Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climisp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climisp 45136
Description: If a sequence converges to an isolated point (w.r.t. the standard topology on the complex numbers) then the sequence eventually becomes that point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climisp.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climisp.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climisp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
climisp.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climisp.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
climisp.l ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ 𝑋 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climisp (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝑗,𝐹,π‘˜   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem climisp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . 4 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
2 nfra1 3277 . . . 4 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
31, 2nfan 1894 . . 3 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋))
4 simplll 773 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
5 climisp.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
65uztrn2 12877 . . . . 5 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
76ad4ant24 752 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
8 rspa 3241 . . . . . 6 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋))
98simprd 494 . . . . 5 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
109adantll 712 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
11 simpl3 1190 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
12 neqne 2944 . . . . . . 7 (Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴)
13 climisp.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
1413rpred 13054 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1514ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
16 climisp.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
1716ffvelcdmda 7097 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
18 climisp.c . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
195fvexi 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
2116, 20fexd 7243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
22 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
2321, 22clim 15476 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))))
2418, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
2524simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2625adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2717, 26subcld 11607 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
2827abscld 15421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
2928adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
30 climisp.l . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ 𝑋 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
31303expa 1115 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ 𝑋 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
3215, 29, 31lensymd 11401 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
3312, 32sylan2 591 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
34333adantl3 1165 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
3511, 34condan 816 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
364, 7, 10, 35syl3anc 1368 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
373, 36ralrimia 3251 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
38 breq2 5154 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋))
3938anbi2d 628 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)))
4039rexralbidv 3216 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)))
4124simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
4240, 41, 13rspcdva 3610 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋))
43 climisp.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
445rexuz3 15333 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)))
4543, 44syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)))
4642, 45mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋))
4737, 46reximddv3 44520 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066  Vcvv 3471   class class class wbr 5150  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„‚cc 11142  β„cr 11143   < clt 11284   ≀ cle 11285   βˆ’ cmin 11480  β„€cz 12594  β„€β‰₯cuz 12858  β„+crp 13012  abscabs 15219   ⇝ cli 15466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator