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Theorem dgreq0 24229
Description: The leading coefficient of a polynomial is nonzero, unless the entire polynomial is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 21-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dgreq0 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))

Proof of Theorem dgreq0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgreq0.2 . . . . . 6 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 fveq2 6402 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
31, 2syl5eq 2848 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝𝐴 = (coeff‘0𝑝))
4 coe0 24220 . . . . 5 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
53, 4syl6eq 2852 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝𝐴 = (ℕ0 × {0}))
6 dgreq0.1 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐹)
7 fveq2 6402 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
86, 7syl5eq 2848 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = (deg‘0𝑝))
9 dgr0 24226 . . . . 5 (deg‘0𝑝) = 0
108, 9syl6eq 2852 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
115, 10fveq12d 6409 . . 3 (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘0))
12 0nn0 11568 . . . 4 0 ∈ ℕ0
13 fvconst2g 6686 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘0) = 0)
1412, 12, 13mp2an 675 . . 3 ((ℕ0 × {0})‘0) = 0
1511, 14syl6eq 2852 . 2 (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴𝑁) = 0)
161coefv0 24212 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
1716adantr 468 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
18 simpr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1918nnred 11314 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2019ltm1d 11235 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
21 simpll 774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
22 nnm1nn0 11594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2322adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
241, 6dgrub 24198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑁)
25243expia 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
2625ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
27 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝑁) = 0)
28 fveqeq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 𝑘 → ((𝐴𝑁) = 0 ↔ (𝐴𝑘) = 0))
2927, 28syl5ibcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑁 = 𝑘 → (𝐴𝑘) = 0))
3029necon3d 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑁𝑘))
3126, 30jcad 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → (𝑘𝑁𝑁𝑘)))
32 nn0re 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
3332ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
34 nnre 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3534ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3633, 35ltlend 10461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘𝑁𝑁𝑘)))
37 nn0z 11660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
3837ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
39 nnz 11659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4039ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 zltlem1 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4238, 40, 41syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4336, 42bitr3d 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑘𝑁𝑁𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4431, 43sylibd 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
4544expr 446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
4645ralrimiv 3149 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
471coef3 24196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4847ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
49 plyco0 24156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
5023, 48, 49syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
5146, 50mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0})
521, 6dgrlb 24200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
5321, 23, 51, 52syl3anc 1483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
5434adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
55 peano2rem 10627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
5754, 56lenltd 10462 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁))
5853, 57mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
5920, 58pm2.65da 842 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
60 dgrcl 24197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
616, 60syl5eqel 2885 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6261adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
63 elnn0 11555 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6462, 63sylib 209 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6564ord 882 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
6659, 65mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝑁 = 0)
6766fveq2d 6406 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐴𝑁) = (𝐴‘0))
68 simpr 473 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐴𝑁) = 0)
6917, 67, 683eqtr2d 2842 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
7069sneqd 4376 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → {(𝐹‘0)} = {0})
7170xpeq2d 5334 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {0}))
726, 66syl5eqr 2850 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → (deg‘𝐹) = 0)
73 0dgrb 24210 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
7473adantr 468 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
7572, 74mpbid 223 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
76 df-0p 23645 . . . . 5 0𝑝 = (ℂ × {0})
7776a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 0𝑝 = (ℂ × {0}))
7871, 75, 773eqtr4d 2846 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴𝑁) = 0) → 𝐹 = 0𝑝)
7978ex 399 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝐹 = 0𝑝))
8015, 79impbid2 217 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2155  wne 2974  wral 3092  {csn 4364   class class class wbr 4837   × cxp 5303  cima 5308  wf 6091  cfv 6095  (class class class)co 6868  cc 10213  cr 10214  0cc0 10215  1c1 10216   + caddc 10218   < clt 10353  cle 10354  cmin 10545  cn 11299  0cn0 11553  cz 11637  cuz 11898  0𝑝c0p 23644  Polycply 24148  coeffccoe 24150  degcdgr 24151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293  ax-addf 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-pm 8089  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-sup 8581  df-inf 8582  df-oi 8648  df-card 9042  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-rp 12041  df-fz 12544  df-fzo 12684  df-fl 12811  df-seq 13019  df-exp 13078  df-hash 13332  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-clim 14436  df-rlim 14437  df-sum 14634  df-0p 23645  df-ply 24152  df-coe 24154  df-dgr 24155
This theorem is referenced by:  dgrlt  24230  dgradd2  24232  dgrmul  24234  dgrcolem2  24238  plymul0or  24244  plydivlem4  24259  plydiveu  24261  vieta1lem2  24274  vieta1  24275  aareccl  24289  ftalem2  25008  ftalem4  25010  ftalem5  25011  signsply0  30947  mpaaeu  38215  elaa2lem  40923
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