Theorem dgreq0 26306

Description: The leading coefficient of a polynomial is nonzero, unless the entire polynomial is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 21-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgreq0.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgreq0	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))

Proof of Theorem dgreq0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgreq0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
3	1, 2	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝐴 = (coeff‘0𝑝))
4		coe0 26296	. . . . 5 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
5	3, 4	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
6		dgreq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
7		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
8	6, 7	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝑁 = (deg‘0𝑝))
9		dgr0 26303	. . . . 5 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝑁 = 0)
11	5, 10	fveq12d 6912	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴‘𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘0))
12		0nn0 12543	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		fvconst2g 7223	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘0) = 0)
14	12, 12, 13	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ℕ0 × {0})‘0) = 0
15	11, 14	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴‘𝑁) = 0)
16	1	coefv0 26288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnred 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	ltm1d 12201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
21		nnre 12274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		peano2rem 11577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
26		nnm1nn0 12569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
28	1, 6	dgrub 26274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
29	28	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
30	29	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
31		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐴‘𝑁) = 0)
32		fveqeq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑁) = 0 ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
33	31, 32	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑁 = 𝑘 → (𝐴‘𝑘) = 0))
34	33	necon3d 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑁 ≠ 𝑘))
35	30, 34	jcad 512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → (𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘)))
36		nn0re 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
37	36	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
38	21	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	37, 38	ltlend 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘)))
40		nn0z 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42		nnz 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		zltlem1 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
45	41, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
46	39, 45	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
47	35, 46	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
48	47	expr 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
49	48	ralrimiv 3144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
50	1	coef3 26272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
52		plyco0 26232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
53	27, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
54	49, 53	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0})
55	1, 6	dgrlb 26276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
56	25, 27, 54, 55	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
57	22, 24, 56	lensymd 11413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
58	20, 57	pm2.65da 816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
59		dgrcl 26273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
60	6, 59	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62		elnn0 12530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
63	61, 62	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
64	63	ord 864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
65	58, 64	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝑁 = 0)
66	65	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐴‘𝑁) = (𝐴‘0))
67		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐴‘𝑁) = 0)
68	17, 66, 67	3eqtr2d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
69	68	sneqd 4637	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → {(𝐹‘0)} = {0})
70	69	xpeq2d 5714	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {0}))
71	6, 65	eqtr3id 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (deg‘𝐹) = 0)
72		0dgrb 26286	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
73	72	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
74	71, 73	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
75		df-0p 25706	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
76	75	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 0𝑝 = (ℂ × {0}))
77	70, 74, 76	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝐹 = 0𝑝)
78	77	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘𝑁) = 0 → 𝐹 = 0𝑝))
79	15, 78	impbid2 226	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  {csn 4625   class class class wbr 5142   × cxp 5682   “ cima 5687  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  0_𝑝c0p 25705  Polycply 26224  coeffccoe 26226  degcdgr 26227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-0p 25706  df-ply 26228  df-coe 26230  df-dgr 26231

This theorem is referenced by:  dgrlt  26307  dgradd2  26309  dgrmul  26311  dgrcolem2  26315  plymul0or  26323  plydivlem4  26339  plydiveu  26341  vieta1lem2  26354  vieta1  26355  aareccl  26369  ftalem2  27118  ftalem4  27120  ftalem5  27121  signsply0  34567  mpaaeu  43167  elaa2lem  46253