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Theorem dgreq0 24573
Description: The leading coefficient of a polynomial is nonzero, unless the entire polynomial is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 21-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dgreq0 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))

Proof of Theorem dgreq0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgreq0.2 . . . . . 6 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 fveq2 6504 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
31, 2syl5eq 2828 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝𝐴 = (coeff‘0𝑝))
4 coe0 24564 . . . . 5 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
53, 4syl6eq 2832 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝𝐴 = (ℕ0 × {0}))
6 dgreq0.1 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
7 fveq2 6504 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
86, 7syl5eq 2828 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = (deg‘0𝑝))
9 dgr0 24570 . . . . 5 (deg‘0𝑝) = 0
108, 9syl6eq 2832 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
115, 10fveq12d 6511 . . 3 (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘0))
12 0nn0 11730 . . . 4 0 ∈ ℕ0
13 fvconst2g 6797 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘0) = 0)
1412, 12, 13mp2an 680 . . 3 ((ℕ0 × {0})‘0) = 0
1511, 14syl6eq 2832 . 2 (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴𝑁) = 0)
161coefv0 24556 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
1716adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
18 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1918nnred 11462 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2019ltm1d 11379 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
21 nnre 11453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantl 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 peano2rem 10760 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25 simpll 755 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
26 nnm1nn0 11756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2726adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
281, 6dgrub 24542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑁)
29283expia 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
3029ad2ant2rl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
31 simplr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝑁) = 0)
32 fveqeq2 6513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 𝑘 → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
3331, 32syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑁 = 𝑘 → (𝐴𝑘) = 0))
3433necon3d 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑁𝑘))
3530, 34jcad 505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → (𝑘𝑁𝑁𝑘)))
36 nn0re 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
3736ad2antll 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3821ad2antrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3937, 38ltlend 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘𝑁𝑁𝑘)))
40 nn0z 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
4140ad2antll 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42 nnz 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4342ad2antrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 zltlem1 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4541, 43, 44syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4639, 45bitr3d 273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑘𝑁𝑁𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4735, 46sylibd 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4847expr 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
4948ralrimiv 3133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
501coef3 24540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5150ad2antrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
52 plyco0 24500 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
5327, 51, 52syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
5449, 53mpbird 249 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0})
551, 6dgrlb 24544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
5625, 27, 54, 55syl3anc 1352 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
5722, 24, 56lensymd 10597 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
5820, 57pm2.65da 805 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
59 dgrcl 24541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
606, 59syl5eqel 2872 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6160adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62 elnn0 11715 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6361, 62sylib 210 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6463ord 851 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
6558, 64mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝑁 = 0)
6665fveq2d 6508 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐴𝑁) = (𝐴‘0))
67 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐴𝑁) = 0)
6817, 66, 673eqtr2d 2822 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
6968sneqd 4456 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → {(𝐹‘0)} = {0})
7069xpeq2d 5441 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {0}))
716, 65syl5eqr 2830 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (deg‘𝐹) = 0)
72 0dgrb 24554 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
7372adantr 473 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
7471, 73mpbid 224 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
75 df-0p 23989 . . . . 5 0𝑝 = (ℂ × {0})
7675a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 0𝑝 = (ℂ × {0}))
7770, 74, 763eqtr4d 2826 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝐹 = 0𝑝)
7877ex 405 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝐹 = 0𝑝))
7915, 78impbid2 218 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 834   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2969  wral 3090  {csn 4444   class class class wbr 4934   × cxp 5409  cima 5414  wf 6189  cfv 6193  (class class class)co 6982  cc 10339  cr 10340  0cc0 10341  1c1 10342   + caddc 10344   < clt 10480  cle 10481  cmin 10676  cn 11445  0cn0 11713  cz 11799  cuz 12064  0𝑝c0p 23988  Polycply 24492  coeffccoe 24494  degcdgr 24495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-inf2 8904  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419  ax-addf 10420
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-of 7233  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-oadd 7915  df-er 8095  df-map 8214  df-pm 8215  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-sup 8707  df-inf 8708  df-oi 8775  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-rp 12211  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-fl 12983  df-seq 13191  df-exp 13251  df-hash 13512  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-clim 14712  df-rlim 14713  df-sum 14910  df-0p 23989  df-ply 24496  df-coe 24498  df-dgr 24499
This theorem is referenced by:  dgrlt  24574  dgradd2  24576  dgrmul  24578  dgrcolem2  24582  plymul0or  24588  plydivlem4  24603  plydiveu  24605  vieta1lem2  24618  vieta1  24619  aareccl  24633  ftalem2  25368  ftalem4  25370  ftalem5  25371  signsply0  31499  mpaaeu  39187  elaa2lem  41984
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