MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2lem 26167
Description: Lemma for dvlog2 26168. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2lem 𝑆 βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)
2 cnxmet 24296 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
3 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
4 1xr 11275 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
5 blssm 23931 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚)
62, 3, 4, 5mp3an 1461 . . . . 5 (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) βŠ† β„‚
71, 6eqsstri 4016 . . . 4 𝑆 βŠ† β„‚
87sseli 3978 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9 1red 11217 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 1 ∈ ℝ)
10 cnmet 24295 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
11 mnfxr 11273 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
12 0re 11218 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
13 iocssre 13406 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (-∞(,]0) βŠ† ℝ)
1411, 12, 13mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (-∞(,]0) βŠ† ℝ
15 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
1614, 15sstri 3991 . . . . . . . . 9 (-∞(,]0) βŠ† β„‚
1716sseli 3978 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
18 metcl 23845 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) ∈ ℝ)
1910, 3, 17, 18mp3an12i 1465 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) ∈ ℝ)
20 1m0e1 12335 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 0) = 1
2114sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2212a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 0 ∈ ℝ)
23 elioc2 13389 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 0)))
2411, 12, 23mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ -∞ < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 0))
2524simp3bi 1147 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ π‘₯ ≀ 0)
2621, 22, 9, 25lesub2dd 11833 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (1 βˆ’ 0) ≀ (1 βˆ’ π‘₯))
2720, 26eqbrtrrid 5184 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 1 ≀ (1 βˆ’ π‘₯))
28 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2928cnmetdval 24294 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) = (absβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)))
303, 17, 29sylancr 587 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) = (absβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)))
31 0le1 11739 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ 1
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 0 ≀ 1)
3321, 22, 9, 25, 32letrd 11373 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ π‘₯ ≀ 1)
3421, 9, 33abssubge0d 15380 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ π‘₯)) = (1 βˆ’ π‘₯))
3530, 34eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) = (1 βˆ’ π‘₯))
3627, 35breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 1 ≀ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯))
379, 19, 36lensymd 11367 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ Β¬ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) < 1)
382a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
394a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 1 ∈ ℝ*)
403a1i 11 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ 1 ∈ β„‚)
41 elbl2 23903 . . . . . . 7 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) < 1))
4238, 39, 40, 17, 41syl22anc 837 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ (π‘₯ ∈ (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) ↔ (1(abs ∘ βˆ’ )π‘₯) < 1))
4337, 42mtbird 324 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (-∞(,]0) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1))
4443con2i 139 . . . 4 (π‘₯ ∈ (1(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (-∞(,]0))
4544, 1eleq2s 2851 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (-∞(,]0))
468, 45eldifd 3959 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
4746ssriv 3986 1 𝑆 βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  (,]cioc 13327  abscabs 15183  βˆžMetcxmet 20935  Metcmet 20936  ballcbl 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-ioc 13331  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945
This theorem is referenced by:  dvlog2  26168  logtayl  26175  logtayl2  26177  efrlim  26481  lgamcvg2  26566
  Copyright terms: Public domain W3C validator