Theorem ovolicopnf 25513

Description: The measure of a right-unbounded interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞)

Proof of Theorem ovolicopnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		icossre 13376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
3	1, 2	mpan2 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
4	3	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
5		ovolge0 25470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
7		mnflt0 13071	. . . . . . 7 ⊢ -∞ < 0
8		mnfxr 11197	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9		0xr 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		ovolcl 25467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
13		xrltletr 13103	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞))) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
14	8, 9, 12, 13	mp3an12i 1474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞))) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
15	7, 14	mpani 703	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
16	6, 15	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
17		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)
18		xrrebnd 13115	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ* → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)))
19	12, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)))
20	16, 17, 19	mpbir2and 720	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ)
21	20	ltp1d 12081	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
22		peano2re 11314	. . . . 5 ⊢ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℝ)
23	20, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℝ)
24		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	23, 24	readdcld 11169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ)
26		0red 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ∈ ℝ)
27	20	lep1d 12082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
28	26, 20, 23, 6, 27	letrd 11298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
29	24, 23	addge02d 11734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (0 ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ↔ 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)))
30	28, 29	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))
31		ovolicc 25512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴))
32	24, 25, 30, 31	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴))
33	23	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℂ)
34	24	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
35	33, 34	pncand 11501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴) = ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
36	32, 35	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
37		elicc2 13359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))))
38	24, 25, 37	syl2anc 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))))
39	38	biimpa 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)))
40	39	simp1d 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	39	simp2d 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
42		elicopnf 13393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)))
43	42	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)))
44	40, 41, 43	mpbir2and 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞))
45	44	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞)))
46	45	ssrdv 3923	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ⊆ (𝐴[,)+∞))
47		ovolss 25474	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ⊆ (𝐴[,)+∞) ∧ (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
48	46, 4, 47	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
49	36, 48	eqbrtrrd 5099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
50	23, 20, 49	lensymd 11292	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
51	21, 50	pm2.65da 823	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)
52		nltpnft 13111	. . 3 ⊢ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ* → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞ ↔ ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞))
53	11, 52	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞ ↔ ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞))
54	51, 53	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  +∞cpnf 11171  -∞cmnf 11172  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  [,)cico 13295  [,]cicc 13296  vol*covol 25451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-rest 17380  df-topgen 17401  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22933  df-cmp 23374  df-ovol 25453

This theorem is referenced by:  ovolre  25514