Theorem dgreq0 26617

Description: The leading coefficient of a polynomial is nonzero, unless the entire polynomial is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 21-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgreq0.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgreq0	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))

Proof of Theorem dgreq0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgreq0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		fveq2 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
3	1, 2	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝐴 = (coeff‘0𝑝))
4		coe0 26608	. . . . 5 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
5	3, 4	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
6		dgreq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
7		fveq2 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
8	6, 7	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝑁 = (deg‘0𝑝))
9		dgr0 26614	. . . . 5 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝑁 = 0)
11	5, 10	fveq12d 6918	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴‘𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘0))
12		0nn0 12651	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		fvconst2g 7234	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘0) = 0)
14	12, 12, 13	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((ℕ0 × {0})‘0) = 0
15	11, 14	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴‘𝑁) = 0)
16	1	coefv0 26600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnred 12380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	ltm1d 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
21		nnre 12372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		peano2rem 11655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25		simpll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
26		nnm1nn0 12677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
28	1, 6	dgrub 26586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
29	28	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
30	29	ad2ant2rl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
31		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐴‘𝑁) = 0)
32		fveqeq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑁) = 0 ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
33	31, 32	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑁 = 𝑘 → (𝐴‘𝑘) = 0))
34	33	necon3d 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑁 ≠ 𝑘))
35	30, 34	jcad 522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → (𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘)))
36		nn0re 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
37	36	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
38	21	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	37, 38	ltlend 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘)))
40		nn0z 12747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42		nnz 12744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		zltlem1 12779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
45	41, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
46	39, 45	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
47	35, 46	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
48	47	expr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
49	48	ralrimiv 3157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
50	1	coef3 26584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
52		plyco0 26543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
53	27, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
54	49, 53	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0})
55	1, 6	dgrlb 26588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
56	25, 27, 54, 55	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
57	22, 24, 56	lensymd 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
58	20, 57	pm2.65da 829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
59		dgrcl 26585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
60	6, 59	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62		elnn0 12638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
63	61, 62	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
64	63	ord 878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
65	58, 64	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝑁 = 0)
66	65	fveq2d 6915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐴‘𝑁) = (𝐴‘0))
67		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐴‘𝑁) = 0)
68	17, 66, 67	3eqtr2d 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
69	68	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → {(𝐹‘0)} = {0})
70	69	xpeq2d 5686	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {0}))
71	6, 65	eqtr3id 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (deg‘𝐹) = 0)
72		0dgrb 26598	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
73	72	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
74	71, 73	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
75		df-0p 26024	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
76	75	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 0𝑝 = (ℂ × {0}))
77	70, 74, 76	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝐹 = 0𝑝)
78	77	ex 418	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘𝑁) = 0 → 𝐹 = 0𝑝))
79	15, 78	impbid2 229	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {csn 4588   class class class wbr 5106   × cxp 5654   “ cima 5659  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   < clt 11373   ≤ cle 11374   − cmin 11571  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995  0_𝑝c0p 26023  Polycply 26535  coeffccoe 26537  degcdgr 26538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-0p 26024  df-ply 26539  df-coe 26541  df-dgr 26542

This theorem is used by:  dgrlt  26618  dgradd2  26620  dgrmul  26622  dgrcolem2  26626  plymul0or  26632  plydivlem4  26650  plydiveu  26652  vieta1lem2  26667  vieta1  26668  aareccl  26686  ftalem2  27434  ftalem4  27436  ftalem5  27437  signsply0  35263  mpaaeu  44355  elaa2lem  47458