Theorem dvlog2lem 26712

Description: Lemma for dvlog2 26713. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvlog2.s	⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)

Assertion

Ref	Expression
dvlog2lem	⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlog2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2		cnxmet 24814	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-1cn 11242	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		1xr 11349	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5		blssm 24449	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1461	. . . . 5 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
7	1, 6	eqsstri 4043	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
8	7	sseli 4004	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ℂ)
9		1red 11291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
10		cnmet 24813	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
11		mnfxr 11347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		0re 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		iocssre 13487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℝ
15		ax-resscn 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16	14, 15	sstri 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℂ
17	16	sseli 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
18		metcl 24363	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
19	10, 3, 17, 18	mp3an12i 1465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
20		1m0e1 12414	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
21	14	sseli 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
23		elioc2 13470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0)))
24	11, 12, 23	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0))
25	24	simp3bi 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
26	21, 22, 9, 25	lesub2dd 11907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
27	20, 26	eqbrtrrid 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
28		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
29	28	cnmetdval 24812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
30	3, 17, 29	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
31		0le1 11813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
33	21, 22, 9, 25, 32	letrd 11447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
34	21, 9, 33	abssubge0d 15480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
35	30, 34	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
36	27, 35	breqtrrd 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
37	9, 19, 36	lensymd 11441	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
38	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
39	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
40	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
41		elbl2 24421	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
42	38, 39, 40, 17, 41	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
43	37, 42	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
44	43	con2i 139	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
45	44, 1	eleq2s 2862	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
46	8, 45	eldifd 3987	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
47	46	ssriv 4012	1 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  (,]cioc 13408  abscabs 15283  ∞Metcxmet 21372  Metcmet 21373  ballcbl 21374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ioc 13412  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382

This theorem is referenced by:  dvlog2  26713  logtayl  26720  logtayl2  26722  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  lgamcvg2  27116