (1...𝑀) ∈ Fin
106105olci 865 . . . . . . . . 9 ((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin)
107 sumz 15172 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
108106, 107mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
10988, 104, 1083eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = 0)
11084, 109oveq12d 7188 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗)) = ((𝑃 − 1) + 0))
1118nncnd 11732 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
112 1cnd 10714 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
113111, 112subcld 11075 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
114113addid1d 10918 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
11578, 110, 1143eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1))
116 fveq1 6673 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
117116sumeq2sdv 15154 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
118117eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1) ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1)))
119118elrab 3588 . . . . 5 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)} ↔ (𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1)))
12072, 115, 119sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
121120, 21eleqtrrd 2836 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
122116fveq2d 6678 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → (!‘(𝑐𝑗)) = (!‘(𝐷𝑗)))
123122prodeq2ad 42675 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)))
124123oveq2d 7186 . . . 4 (𝑐 = 𝐷 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
125 fveq1 6673 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘0) = (𝐷‘0))
126125breq2d 5042 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → ((𝑃 − 1) < (𝑐‘0) ↔ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
127125oveq2d 7186 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐷 → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) = ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))
128127fveq2d 6678 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
129128oveq2d 7186 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
130127oveq2d 7186 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
131129, 130oveq12d 7188 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
132126, 131ifbieq2d 4440 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))))
133116breq2d 5042 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (𝑃 < (𝑐𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐷𝑗)))
134116oveq2d 7186 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐷 → (𝑃 − (𝑐𝑗)) = (𝑃 − (𝐷𝑗)))
135134fveq2d 6678 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐷 → (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗))))
136135oveq2d 7186 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
137134oveq2d 7186 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))) = ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))
138136, 137oveq12d 7188 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
139133, 138ifbieq2d 4440 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
140139prodeq2ad 42675 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
141132, 140oveq12d 7188 . . . 4 (𝑐 = 𝐷 → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
142124, 141oveq12d 7188 . . 3 (𝑐 = 𝐷 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
14317, 18, 19, 58, 121, 142fsumsplit1 42655 . 2 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))))
14433, 75sseldi 3875 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℕ0)
145144faccld 13736 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) ∈ ℕ)
146145nncnd 11732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) ∈ ℂ)
14777fveq2d 6678 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 0 → (!‘(𝐷𝑗)) = (!‘(𝐷‘0)))
14873, 146, 147fprod1p 15414 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ((!‘(𝐷‘0)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
14984fveq2d 6678 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝐷‘0)) = (!‘(𝑃 − 1)))
15086prodeq1i 15364 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))
151150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)))
152103fveq2d 6678 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) = (!‘0))
153 fac0 13728 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘0) = 1
154152, 153eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) = 1)
155154prodeq2dv 15369 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1)
156 prod1 15390 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1 = 1)
157106, 156mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1 = 1)
158151, 155, 1573eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = 1)
159149, 158oveq12d 7188 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝐷‘0)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
16012faccld 13736 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
161160nncnd 11732 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
162161mulid1d 10736 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
163148, 159, 1623eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = (!‘(𝑃 − 1)))
164163oveq2d 7186 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1))))
165160nnne0d 11766 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
166161, 165dividd 11492 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1))) = 1)
167164, 166eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = 1)
16812nn0red 12037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
16984, 168eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
170169, 168lttri3d 10858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))))
17184, 170mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
172171simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
173172iffalsed 4425 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
17484eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐷‘0))
175113, 174subeq0bd 11144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = 0)
176175fveq2d 6678 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (!‘0))
177176, 153eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
178177oveq2d 7186 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
179161div1d 11486 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
180178, 179eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
181175oveq2d 7186 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑0))
182 0cnd 10712 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
183182exp0d 13596 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0↑0) = 1)
184181, 183eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
185180, 184oveq12d 7188 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
186173, 185, 1623eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
187 fzssre 42391 . . . . . . . . . . . 12 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℝ
18868adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
18951adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
190188, 189ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
191187, 190sseldi 3875 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℝ)
1928nnred 11731 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
193192adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℝ)
1948nngt0d 11765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑃)
19515, 192, 194ltled 10866 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
196195adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ 𝑃)
197103, 196eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ≤ 𝑃)
198191, 193, 197lensymd 10869 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ 𝑃 < (𝐷𝑗))
199198iffalsed 4425 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
200103oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷𝑗)) = (𝑃 − 0))
201111adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
202201subid1d 11064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − 0) = 𝑃)
203200, 202eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷𝑗)) = 𝑃)
204203fveq2d 6678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗))) = (!‘𝑃))
205204oveq2d 7186 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)))
2068nnnn0d 12036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
207206faccld 13736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℕ)
208207nncnd 11732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
209207nnne0d 11766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑃) ≠ 0)
