MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2lem 26142
Description: Lemma for dvlog2 26143. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2lem 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2 cnxmet 24271 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-1cn 11164 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
4 1xr 11269 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
5 blssm 23906 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
62, 3, 4, 5mp3an 1462 . . . . 5 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
71, 6eqsstri 4015 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
87sseli 3977 . . 3 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℂ)
9 1red 11211 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
10 cnmet 24270 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
11 mnfxr 11267 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
12 0re 11212 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
13 iocssre 13400 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
1411, 12, 13mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
15 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15sstri 3990 . . . . . . . . 9 (-∞(,]0) ⊆ ℂ
1716sseli 3977 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
18 metcl 23820 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
1910, 3, 17, 18mp3an12i 1466 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
20 1m0e1 12329 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
2114sseli 3977 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
2212a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
23 elioc2 13383 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0)))
2411, 12, 23mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0))
2524simp3bi 1148 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
2621, 22, 9, 25lesub2dd 11827 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
2720, 26eqbrtrrid 5183 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2928cnmetdval 24269 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
303, 17, 29sylancr 588 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
31 0le1 11733 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
3321, 22, 9, 25, 32letrd 11367 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
3421, 9, 33abssubge0d 15374 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
3530, 34eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
3627, 35breqtrrd 5175 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
379, 19, 36lensymd 11361 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
382a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
394a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
403a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
41 elbl2 23878 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4238, 39, 40, 17, 41syl22anc 838 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4337, 42mtbird 325 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
4443con2i 139 . . . 4 (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
4544, 1eleq2s 2852 . . 3 (𝑥𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
468, 45eldifd 3958 . 2 (𝑥𝑆𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
4746ssriv 3985 1 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3944  wss 3947   class class class wbr 5147  ccom 5679  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  -∞cmnf 11242  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  (,]cioc 13321  abscabs 15177  ∞Metcxmet 20914  Metcmet 20915  ballcbl 20916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioc 13325  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924
This theorem is referenced by:  dvlog2  26143  logtayl  26150  logtayl2  26152  efrlim  26454  lgamcvg2  26539
  Copyright terms: Public domain W3C validator