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Theorem climisp 40710
Description: If a sequence converges to an isolated point (w.r.t. the standard topology on the complex numbers) then the sequence eventually becomes that point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climisp.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climisp.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climisp.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
climisp.c (𝜑𝐹𝐴)
climisp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
climisp.l ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climisp (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climisp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 2010 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
2 nfra1 3120 . . . 4 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
31, 2nfan 1999 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4 simplll 792 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
5 climisp.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
65uztrn2 11944 . . . . 5 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
76ad4ant24 764 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
8 rspa 3109 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
98simprd 490 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
109adantll 706 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
11 simpl3 1247 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
12 neqne 2977 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑘) = 𝐴 → (𝐹𝑘) ≠ 𝐴)
13 climisp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
1413rpred 12113 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1514ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
16 climisp.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
1716ffvelrnda 6583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 climisp.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹𝐴)
195fvexi 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 ∈ V)
2116, 20fexd 40042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ V)
22 eqidd 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
2321, 22clim 14563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
2418, 23mpbid 224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
2524simpld 489 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2625adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2717, 26subcld 10682 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
2827abscld 14513 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2928adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
30 climisp.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
31303expa 1148 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3215, 29, 31lensymd 10476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3312, 32sylan2 587 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
34333adantl3 1210 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3511, 34condan 853 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
364, 7, 10, 35syl3anc 1491 . . 3 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
373, 36ralrimia 40060 . 2 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
38 breq2 4845 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
3938anbi2d 623 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4039rexralbidv 3237 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4124simprd 490 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
4240, 41, 13rspcdva 3501 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
43 climisp.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
445rexuz3 14426 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4543, 44syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4642, 45mpbird 249 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4737, 46reximddv3 40086 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  wral 3087  wrex 3088  Vcvv 3383   class class class wbr 4841  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  cc 10220  cr 10221   < clt 10361  cle 10362  cmin 10554  cz 11662  cuz 11926  +crp 12070  abscabs 14312  cli 14553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-clim 14557
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