210208, 209dividd 11492 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)) = 1)
211210adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)) = 1)
212205, 211eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = 1)
213 df-neg 10951 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑗 = (0 − 𝑗)
214213eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 𝑗) = -𝑗
215214a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (0 − 𝑗) = -𝑗)
216215, 203oveq12d 7188 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))) = (-𝑗𝑃))
217212, 216oveq12d 7188 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = (1 · (-𝑗𝑃)))
21893znegcld 12170 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
219218zcnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
220219adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
221206adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
222220, 221expcld 13602 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (-𝑗𝑃) ∈ ℂ)
223222mulid2d 10737 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (1 · (-𝑗𝑃)) = (-𝑗𝑃))
224199, 217, 2233eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = (-𝑗𝑃))
225224prodeq2dv 15369 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃))
226186, 225oveq12d 7188 . . . . . 6 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
227167, 226oveq12d 7188 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (1 · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃))))
228 fzfid 13432 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
229 zexpcl 13536 . . . . . . . . . 10 ((-𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (-𝑗𝑃) ∈ ℤ)
230218, 206, 229syl2anr 600 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (-𝑗𝑃) ∈ ℤ)
231228, 230fprodzcl 15400 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃) ∈ ℤ)
232231zcnd 12169 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃) ∈ ℂ)
233161, 232mulcld 10739 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) ∈ ℂ)
234233mulid2d 10737 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
235227, 234eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
236 eldifi 4017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
23783adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ∈ (0...𝑀))
23844, 237ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
239236, 238sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
240187, 239sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ ℝ)
241168adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
242 elfzle2 13002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → (𝑐‘0) ≤ (𝑃 − 1))
243239, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ≤ (𝑃 − 1))
244240, 241, 243lensymd 10869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝑐‘0))
245244iffalsed 4425 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))))
24612nn0zd 12166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
247246adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
248239elfzelzd 12999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ ℤ)
249247, 248zsubcld 12173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℤ)
25044ffnd 6505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 Fn (0...𝑀))
251250adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 Fn (0...𝑀))
25268ffnd 6505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐷 Fn (0...𝑀))
253252ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝐷 Fn (0...𝑀))
254 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 0 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘0))
255254adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝑐‘0))
256 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 − 1) = (𝑐‘0) → (𝑃 − 1) = (𝑐‘0))
257256eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 − 1) = (𝑐‘0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
258257ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
25977adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝐷𝑗) = (𝐷‘0))
26084adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
261259, 260eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝑃 − 1) = (𝐷𝑗))
262261adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑃 − 1) = (𝐷𝑗))
263255, 258, 2623eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
264263adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
265264adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
26626ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1))
267168ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
268168ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
26944adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
27050sseli 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
271270adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
272269, 271ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
27333, 272sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℕ0)
27447, 273fsumnn0cl 15186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℕ0)
275274nn0red 12037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
276275ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
277 0red 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 ∈ ℝ)
27844ffvelrnda 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
279187, 278sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℝ)
280279ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐𝑗) ∈ ℝ)
281 nfv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑘((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0)
282 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑘(𝑐𝑗)
283 fzfid 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (1...𝑀) ∈ Fin)
284 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))))
28574, 272sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
286284, 285sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
287 1zzd 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 1 ∈ ℤ)
288 elfzel2 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
289288adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
290 elfzelz 12998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
291290adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℤ)
292 elfznn0 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
293292adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
294 neqne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 𝑗 = 0 → 𝑗 ≠ 0)
295294adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ≠ 0)
296 elnnne0 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ≠ 0))
297293, 295, 296sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℕ)
298297nnge1d 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 1 ≤ 𝑗)
299 elfzle2 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
300299adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗𝑀)
301287, 289, 291, 298, 300elfzd 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
302301adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
303302adantlll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
304 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = 𝑗 → (𝑐𝑘) = (𝑐𝑗))
305281, 282, 283, 286, 303, 304fsumsplit1 42655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) = ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
306305eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘))
307306, 276eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
308 elfzle1 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ (𝑐𝑗))
309278, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (𝑐𝑗))
310309ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 ≤ (𝑐𝑗))
311 neqne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (¬ (𝑐𝑗) = 0 → (𝑐𝑗) ≠ 0)
312311adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐𝑗) ≠ 0)
313277, 280, 310, 312leneltd 10872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 < (𝑐𝑗))
314 diffi 8827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
315105, 314mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
316 eldifi 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
317316adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
31850, 317sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
31944ffvelrnda 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
320187, 319sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℝ)
321318, 320syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → (𝑐𝑘) ∈ ℝ)
322 elfzle1 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑐𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ (𝑐𝑘))
