Theorem climisp 46700

Description: If a sequence converges to an isolated point (w.r.t. the standard topology on the complex numbers) then the sequence eventually becomes that point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climisp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climisp.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climisp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
climisp.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climisp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
climisp.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
climisp	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climisp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
2		nfra1 3287	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3	1, 2	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4		simplll 787	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
5		climisp.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uztrn2 12965	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7	6	ad4ant24 767	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
8		rspa 3252	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
9	8	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
10	9	adantll 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
11		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
12		neqne 2964	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴)
13		climisp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 13145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
16		climisp.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
17	16	ffvelcdmda 7076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		climisp.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
19	5	fvexi 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
21	16, 20	fexd 7225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
22		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23	21, 22	clim 15641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
24	18, 23	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
25	24	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	17, 26	subcld 11650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
30		climisp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
31	30	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
32	15, 29, 31	lensymd 11442	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
33	12, 32	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
34	33	3adantl3 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
35	11, 34	condan 830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
36	4, 7, 10, 35	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
37	3, 36	ralrimia 3262	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴)
38		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
39	38	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
40	39	rexralbidv 3229	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
41	24	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
42	40, 41, 13	rspcdva 3578	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
43		climisp.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
44	5	rexuz3 15496	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
45	43, 44	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
46	42, 45	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
47	37, 46	reximddv3 3180	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ℝ⁺crp 13101  abscabs 15381   ⇝ cli 15631

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635

This theorem is used by: (None)