Theorem climisp 46849

Description: If a sequence converges to an isolated point (w.r.t. the standard topology on the complex numbers) then the sequence eventually becomes that point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climisp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climisp.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climisp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
climisp.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climisp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
climisp.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
climisp	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climisp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
2		nfra1 3286	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3	1, 2	nfan 1931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4		simplll 787	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
5		climisp.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uztrn2 12987	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7	6	ad4ant24 767	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
8		rspa 3251	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
9	8	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
10	9	adantll 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
11		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
12		neqne 2963	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴 → (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴)
13		climisp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
14	13	rpred 13167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
16		climisp.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
17	16	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		climisp.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
19	5	fvexi 6899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑍 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
21	16, 20	fexd 7233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
22		eqidd 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23	21, 22	clim 15666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
24	18, 23	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
25	24	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
27	17, 26	subcld 11672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
28	27	abscld 15611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
30		climisp.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
31	30	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)))
32	15, 29, 31	lensymd 11464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
33	12, 32	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
34	33	3adantl3 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
35	11, 34	condan 830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
36	4, 7, 10, 35	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
37	3, 36	ralrimia 3261	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴)
38		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
39	38	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
40	39	rexralbidv 3228	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
41	24	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
42	40, 41, 13	rspcdva 3577	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
43		climisp.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
44	5	rexuz3 15521	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
45	43, 44	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
46	42, 45	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
47	37, 46	reximddv3 3179	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ℝ⁺crp 13123  abscabs 15406   ⇝ cli 15656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660

This theorem is used by: (None)