323319, 322syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (𝑐𝑘))
324318, 323syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 0 ≤ (𝑐𝑘))
325315, 321, 324fsumge0 15243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘))
326325adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘))
327315, 321fsumrecl 15184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
328327adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
329279, 328addge01d 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘) ↔ (𝑐𝑗) ≤ ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘))))
330326, 329mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ≤ ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
331330ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐𝑗) ≤ ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
332277, 280, 307, 313, 331ltletrd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 < ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
333332, 306breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 < Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘))
334276, 333elrpd 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℝ+)
335268, 334ltaddrpd 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)))
336335adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)))
337 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 𝑘 → (𝑐𝑗) = (𝑐𝑘))
338337cbvsumv 15146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘)
339338a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘))
34073ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
341 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))))
34274, 319sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
343341, 342sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
344 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 0 → (𝑐𝑘) = (𝑐‘0))
345340, 343, 344fsum1p 15201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = ((𝑐‘0) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘)))
346257ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
34786sumeq1i 15148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)
348347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘))
349346, 348oveq12d 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑐‘0) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘)) = ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)))
350339, 345, 3493eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
351336, 350breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
352267, 351gtned 10853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) ≠ (𝑃 − 1))
353352neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1))
354266, 353condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = 0)
355 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
35633, 66sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ ℕ0)
35767fvmpt2 6786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ ℕ0) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
358355, 356, 357syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
359358adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
360 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → ¬ 𝑗 = 0)
361360iffalsed 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
362359, 361eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷𝑗))
363362adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷𝑗))
364363adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷𝑗))
365354, 364eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
366265, 365pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
367251, 253, 366eqfnfvd 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 = 𝐷)
368236, 367sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 = 𝐷)
369 eldifsni 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → 𝑐𝐷)
370369neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → ¬ 𝑐 = 𝐷)
371370ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → ¬ 𝑐 = 𝐷)
372368, 371pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ¬ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0))
373372neqned 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ≠ (𝑐‘0))
374240, 241, 243, 373leneltd 10872 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) < (𝑃 − 1))
375240, 241posdifd 11305 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑐‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
376374, 375mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))
377 elnnz 12072 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
378249, 376, 377sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ)
3793780expd 13595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = 0)
380379oveq2d 7186 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · 0))
381161adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
382378nnnn0d 12036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ0)
383382faccld 13736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ∈ ℕ)
384383nncnd 11732 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ∈ ℂ)
385383nnne0d 11766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ≠ 0)
386381, 384, 385divcld 11494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) ∈ ℂ)
387386mul01d 10917 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · 0) = 0)
388245, 380, 3873eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = 0)
389388oveq1d 7185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
390236, 55sylan2 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
391390zcnd 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℂ)
392391mul02d 10916 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = 0)
393389, 392eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = 0)
394393oveq2d 7186 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · 0))
395 fzfid 13432 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0...𝑀) ∈ Fin)
39633, 278sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℕ0)
397236, 396sylanl2 681 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℕ0)
398397faccld 13736 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℕ)
399395, 398fprodnncl 15401 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℕ)
400399nncnd 11732 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
401399nnne0d 11766 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ≠ 0)
402381, 400, 401divcld 11494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
403402mul01d 10917 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · 0) = 0)
404394, 403eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = 0)
405404sumeq2dv 15153 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0)
406 diffi 8827 . . . . . . . 8 ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∈ Fin → ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin)
40719, 406syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin)
408407olcd 873 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin))
409 sumz 15172 . . . . . 6 ((((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin) → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0 = 0)
410408, 409syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0 = 0)
411405, 410eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = 0)
412235, 411oveq12d 7188 . . 3 (𝜑 → ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) + 0))
413233addid1d 10918 . . 3 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) + 0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
414 nfv 1921 . . . . 5 𝑗𝜑
415414, 206, 228, 220fprodexp 42677 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃))
416415oveq2d 7186 . . 3 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
417412, 413, 4163eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
41816, 143, 4173eqtrd 2777 1 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  {crab 3057  Vcvv 3398  cdif 3840  wss 3843  ifcif 4414  {csn 4516  {cpr 4518   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ran crn 5526   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437  Fincfn 8555  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753  cle 10754  cmin 10948  -cneg 10949   / cdiv 11375  cn 11716  0cn0 11976  cz 12062  cuz 12324  (,)cioo 12821  ...cfz 12981  cexp 13521  !cfa 13725  Σcsu 15135  cprod 15351  t crest 16797  TopOpenctopn 16798  topGenctg 16814  fldccnfld 20217   D𝑛 cdvn 24616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-prod 15352  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-dvn 24620
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