Theorem dgreq0 25113

Description: The leading coefficient of a polynomial is nonzero, unless the entire polynomial is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 21-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgreq0.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgreq0	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))

Proof of Theorem dgreq0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgreq0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		fveq2 6695	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
3	1, 2	syl5eq 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝐴 = (coeff‘0𝑝))
4		coe0 25104	. . . . 5 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
5	3, 4	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
6		dgreq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
7		fveq2 6695	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
8	6, 7	syl5eq 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝑁 = (deg‘0𝑝))
9		dgr0 25110	. . . . 5 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝑁 = 0)
11	5, 10	fveq12d 6702	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴‘𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘0))
12		0nn0 12070	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		fvconst2g 6995	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘0) = 0)
14	12, 12, 13	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ℕ0 × {0})‘0) = 0
15	11, 14	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴‘𝑁) = 0)
16	1	coefv0 25096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
17	16	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
18		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnred 11810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	ltm1d 11729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
21		nnre 11802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		peano2rem 11110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25		simpll 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
26		nnm1nn0 12096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
27	26	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
28	1, 6	dgrub 25082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
29	28	3expia 1123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
30	29	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
31		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐴‘𝑁) = 0)
32		fveqeq2 6704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑁) = 0 ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
33	31, 32	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑁 = 𝑘 → (𝐴‘𝑘) = 0))
34	33	necon3d 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑁 ≠ 𝑘))
35	30, 34	jcad 516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → (𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘)))
36		nn0re 12064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
37	36	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
38	21	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	37, 38	ltlend 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘)))
40		nn0z 12165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42		nnz 12164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		zltlem1 12195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
45	41, 43, 44	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
46	39, 45	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
47	35, 46	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
48	47	expr 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
49	48	ralrimiv 3094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
50	1	coef3 25080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
52		plyco0 25040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
53	27, 51, 52	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
54	49, 53	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0})
55	1, 6	dgrlb 25084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
56	25, 27, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
57	22, 24, 56	lensymd 10948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
58	20, 57	pm2.65da 817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
59		dgrcl 25081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
60	6, 59	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
61	60	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62		elnn0 12057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
63	61, 62	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
64	63	ord 864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
65	58, 64	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝑁 = 0)
66	65	fveq2d 6699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐴‘𝑁) = (𝐴‘0))
67		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐴‘𝑁) = 0)
68	17, 66, 67	3eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
69	68	sneqd 4539	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → {(𝐹‘0)} = {0})
70	69	xpeq2d 5566	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {0}))
71	6, 65	eqtr3id 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (deg‘𝐹) = 0)
72		0dgrb 25094	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
73	72	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
74	71, 73	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
75		df-0p 24521	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
76	75	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 0𝑝 = (ℂ × {0}))
77	70, 74, 76	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝐹 = 0𝑝)
78	77	ex 416	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘𝑁) = 0 → 𝐹 = 0𝑝))
79	15, 78	impbid2 229	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {csn 4527   class class class wbr 5039   × cxp 5534   “ cima 5539  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   < clt 10832   ≤ cle 10833   − cmin 11027  ℕcn 11795  ℕ₀cn0 12055  ℤcz 12141  ℤ_≥cuz 12403  0_𝑝c0p 24520  Polycply 25032  coeffccoe 25034  degcdgr 25035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-0p 24521  df-ply 25036  df-coe 25038  df-dgr 25039

This theorem is referenced by:  dgrlt  25114  dgradd2  25116  dgrmul  25118  dgrcolem2  25122  plymul0or  25128  plydivlem4  25143  plydiveu  25145  vieta1lem2  25158  vieta1  25159  aareccl  25173  ftalem2  25910  ftalem4  25912  ftalem5  25913  signsply0  32196  mpaaeu  40619  elaa2lem  43392