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Theorem climisp 44077
Description: If a sequence converges to an isolated point (w.r.t. the standard topology on the complex numbers) then the sequence eventually becomes that point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climisp.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climisp.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climisp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
climisp.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climisp.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
climisp.l ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ 𝑋 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climisp (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝑗,𝐹,π‘˜   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,π‘˜   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem climisp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . 4 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
2 nfra1 3266 . . . 4 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
31, 2nfan 1903 . . 3 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋))
4 simplll 774 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
5 climisp.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
65uztrn2 12790 . . . . 5 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
76ad4ant24 753 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
8 rspa 3230 . . . . . 6 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋))
98simprd 497 . . . . 5 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
109adantll 713 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
11 simpl3 1194 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
12 neqne 2948 . . . . . . 7 (Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴)
13 climisp.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ+)
1413rpred 12965 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
16 climisp.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„‚)
1716ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
18 climisp.c . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
195fvexi 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
2116, 20fexd 7181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
22 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
2321, 22clim 15385 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))))
2418, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯)))
2524simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2625adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2717, 26subcld 11520 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
2827abscld 15330 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
30 climisp.l . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ 𝑋 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
31303expa 1119 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ 𝑋 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)))
3215, 29, 31lensymd 11314 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) β‰  𝐴) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
3312, 32sylan2 594 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
34333adantl3 1169 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)
3511, 34condan 817 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
364, 7, 10, 35syl3anc 1372 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
373, 36ralrimia 3240 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
38 breq2 5113 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋))
3938anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)))
4039rexralbidv 3211 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)))
4124simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < π‘₯))
4240, 41, 13rspcdva 3584 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋))
43 climisp.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
445rexuz3 15242 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)))
4543, 44syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋)))
4642, 45mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ 𝐴)) < 𝑋))
4737, 46reximddv3 43453 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  abscabs 15128   ⇝ cli 15375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379
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