etransclem35 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem etransclem35 43700

Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is case 2 of the proof in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
etransclem35.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
etransclem35.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
etransclem35.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
etransclem35.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem35.d	⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))

**Assertion**
Ref	Expression
etransclem35	⊢ (𝜑 → (((ℝ D^𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑐,𝑗,𝑥 𝐷,𝑐,𝑗 𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥 𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥 𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑛) 𝐷(𝑥,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem35 Dummy variables 𝐴 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 10894	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		reopn 42717	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
5	4	tgioo2 23872	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
6	3, 5	eleqtri 2837	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))
8		etransclem35.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		etransclem35.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
10		etransclem35.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑃)))
11		nnm1nn0 12204	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
12	8, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
13		etransclem5 43670	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦 − 𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥 − 𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
14		etransclem35.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
15		0red 10909	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16	2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15	etransclem31 43696	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D^𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))))
17		nfv 1918	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑐𝜑
18		nfcv 2906	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑐(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
19	14, 12	etransclem16 43681	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝑃 − 1)) ∈ Fin)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
21	14, 12	etransclem12 43677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝑃 − 1)) = {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1)})
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝐶‘(𝑃 − 1)) = {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1)})
23	20, 22	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1)})
24		rabid 3304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1)} ↔ (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1)))
25	23, 24	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1)))
26	25	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1))
27	26	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 1) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗))
28	27	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 1)) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗)))
29	28	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))))
30		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑐
31		fzfid 13621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (0...𝑀) ∈ Fin)
32		nn0ex 12169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ₀ ∈ V
33		fzssnn0 42746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ₀
34		mapss 8635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℕ₀ ∈ V ∧ (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ₀) → ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀)))
35	32, 33, 34	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ⊆ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀))
36	25	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)))
37	35, 36	sselid 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ (ℕ₀ ↑_m (0...𝑀)))
38	30, 31, 37	mccl 43029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) ∈ ℕ)
39	29, 38	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) ∈ ℕ)
40	39	nnzd 12354	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) ∈ ℤ)
41	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
42	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
43		elmapi 8595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
44	36, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
45		0zd 12261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
46	41, 42, 44, 45	etransclem10 43675	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) ∈ ℤ)
47		fzfid 13621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (1...𝑀) ∈ Fin)
48	8	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
49	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
50		fz1ssfz0 13281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
51	50	sseli 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
52	51	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
53		0zd 12261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
54	48, 49, 52, 53	etransclem3 43668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))) ∈ ℤ)
55	47, 54	fprodzcl 15592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))) ∈ ℤ)
56	46, 55	zmulcld 12361	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))))) ∈ ℤ)
57	40, 56	zmulcld 12361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℤ)
58	57	zcnd 12356	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) ∈ ℂ)
59		nn0uz 12549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
60	12, 59	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
61		eluzfz2 13193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
63		eluzfz1 13192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
64	60, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
65	62, 64	ifcld 4502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
66	65	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
67		etransclem35.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
68	66, 67	fmptd 6970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
69		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (0...(𝑃 − 1)) ∈ V
70		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (0...𝑀) ∈ V
71	69, 70	elmap 8617	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ↔ 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
72	68, 71	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)))
73	9, 59	eleqtrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
74		fzsscn 42740	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℂ
75	68	ffvelrnda 6943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
76	74, 75	sselid 3915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℂ)
77		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘0))
78	73, 76, 77	fsum1p 15393	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗)))
79	67	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0)))
80		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → 𝑗 = 0)
81	80	iftrued 4464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = (𝑃 − 1))
82		eluzfz1 13192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
83	73, 82	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
84	79, 81, 83, 12	fvmptd 6864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
85		0p1e1 12025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
86	85	oveq1i 7265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
