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Theorem climisp 42962
Description: If a sequence converges to an isolated point (w.r.t. the standard topology on the complex numbers) then the sequence eventually becomes that point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climisp.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climisp.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climisp.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
climisp.c (𝜑𝐹𝐴)
climisp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
climisp.l ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climisp (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climisp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1922 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
2 nfra1 3140 . . . 4 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
31, 2nfan 1907 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4 simplll 775 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
5 climisp.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
65uztrn2 12457 . . . . 5 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
76ad4ant24 754 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
8 rspa 3128 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
98simprd 499 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
109adantll 714 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
11 simpl3 1195 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
12 neqne 2948 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑘) = 𝐴 → (𝐹𝑘) ≠ 𝐴)
13 climisp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
1413rpred 12628 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1514ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
16 climisp.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
1716ffvelrnda 6904 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 climisp.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹𝐴)
195fvexi 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 ∈ V)
2116, 20fexd 7043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ V)
22 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
2321, 22clim 15055 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
2418, 23mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
2524simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2625adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2717, 26subcld 11189 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
2827abscld 15000 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2928adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
30 climisp.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
31303expa 1120 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3215, 29, 31lensymd 10983 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3312, 32sylan2 596 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
34333adantl3 1170 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3511, 34condan 818 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
364, 7, 10, 35syl3anc 1373 . . 3 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
373, 36ralrimia 3406 . 2 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
38 breq2 5057 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
3938anbi2d 632 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4039rexralbidv 3220 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4124simprd 499 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
4240, 41, 13rspcdva 3539 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
43 climisp.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
445rexuz3 14912 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4543, 44syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4642, 45mpbird 260 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4737, 46reximddv3 42373 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408   class class class wbr 5053  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  cz 12176  cuz 12438  +crp 12586  abscabs 14797  cli 15045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049
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