MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2lem 26160
Description: Lemma for dvlog2 26161. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2lem 𝑆 βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)
2 cnxmet 24289 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
3 ax-1cn 11168 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
4 1xr 11273 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
5 blssm 23924 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚)
62, 3, 4, 5mp3an 1462 . . . . 5 (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚
71, 6eqsstri 4017 . . . 4 𝑆 βŠ† β„‚
87sseli 3979 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9 1red 11215 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 1 ∈ ℝ)
10 cnmet 24288 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
11 mnfxr 11271 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
12 0re 11216 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
13 iocssre 13404 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (-∞(,]0) βŠ† ℝ)
1411, 12, 13mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (-∞(,]0) βŠ† ℝ
15 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
1614, 15sstri 3992 . . . . . . . . 9 (-∞(,]0) βŠ† β„‚
1716sseli 3979 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
18 metcl 23838 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) ∈ ℝ)
1910, 3, 17, 18mp3an12i 1466 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) ∈ ℝ)
20 1m0e1 12333 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 0) = 1
2114sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2212a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 0 ∈ ℝ)
23 elioc2 13387 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 0)))
2411, 12, 23mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 0))
2524simp3bi 1148 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ π‘₯ ≀ 0)
2621, 22, 9, 25lesub2dd 11831 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (1 βˆ’ 0) ≀ (1 βˆ’ π‘₯))
2720, 26eqbrtrrid 5185 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 1 ≀ (1 βˆ’ π‘₯))
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2928cnmetdval 24287 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) = (absβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)))
303, 17, 29sylancr 588 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) = (absβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)))
31 0le1 11737 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ 1
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 0 ≀ 1)
3321, 22, 9, 25, 32letrd 11371 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ π‘₯ ≀ 1)
3421, 9, 33abssubge0d 15378 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)) = (1 βˆ’ π‘₯))
3530, 34eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) = (1 βˆ’ π‘₯))
3627, 35breqtrrd 5177 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 1 ≀ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯))
379, 19, 36lensymd 11365 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ Β¬ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) < 1)
382a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
394a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 1 ∈ ℝ*)
403a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 1 ∈ β„‚)
41 elbl2 23896 . . . . . . 7 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) < 1))
4238, 39, 40, 17, 41syl22anc 838 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (π‘₯ ∈ (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) < 1))
4337, 42mtbird 325 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
4443con2i 139 . . . 4 (π‘₯ ∈ (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (-∞(,]0))
4544, 1eleq2s 2852 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (-∞(,]0))
468, 45eldifd 3960 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
4746ssriv 3987 1 𝑆 βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  (,]cioc 13325  abscabs 15181  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioc 13329  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939
This theorem is referenced by:  dvlog2  26161  logtayl  26168  logtayl2  26170  efrlim  26474  lgamcvg2  26559
  Copyright terms: Public domain W3C validator