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Theorem dgreq0 25779
Description: The leading coefficient of a polynomial is nonzero, unless the entire polynomial is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 21-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
dgreq0.2 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dgreq0 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘) = 0))
Proof of Theorem dgreq0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgreq0.2 . . . . . 6 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
2 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜0𝑝))
31, 2eqtrid 2785 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝐴 = (coeffβ€˜0𝑝))
4 coe0 25770 . . . . 5 (coeffβ€˜0𝑝) = (β„•0 Γ— {0})
53, 4eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝐴 = (β„•0 Γ— {0}))
6 dgreq0.1 . . . . . 6 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
7 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜0𝑝))
86, 7eqtrid 2785 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝑁 = (degβ€˜0𝑝))
9 dgr0 25776 . . . . 5 (degβ€˜0𝑝) = 0
108, 9eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝑁 = 0)
115, 10fveq12d 6899 . . 3 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (π΄β€˜π‘) = ((β„•0 Γ— {0})β€˜0))
12 0nn0 12487 . . . 4 0 ∈ β„•0
13 fvconst2g 7203 . . . 4 ((0 ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜0) = 0)
1412, 12, 13mp2an 691 . . 3 ((β„•0 Γ— {0})β€˜0) = 0
1511, 14eqtrdi 2789 . 2 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (π΄β€˜π‘) = 0)
161coefv0 25762 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜0) = (π΄β€˜0))
1716adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (πΉβ€˜0) = (π΄β€˜0))
18 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1918nnred 12227 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2019ltm1d 12146 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
21 nnre 12219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
23 peano2rem 11527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
25 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
26 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
281, 6dgrub 25748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
29283expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
3029ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
31 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (π΄β€˜π‘) = 0)
32 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = π‘˜ β†’ ((π΄β€˜π‘) = 0 ↔ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
3331, 32syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
3433necon3d 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ 𝑁 β‰  π‘˜))
3530, 34jcad 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 β‰  π‘˜)))
36 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3736ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3821ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3937, 38ltlend 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ (π‘˜ ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 β‰  π‘˜)))
40 nn0z 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
42 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
44 zltlem1 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
4541, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
4639, 45bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 β‰  π‘˜) ↔ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
4735, 46sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
4847expr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
4948ralrimiv 3146 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
501coef3 25746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
52 plyco0 25706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
5327, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
5449, 53mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))) = {0})
551, 6dgrlb 25750 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
5625, 27, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
5722, 24, 56lensymd 11365 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
5820, 57pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ Β¬ 𝑁 ∈ β„•)
59 dgrcl 25747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
606, 59eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
62 elnn0 12474 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (𝑁 ∈ β„• ∨ 𝑁 = 0))
6361, 62sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∨ 𝑁 = 0))
6463ord 863 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (Β¬ 𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 = 0))
6558, 64mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ 𝑁 = 0)
6665fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (π΄β€˜π‘) = (π΄β€˜0))
67 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (π΄β€˜π‘) = 0)
6817, 66, 673eqtr2d 2779 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (πΉβ€˜0) = 0)
6968sneqd 4641 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ {(πΉβ€˜0)} = {0})
7069xpeq2d 5707 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)}) = (β„‚ Γ— {0}))
716, 65eqtr3id 2787 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (degβ€˜πΉ) = 0)
72 0dgrb 25760 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((degβ€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)})))
7372adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ ((degβ€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)})))
7471, 73mpbid 231 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ 𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)}))
75 df-0p 25187 . . . . 5 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
7675a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0}))
7770, 74, 763eqtr4d 2783 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ 𝐹 = 0𝑝)
7877ex 414 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((π΄β€˜π‘) = 0 β†’ 𝐹 = 0𝑝))
7915, 78impbid2 225 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {csn 4629   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  dgrlt  25780  dgradd2  25782  dgrmul  25784  dgrcolem2  25788  plymul0or  25794  plydivlem4  25809  plydiveu  25811  vieta1lem2  25824  vieta1  25825  aareccl  25839  ftalem2  26578  ftalem4  26580  ftalem5  26581  signsply0  33562  mpaaeu  41892  elaa2lem  44949
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