Theorem dvlog2lem 27037

Description: Lemma for dvlog2 27038. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvlog2.s	⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)

Assertion

Ref	Expression
dvlog2lem	⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlog2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2		cnxmet 25146	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-1cn 11297	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		1xr 11407	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5		blssm 24792	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
7	1, 6	eqsstri 3959	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
8	7	sseli 3909	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ℂ)
9		1red 11348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
10		cnmet 25145	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
11		mnfxr 11405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		0re 11349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		iocssre 13598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℝ
15		ax-resscn 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16	14, 15	sstri 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℂ
17	16	sseli 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
18		metcl 24706	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
19	10, 3, 17, 18	mp3an12i 1495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
20		1m0e1 12502	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
21	14	sseli 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
23		elioc2 13580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0)))
24	11, 12, 23	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0))
25	24	simp3bi 1165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
26	21, 22, 9, 25	lesub2dd 11973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
27	20, 26	eqbrtrrid 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
28		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
29	28	cnmetdval 25144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
30	3, 17, 29	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
31		0le1 11879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
33	21, 22, 9, 25, 32	letrd 11506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
34	21, 9, 33	abssubge0d 15645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
35	30, 34	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
36	27, 35	breqtrrd 5139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
37	9, 19, 36	lensymd 11500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
38	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
39	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
40	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
41		elbl2 24764	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
42	38, 39, 40, 17, 41	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
43	37, 42	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
44	43	con2i 140	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
45	44, 1	eleq2s 2882	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
46	8, 45	eldifd 4053	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
47	46	ssriv 3917	1 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5108   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  (,]cioc 13517  abscabs 15444  ∞Metcxmet 21714  Metcmet 21715  ballcbl 21716

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-xadd 13282  df-ioc 13521  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724

This theorem is used by:  dvlog2  27038  logtayl  27045  logtayl2  27047  efrlim  27354  lgamcvg2  27439