87	86	sumeq1i 15338	. . . . . . . . 9 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗)
88	87	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗))
89	67	fvmpt2 6868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝐷‘𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
90	51, 65, 89	syl2anr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
91		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
92		1red 10907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
93		elfzelz 13185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
94	93	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
95		0lt1 11427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 1
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
97		elfzle1 13188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
98	91, 92, 94, 96, 97	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
99	91, 98	gtned 11040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
100	99	neneqd 2947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
101	100	iffalsed 4467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
102	101	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
103	90, 102	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) = 0)
104	103	sumeq2dv 15343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0)
105		fzfi 13620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
106	105	olci 862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin)
107		sumz 15362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
108	106, 107	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
109	88, 104, 108	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗) = 0)
110	84, 109	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷‘𝑗)) = ((𝑃 − 1) + 0))
111	8	nncnd 11919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
112		1cnd 10901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
113	111, 112	subcld 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
114	113	addid1d 11105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
115	78, 110, 114	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = (𝑃 − 1))
116		fveq1 6755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
117	116	sumeq2sdv 15344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗))
118	117	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1) ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = (𝑃 − 1)))
119	118	elrab 3617	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1)} ↔ (𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷‘𝑗) = (𝑃 − 1)))
120	72, 115, 119	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑_m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1)})
121	120, 21	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
122	116	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (!‘(𝑐‘𝑗)) = (!‘(𝐷‘𝑗)))
123	122	prodeq2ad 43023	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗)))
124	123	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))))
125		fveq1 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘0) = (𝐷‘0))
126	125	breq2d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → ((𝑃 − 1) < (𝑐‘0) ↔ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
127	125	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) = ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))
128	127	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
129	128	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
130	127	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
131	129, 130	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
132	126, 131	ifbieq2d 4482	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))))
133	116	breq2d 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑃 < (𝑐‘𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐷‘𝑗)))
134	116	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (𝑃 − (𝑐‘𝑗)) = (𝑃 − (𝐷‘𝑗)))
135	134	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))
136	135	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))
137	134	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))) = ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))
138	136, 137	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))
139	133, 138	ifbieq2d 4482	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))
140	139	prodeq2ad 43023	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))
141	132, 140	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))))
142	124, 141	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐷 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))))
143	17, 18, 19, 58, 121, 142	fsumsplit1 15385	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) = ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))))))))
144	33, 75	sselid 3915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℕ₀)
145	144	faccld 13926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐷‘𝑗)) ∈ ℕ)
146	145	nncnd 11919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐷‘𝑗)) ∈ ℂ)
147	77	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘(𝐷‘𝑗)) = (!‘(𝐷‘0)))
148	73, 146, 147	fprod1p 15606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗)) = ((!‘(𝐷‘0)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))))
149	84	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝐷‘0)) = (!‘(𝑃 − 1)))
150	86	prodeq1i 15556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗)))
152	103	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝐷‘𝑗)) = (!‘0))
153		fac0 13918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (!‘0) = 1
154	152, 153	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝐷‘𝑗)) = 1)
155	154	prodeq2dv 15561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1)
156		prod1 15582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝑀) ⊆ (ℤ_≥‘𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1 = 1)
157	106, 156	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1 = 1)
158	151, 155, 157	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗)) = 1)
159	149, 158	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝐷‘0)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
160	12	faccld 13926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
161	160	nncnd 11919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
162	161	mulid1d 10923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
163	148, 159, 162	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗)) = (!‘(𝑃 − 1)))
164	163	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1))))
165	160	nnne0d 11953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
166	161, 165	dividd 11679	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1))) = 1)
167	164, 166	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) = 1)
168	12	nn0red 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
169	84, 168	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
170	169, 168	lttri3d 11045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))))
171	84, 170	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
172	171	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
173	172	iffalsed 4467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
174	84	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐷‘0))
175	113, 174	subeq0bd 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = 0)
176	175	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (!‘0))
177	176, 153	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
178	177	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
179	161	div1d 11673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
180	178, 179	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
181	175	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑0))
