MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2lem 26694
Description: Lemma for dvlog2 26695. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2lem 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2 cnxmet 24793 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-1cn 11213 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
4 1xr 11320 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
5 blssm 24428 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
62, 3, 4, 5mp3an 1463 . . . . 5 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
71, 6eqsstri 4030 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
87sseli 3979 . . 3 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℂ)
9 1red 11262 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
10 cnmet 24792 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
11 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
12 0re 11263 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
13 iocssre 13467 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
1411, 12, 13mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
15 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15sstri 3993 . . . . . . . . 9 (-∞(,]0) ⊆ ℂ
1716sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
18 metcl 24342 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
1910, 3, 17, 18mp3an12i 1467 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
20 1m0e1 12387 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
2114sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
2212a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
23 elioc2 13450 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0)))
2411, 12, 23mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0))
2524simp3bi 1148 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
2621, 22, 9, 25lesub2dd 11880 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
2720, 26eqbrtrrid 5179 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
28 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2928cnmetdval 24791 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
303, 17, 29sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
31 0le1 11786 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
3321, 22, 9, 25, 32letrd 11418 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
3421, 9, 33abssubge0d 15470 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
3530, 34eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
3627, 35breqtrrd 5171 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
379, 19, 36lensymd 11412 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
382a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
394a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
403a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
41 elbl2 24400 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4238, 39, 40, 17, 41syl22anc 839 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4337, 42mtbird 325 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
4443con2i 139 . . . 4 (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
4544, 1eleq2s 2859 . . 3 (𝑥𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
468, 45eldifd 3962 . 2 (𝑥𝑆𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
4746ssriv 3987 1 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  wss 3951   class class class wbr 5143  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  (,]cioc 13388  abscabs 15273  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  ballcbl 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioc 13392  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359
This theorem is referenced by:  dvlog2  26695  logtayl  26702  logtayl2  26704  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  lgamcvg2  27098
  Copyright terms: Public domain W3C validator