Theorem dvlog2lem 26611

Description: Lemma for dvlog2 26612. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvlog2.s	⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)

Assertion

Ref	Expression
dvlog2lem	⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlog2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2		cnxmet 24709	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-1cn 11185	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		1xr 11292	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5		blssm 24355	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
7	1, 6	eqsstri 4005	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
8	7	sseli 3954	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ℂ)
9		1red 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
10		cnmet 24708	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
11		mnfxr 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		0re 11235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		iocssre 13442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℝ
15		ax-resscn 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
16	14, 15	sstri 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℂ
17	16	sseli 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
18		metcl 24269	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
19	10, 3, 17, 18	mp3an12i 1467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
20		1m0e1 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
21	14	sseli 3954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
22	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
23		elioc2 13424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0)))
24	11, 12, 23	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0))
25	24	simp3bi 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
26	21, 22, 9, 25	lesub2dd 11852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
27	20, 26	eqbrtrrid 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
28		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
29	28	cnmetdval 24707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
30	3, 17, 29	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
31		0le1 11758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
33	21, 22, 9, 25, 32	letrd 11390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
34	21, 9, 33	abssubge0d 15448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
35	30, 34	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
36	27, 35	breqtrrd 5147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
37	9, 19, 36	lensymd 11384	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
38	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
39	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
40	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
41		elbl2 24327	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
42	38, 39, 40, 17, 41	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
43	37, 42	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
44	43	con2i 139	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
45	44, 1	eleq2s 2852	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
46	8, 45	eldifd 3937	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
47	46	ssriv 3962	1 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11464  (,]cioc 13361  abscabs 15251  ∞Metcxmet 21298  Metcmet 21299  ballcbl 21300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-xadd 13127  df-ioc 13365  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308

This theorem is referenced by:  dvlog2  26612  logtayl  26619  logtayl2  26621  efrlim  26929  efrlimOLD  26930  lgamcvg2  27015