182		0cnd 10899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
183	182	exp0d 13786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0↑0) = 1)
184	181, 183	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
185	180, 184	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
186	173, 185, 162	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
187		fzssre 42743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℝ
188	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
189	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
190	188, 189	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
191	187, 190	sselid 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ∈ ℝ)
192	8	nnred 11918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
193	192	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℝ)
194	8	nngt0d 11952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
195	15, 192, 194	ltled 11053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
196	195	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ 𝑃)
197	103, 196	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) ≤ 𝑃)
198	191, 193, 197	lensymd 11056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ 𝑃 < (𝐷‘𝑗))
199	198	iffalsed 4467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))
200	103	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑗)) = (𝑃 − 0))
201	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
202	201	subid1d 11251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − 0) = 𝑃)
203	200, 202	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷‘𝑗)) = 𝑃)
204	203	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗))) = (!‘𝑃))
205	204	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)))
206	8	nnnn0d 12223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ₀)
207	206	faccld 13926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℕ)
208	207	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
209	207	nnne0d 11953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑃) ≠ 0)
210	208, 209	dividd 11679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)) = 1)
211	210	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)) = 1)
212	205, 211	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) = 1)
213		df-neg 11138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -𝑗 = (0 − 𝑗)
214	213	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 − 𝑗) = -𝑗
215	214	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (0 − 𝑗) = -𝑗)
216	215, 203	oveq12d 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))) = (-𝑗↑𝑃))
217	212, 216	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) = (1 · (-𝑗↑𝑃)))
218	93	znegcld 12357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
219	218	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
220	219	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
221	206	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ₀)
222	220, 221	expcld 13792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (-𝑗↑𝑃) ∈ ℂ)
223	222	mulid2d 10924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (1 · (-𝑗↑𝑃)) = (-𝑗↑𝑃))
224	199, 217, 223	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = (-𝑗↑𝑃))
225	224	prodeq2dv 15561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃))
226	186, 225	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)))
227	167, 226	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = (1 · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃))))
228		fzfid 13621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
229		zexpcl 13725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ₀) → (-𝑗↑𝑃) ∈ ℤ)
230	218, 206, 229	syl2anr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (-𝑗↑𝑃) ∈ ℤ)
231	228, 230	fprodzcl 15592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃) ∈ ℤ)
232	231	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃) ∈ ℂ)
233	161, 232	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)) ∈ ℂ)
234	233	mulid2d 10924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)))
235	227, 234	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)))
236		eldifi 4057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
237	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ∈ (0...𝑀))
238	44, 237	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
239	236, 238	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
240	187, 239	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ ℝ)
241	168	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
242		elfzle2 13189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → (𝑐‘0) ≤ (𝑃 − 1))
243	239, 242	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ≤ (𝑃 − 1))
244	240, 241, 243	lensymd 11056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝑐‘0))
245	244	iffalsed 4467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))))
246	12	nn0zd 12353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
247	246	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
248	239	elfzelzd 13186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ ℤ)
249	247, 248	zsubcld 12360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℤ)
250	44	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 Fn (0...𝑀))
251	250	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 Fn (0...𝑀))
252	68	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (0...𝑀))
253	252	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝐷 Fn (0...𝑀))
254		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑐‘𝑗) = (𝑐‘0))
255	254	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐‘𝑗) = (𝑐‘0))
256		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 − 1) = (𝑐‘0) → (𝑃 − 1) = (𝑐‘0))
257	256	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 − 1) = (𝑐‘0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
258	257	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
259	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘0))
260	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
261	259, 260	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 0) → (𝑃 − 1) = (𝐷‘𝑗))
262	261	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑃 − 1) = (𝐷‘𝑗))
263	255, 258, 262	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
264	263	adantllr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
265	264	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
266	26	ad4antr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1))
267	168	ad5antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
268	168	ad4antr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
269	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
270	50	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
271	270	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
272	269, 271	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐‘𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
273	33, 272	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐‘𝑘) ∈ ℕ₀)
274	47, 273	fsumnn0cl 15376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘) ∈ ℕ₀)
275	274	nn0red 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘) ∈ ℝ)
276	275	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘) ∈ ℝ)
277		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → 0 ∈ ℝ)
278	44	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐‘𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
279	187, 278	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐‘𝑗) ∈ ℝ)
280	279	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → (𝑐‘𝑗) ∈ ℝ)
281		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ Ⅎ𝑘((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0)
