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Theorem climisp 41894
Description: If a sequence converges to an isolated point (w.r.t. the standard topology on the complex numbers) then the sequence eventually becomes that point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
climisp.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climisp.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climisp.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
climisp.c (𝜑𝐹𝐴)
climisp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
climisp.l ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
climisp (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climisp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1908 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
2 nfra1 3223 . . . 4 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
31, 2nfan 1893 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4 simplll 771 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
5 climisp.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
65uztrn2 12254 . . . . 5 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
76ad4ant24 750 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
8 rspa 3210 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
98simprd 496 . . . . 5 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
109adantll 710 . . . 4 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
11 simpl3 1187 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
12 neqne 3028 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑘) = 𝐴 → (𝐹𝑘) ≠ 𝐴)
13 climisp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
1413rpred 12424 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1514ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
16 climisp.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℂ)
1716ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 climisp.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹𝐴)
195fvexi 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑍 ∈ V)
2116, 20fexd 41247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ V)
22 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
2321, 22clim 14844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
2418, 23mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
2524simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
2717, 26subcld 10989 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℂ)
2827abscld 14789 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ ℝ)
30 climisp.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
31303expa 1112 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → 𝑋 ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3215, 29, 31lensymd 10783 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ≠ 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3312, 32sylan2 592 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
34333adantl3 1162 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑘) = 𝐴) → ¬ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)
3511, 34condan 814 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
364, 7, 10, 35syl3anc 1365 . . 3 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
373, 36ralrimia 41265 . 2 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
38 breq2 5066 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
3938anbi2d 628 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4039rexralbidv 3305 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4124simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))
4240, 41, 13rspcdva 3628 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
43 climisp.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
445rexuz3 14701 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4543, 44syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋)))
4642, 45mpbird 258 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑋))
4737, 46reximddv3 41287 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499   class class class wbr 5062  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  cz 11973  cuz 12235  +crp 12382  abscabs 14586  cli 14834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838
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