Theorem ovolicopnf 25792

Description: The measure of a right-unbounded interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞)

Proof of Theorem ovolicopnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		icossre 13514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
3	1, 2	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
5		ovolge0 25749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
7		mnflt0 13209	. . . . . . 7 ⊢ -∞ < 0
8		mnfxr 11323	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9		0xr 11313	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		ovolcl 25746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
11	3, 10	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
13		xrltletr 13241	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞))) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
14	8, 9, 12, 13	mp3an12i 1494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞))) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
15	7, 14	mpani 709	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
16	6, 15	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)
18		xrrebnd 13253	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ* → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)))
19	12, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)))
20	16, 17, 19	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ)
21	20	ltp1d 12202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
22		peano2re 11440	. . . . 5 ⊢ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℝ)
23	20, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℝ)
24		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	23, 24	readdcld 11295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ)
26		0red 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ∈ ℝ)
27	20	lep1d 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
28	26, 20, 23, 6, 27	letrd 11424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
29	24, 23	addge02d 11860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (0 ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ↔ 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)))
30	28, 29	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))
31		ovolicc 25791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴))
32	24, 25, 30, 31	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴))
33	23	recnd 11294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℂ)
34	24	recnd 11294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
35	33, 34	pncand 11627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴) = ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
36	32, 35	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
37		elicc2 13497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))))
38	24, 25, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))))
39	38	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)))
40	39	simp1d 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	39	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
42		elicopnf 13531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)))
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)))
44	40, 41, 43	mpbir2and 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞))
45	44	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞)))
46	45	ssrdv 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ⊆ (𝐴[,)+∞))
47		ovolss 25753	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ⊆ (𝐴[,)+∞) ∧ (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
48	46, 4, 47	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
49	36, 48	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
50	23, 20, 49	lensymd 11418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
51	21, 50	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)
52		nltpnft 13249	. . 3 ⊢ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ* → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞ ↔ ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞))
53	11, 52	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞ ↔ ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞))
54	51, 53	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160  +∞cpnf 11297  -∞cmnf 11298  ℝ^*cxr 11299   < clt 11300   ≤ cle 11301   − cmin 11498  [,)cico 13433  [,]cicc 13434  vol*covol 25730

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-sum 15807  df-rest 17540  df-topgen 17561  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-top 23159  df-topon 23176  df-bases 23211  df-cmp 23652  df-ovol 25732

This theorem is used by:  ovolre  25793