282		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑐‘𝑗)
283		fzfid 13621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → (1...𝑀) ∈ Fin)
284		simp-4l 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))))
285	74, 272	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐‘𝑘) ∈ ℂ)
286	284, 285	sylancom 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐‘𝑘) ∈ ℂ)
287		1zzd 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 1 ∈ ℤ)
288		elfzel2 13183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
289	288	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
290		elfzelz 13185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
291	290	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℤ)
292		elfznn0 13278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
293	292	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℕ₀)
294		neqne 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (¬ 𝑗 = 0 → 𝑗 ≠ 0)
295	294	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ≠ 0)
296		elnnne0 12177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑗 ≠ 0))
297	293, 295, 296	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℕ)
298	297	nnge1d 11951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 1 ≤ 𝑗)
299		elfzle2 13189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ≤ 𝑀)
300	299	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ≤ 𝑀)
301	287, 289, 291, 298, 300	elfzd 13176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
302	301	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
303	302	adantlll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
304		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑗))
305	281, 282, 283, 286, 303, 304	fsumsplit1 15385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘) = ((𝑐‘𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘)))
306	305	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → ((𝑐‘𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘))
307	306, 276	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → ((𝑐‘𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘)) ∈ ℝ)
308		elfzle1 13188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑐‘𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ (𝑐‘𝑗))
309	278, 308	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (𝑐‘𝑗))
310	309	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → 0 ≤ (𝑐‘𝑗))
311		neqne 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (¬ (𝑐‘𝑗) = 0 → (𝑐‘𝑗) ≠ 0)
312	311	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → (𝑐‘𝑗) ≠ 0)
313	277, 280, 310, 312	leneltd 11059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → 0 < (𝑐‘𝑗))
314		diffi 8979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
315	105, 314	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
316		eldifi 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
317	316	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
318	50, 317	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
319	44	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐‘𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
320	187, 319	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐‘𝑘) ∈ ℝ)
321	318, 320	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → (𝑐‘𝑘) ∈ ℝ)
322		elfzle1 13188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑐‘𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ (𝑐‘𝑘))
323	319, 322	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (𝑐‘𝑘))
324	318, 323	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 0 ≤ (𝑐‘𝑘))
325	315, 321, 324	fsumge0 15435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘))
326	325	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘))
327	315, 321	fsumrecl 15374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘) ∈ ℝ)
328	327	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘) ∈ ℝ)
329	279, 328	addge01d 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘) ↔ (𝑐‘𝑗) ≤ ((𝑐‘𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘))))
330	326, 329	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐‘𝑗) ≤ ((𝑐‘𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘)))
331	330	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → (𝑐‘𝑗) ≤ ((𝑐‘𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘)))
332	277, 280, 307, 313, 331	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → 0 < ((𝑐‘𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐‘𝑘)))
333	332, 306	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → 0 < Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘))
334	276, 333	elrpd 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
335	268, 334	ltaddrpd 12734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘)))
336	335	adantl3r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘)))
337		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑐‘𝑗) = (𝑐‘𝑘))
338	337	cbvsumv 15336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑘)
339	338	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑘))
340	73	ad5antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘0))
341		simp-5l 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))))
342	74, 319	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐‘𝑘) ∈ ℂ)
343	341, 342	sylancom 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐‘𝑘) ∈ ℂ)
344		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘0))
345	340, 343, 344	fsum1p 15393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑘) = ((𝑐‘0) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐‘𝑘)))
346	257	ad4antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
347	86	sumeq1i 15338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘)
348	347	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘))
349	346, 348	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → ((𝑐‘0) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐‘𝑘)) = ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘)))
350	339, 345, 349	3eqtrrd 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐‘𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗))
351	336, 350	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗))
352	267, 351	gtned 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) ≠ (𝑃 − 1))
353	352	neneqd 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐‘𝑗) = 0) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = (𝑃 − 1))
354	266, 353	condan 814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝑐‘𝑗) = 0)
355		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
356	33, 66	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ ℕ₀)
357	67	fvmpt2 6868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ ℕ₀) → (𝐷‘𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
358	355, 356, 357	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷‘𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
359	358	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝐷‘𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
360		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → ¬ 𝑗 = 0)
361	360	iffalsed 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
362	359, 361	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷‘𝑗))
363	362	adantllr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷‘𝑗))
364	363	adantllr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷‘𝑗))
365	354, 364	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
366	265, 365	pm2.61dan 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐‘𝑗) = (𝐷‘𝑗))
367	251, 253, 366	eqfnfvd 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 = 𝐷)
368	236, 367	sylanl2 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 = 𝐷)
