Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2lem 25342
 Description: Lemma for dvlog2 25343. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2lem 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2 cnxmet 23474 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-1cn 10633 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
4 1xr 10738 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
5 blssm 23120 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
62, 3, 4, 5mp3an 1458 . . . . 5 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
71, 6eqsstri 3926 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
87sseli 3888 . . 3 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℂ)
9 1red 10680 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
10 cnmet 23473 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
11 mnfxr 10736 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
12 0re 10681 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
13 iocssre 12859 . . . . . . . . . . 11 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
1411, 12, 13mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
15 ax-resscn 10632 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1614, 15sstri 3901 . . . . . . . . 9 (-∞(,]0) ⊆ ℂ
1716sseli 3888 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
18 metcl 23034 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
1910, 3, 17, 18mp3an12i 1462 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
20 1m0e1 11795 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
2114sseli 3888 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
2212a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
23 elioc2 12842 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0)))
2411, 12, 23mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 ≤ 0))
2524simp3bi 1144 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
2621, 22, 9, 25lesub2dd 11295 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
2720, 26eqbrtrrid 5068 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
28 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2928cnmetdval 23472 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
303, 17, 29sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
31 0le1 11201 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
3321, 22, 9, 25, 32letrd 10835 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
3421, 9, 33abssubge0d 14839 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
3530, 34eqtrd 2793 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
3627, 35breqtrrd 5060 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
379, 19, 36lensymd 10829 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
382a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
394a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
403a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
41 elbl2 23092 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4238, 39, 40, 17, 41syl22anc 837 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
4337, 42mtbird 328 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
4443con2i 141 . . . 4 (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
4544, 1eleq2s 2870 . . 3 (𝑥𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
468, 45eldifd 3869 . 2 (𝑥𝑆𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
4746ssriv 3896 1 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032   ∘ ccom 5528  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576  -∞cmnf 10711  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908  (,]cioc 12780  abscabs 14641  ∞Metcxmet 20151  Metcmet 20152  ballcbl 20153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-xadd 12549  df-ioc 12784  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161 This theorem is referenced by:  dvlog2  25343  logtayl  25350  logtayl2  25352  efrlim  25654  lgamcvg2  25739
 Copyright terms: Public domain W3C validator