Theorem ovolicopnf 25475

Description: The measure of a right-unbounded interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolicopnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞)

Proof of Theorem ovolicopnf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		icossre 13443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ)
5		ovolge0 25432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
7		mnflt0 13139	. . . . . . 7 ⊢ -∞ < 0
8		mnfxr 11290	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
9		0xr 11280	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		ovolcl 25429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*)
13		xrltletr 13171	. . . . . . . 8 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞))) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
14	8, 9, 12, 13	mp3an12i 1467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞))) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
15	7, 14	mpani 696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (0 ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞))))
16	6, 15	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → -∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)
18		xrrebnd 13182	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ* → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)))
19	12, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)))
20	16, 17, 19	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ)
21	20	ltp1d 12170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
22		peano2re 11406	. . . . 5 ⊢ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℝ)
23	20, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℝ)
24		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	23, 24	readdcld 11262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ)
26		0red 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ∈ ℝ)
27	20	lep1d 12171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
28	26, 20, 23, 6, 27	letrd 11390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 0 ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
29	24, 23	addge02d 11824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (0 ≤ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ↔ 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)))
30	28, 29	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))
31		ovolicc 25474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴))
32	24, 25, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴))
33	23	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ∈ ℂ)
34	24	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → 𝐴 ∈ ℂ)
35	33, 34	pncand 11593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) − 𝐴) = ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
36	32, 35	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) = ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
37		elicc2 13426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))))
38	24, 25, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))))
39	38	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)))
40	39	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	39	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
42		elicopnf 13460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)))
43	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)))
44	40, 41, 43	mpbir2and 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞))
45	44	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝑥 ∈ (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)+∞)))
46	45	ssrdv 3964	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ⊆ (𝐴[,)+∞))
47		ovolss 25436	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴)) ⊆ (𝐴[,)+∞) ∧ (𝐴[,)+∞) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
48	46, 4, 47	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → (vol*‘(𝐴[,](((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) + 𝐴))) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
49	36, 48	eqbrtrrd 5143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴[,)+∞)))
50	23, 20, 49	lensymd 11384	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞) → ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) + 1))
51	21, 50	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞)
52		nltpnft 13178	. . 3 ⊢ ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) ∈ ℝ* → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞ ↔ ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞))
53	11, 52	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞ ↔ ¬ (vol*‘(𝐴[,)+∞)) < +∞))
54	51, 53	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴[,)+∞)) = +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11464  [,)cico 13362  [,]cicc 13363  vol*covol 25413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-sum 15701  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-bases 22882  df-cmp 23323  df-ovol 25415

This theorem is referenced by:  ovolre  25476