369		eldifsni 4720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → 𝑐 ≠ 𝐷)
370	369	neneqd 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → ¬ 𝑐 = 𝐷)
371	370	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → ¬ 𝑐 = 𝐷)
372	368, 371	pm2.65da 813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ¬ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0))
373	372	neqned 2949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ≠ (𝑐‘0))
374	240, 241, 243, 373	leneltd 11059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) < (𝑃 − 1))
375	240, 241	posdifd 11492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑐‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
376	374, 375	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))
377		elnnz 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
378	249, 376, 377	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ)
379	378	0expd 13785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = 0)
380	379	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · 0))
381	161	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
382	378	nnnn0d 12223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ₀)
383	382	faccld 13926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ∈ ℕ)
384	383	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ∈ ℂ)
385	383	nnne0d 11953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ≠ 0)
386	381, 384, 385	divcld 11681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) ∈ ℂ)
387	386	mul01d 11104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · 0) = 0)
388	245, 380, 387	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = 0)
389	388	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))))))
390	236, 55	sylan2 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))) ∈ ℤ)
391	390	zcnd 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))) ∈ ℂ)
392	391	mul02d 11103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))))) = 0)
393	389, 392	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))))) = 0)
394	393	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · 0))
395		fzfid 13621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0...𝑀) ∈ Fin)
396	33, 278	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐‘𝑗) ∈ ℕ₀)
397	236, 396	sylanl2 677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐‘𝑗) ∈ ℕ₀)
398	397	faccld 13926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐‘𝑗)) ∈ ℕ)
399	395, 398	fprodnncl 15593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗)) ∈ ℕ)
400	399	nncnd 11919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗)) ∈ ℂ)
401	399	nnne0d 11953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗)) ≠ 0)
402	381, 400, 401	divcld 11681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) ∈ ℂ)
403	402	mul01d 11104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · 0) = 0)
404	394, 403	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) = 0)
405	404	sumeq2dv 15343	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) = Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0)
406		diffi 8979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∈ Fin → ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin)
407	19, 406	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin)
408	407	olcd 870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ⊆ (ℤ_≥‘0) ∨ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin))
409		sumz 15362	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ⊆ (ℤ_≥‘0) ∨ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin) → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0 = 0)
410	408, 409	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0 = 0)
411	405, 410	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗))))))) = 0)
412	235, 411	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)) + 0))
413	233	addid1d 11105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)) + 0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)))
414		nfv 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
415	414, 206, 228, 220	fprodexp 43025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃))
416	415	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗↑𝑃)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
417	412, 413, 416	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷‘𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐‘𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐‘𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐‘𝑗)))))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))
418	16, 143, 417	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D^𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗↑𝑃)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 843 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 {crab 3067 Vcvv 3422 ∖ cdif 3880 ⊆ wss 3883 ifcif 4456 {csn 4558 {cpr 4560 class class class wbr 5070 ↦ cmpt 5153 ran crn 5581 Fn wfn 6413 ⟶wf 6414 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ↑_m cmap 8573 Fincfn 8691 ℂcc 10800 ℝcr 10801 0cc0 10802 1c1 10803 + caddc 10805 · cmul 10807 < clt 10940 ≤ cle 10941 − cmin 11135 -cneg 11136 / cdiv 11562 ℕcn 11903 ℕ₀cn0 12163 ℤcz 12249 ℤ_≥cuz 12511 (,)cioo 13008 ...cfz 13168 ↑cexp 13710 !cfa 13915 Σcsu 15325 ∏cprod 15543 ↾_t crest 17048 TopOpenctopn 17049 topGenctg 17065 ℂ_fldccnfld 20510 D^𝑛 cdvn 24933

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-rep 5205 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-inf2 9329 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880 ax-addf 10881 ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-int 4877 df-iun 4923 df-iin 4924 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-se 5536 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-isom 6427 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-of 7511 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-supp 7949 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-1o 8267 df-2o 8268 df-er 8456 df-map 8575 df-pm 8576 df-ixp 8644 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-fin 8695 df-fsupp 9059 df-fi 9100 df-sup 9131 df-inf 9132 df-oi 9199 df-card 9628 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-4 11968 df-5 11969 df-6 11970 df-7 11971 df-8 11972 df-9 11973 df-n0 12164 df-z 12250 df-dec 12367 df-uz 12512 df-q 12618 df-rp 12660 df-xneg 12777 df-xadd 12778 df-xmul 12779 df-ioo 13012 df-ico 13014 df-icc 13015 df-fz 13169 df-fzo 13312 df-seq 13650 df-exp 13711 df-fac 13916 df-bc 13945 df-hash 13973 df-cj 14738 df-re 14739 df-im 14740 df-sqrt 14874 df-abs 14875 df-clim 15125 df-sum 15326 df-prod 15544 df-struct 16776 df-sets 16793 df-slot 16811 df-ndx 16823 df-base 16841 df-ress 16868 df-plusg 16901 df-mulr 16902 df-starv 16903 df-sca 16904 df-vsca 16905 df-ip 16906 df-tset 16907 df-ple 16908 df-ds 16910 df-unif 16911 df-hom 16912 df-cco 16913 df-rest 17050 df-topn 17051 df-0g 17069 df-gsum 17070 df-topgen 17071 df-pt 17072 df-prds 17075 df-xrs 17130 df-qtop 17135 df-imas 17136 df-xps 17138 df-mre 17212 df-mrc 17213 df-acs 17215 df-mgm 18241 df-sgrp 18290 df-mnd 18301 df-submnd 18346 df-mulg 18616 df-cntz 18838 df-cmn 19303 df-psmet 20502 df-xmet 20503 df-met 20504 df-bl 20505 df-mopn 20506 df-fbas 20507 df-fg 20508 df-cnfld 20511 df-top 21951 df-topon 21968 df-topsp 21990 df-bases 22004 df-cld 22078 df-ntr 22079 df-cls 22080 df-nei 22157 df-lp 22195 df-perf 22196 df-cn 22286 df-cnp 22287 df-haus 22374 df-tx 22621 df-hmeo 22814 df-fil 22905 df-fm 22997 df-flim 22998 df-flf 22999 df-xms 23381 df-ms 23382 df-tms 23383 df-cncf 23947 df-limc 24935 df-dv 24936 df-dvn 24937

This theorem is referenced by: etransclem41 43706

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