Theorem climisp 45761

Description: If a sequence converges to an isolated point (w.r.t. the standard topology on the complex numbers) then the sequence eventually becomes that point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climisp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climisp.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climisp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
climisp.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climisp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
climisp.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
climisp	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climisp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
2		nfra1 3284	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3	1, 2	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4		simplll 775	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
5		climisp.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uztrn2 12897	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7	6	ad4ant24 754	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
8		rspa 3248	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
9	8	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
10	9	adantll 714	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
11		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
12		neqne 2948	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴)
13		climisp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 13077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
16		climisp.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
17	16	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		climisp.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
19	5	fvexi 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
21	16, 20	fexd 7247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
22		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23	21, 22	clim 15530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
24	18, 23	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
25	24	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	17, 26	subcld 11620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
30		climisp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
31	30	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
32	15, 29, 31	lensymd 11412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
33	12, 32	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
34	33	3adantl3 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
35	11, 34	condan 818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
36	4, 7, 10, 35	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
37	3, 36	ralrimia 3258	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴)
38		breq2 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
39	38	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
40	39	rexralbidv 3223	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
41	24	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
42	40, 41, 13	rspcdva 3623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
43		climisp.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
44	5	rexuz3 15387	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
46	42, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
47	37, 46	reximddv3 3172	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273   ⇝ cli 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524

This theorem is referenced by: (None)