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Theorem dgreq0 25642
Description: The leading coefficient of a polynomial is nonzero, unless the entire polynomial is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 21-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
dgreq0.2 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
dgreq0 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘) = 0))

Proof of Theorem dgreq0
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgreq0.2 . . . . . 6 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
2 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜0𝑝))
31, 2eqtrid 2789 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝐴 = (coeffβ€˜0𝑝))
4 coe0 25633 . . . . 5 (coeffβ€˜0𝑝) = (β„•0 Γ— {0})
53, 4eqtrdi 2793 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝐴 = (β„•0 Γ— {0}))
6 dgreq0.1 . . . . . 6 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
7 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜0𝑝))
86, 7eqtrid 2789 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝑁 = (degβ€˜0𝑝))
9 dgr0 25639 . . . . 5 (degβ€˜0𝑝) = 0
108, 9eqtrdi 2793 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝 β†’ 𝑁 = 0)
115, 10fveq12d 6854 . . 3 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (π΄β€˜π‘) = ((β„•0 Γ— {0})β€˜0))
12 0nn0 12435 . . . 4 0 ∈ β„•0
13 fvconst2g 7156 . . . 4 ((0 ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜0) = 0)
1412, 12, 13mp2an 691 . . 3 ((β„•0 Γ— {0})β€˜0) = 0
1511, 14eqtrdi 2793 . 2 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (π΄β€˜π‘) = 0)
161coefv0 25625 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜0) = (π΄β€˜0))
1716adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (πΉβ€˜0) = (π΄β€˜0))
18 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1918nnred 12175 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2019ltm1d 12094 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
21 nnre 12167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
23 peano2rem 11475 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
25 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
26 nnm1nn0 12461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
281, 6dgrub 25611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
29283expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
3029ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
31 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (π΄β€˜π‘) = 0)
32 fveqeq2 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = π‘˜ β†’ ((π΄β€˜π‘) = 0 ↔ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
3331, 32syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (𝑁 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
3433necon3d 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ 𝑁 β‰  π‘˜))
3530, 34jcad 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 β‰  π‘˜)))
36 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3736ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3821ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3937, 38ltlend 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ (π‘˜ ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 β‰  π‘˜)))
40 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4140ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
42 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4342ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
44 zltlem1 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
4541, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
4639, 45bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 β‰  π‘˜) ↔ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
4735, 46sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
4847expr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
4948ralrimiv 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
501coef3 25609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
52 plyco0 25569 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
5327, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
5449, 53mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))) = {0})
551, 6dgrlb 25613 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1))) = {0}) β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
5625, 27, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
5722, 24, 56lensymd 11313 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
5820, 57pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ Β¬ 𝑁 ∈ β„•)
59 dgrcl 25610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
606, 59eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
62 elnn0 12422 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 ↔ (𝑁 ∈ β„• ∨ 𝑁 = 0))
6361, 62sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∨ 𝑁 = 0))
6463ord 863 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (Β¬ 𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 = 0))
6558, 64mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ 𝑁 = 0)
6665fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (π΄β€˜π‘) = (π΄β€˜0))
67 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (π΄β€˜π‘) = 0)
6817, 66, 673eqtr2d 2783 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (πΉβ€˜0) = 0)
6968sneqd 4603 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ {(πΉβ€˜0)} = {0})
7069xpeq2d 5668 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)}) = (β„‚ Γ— {0}))
716, 65eqtr3id 2791 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ (degβ€˜πΉ) = 0)
72 0dgrb 25623 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((degβ€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)})))
7372adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ ((degβ€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)})))
7471, 73mpbid 231 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ 𝐹 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜0)}))
75 df-0p 25050 . . . . 5 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
7675a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0}))
7770, 74, 763eqtr4d 2787 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜π‘) = 0) β†’ 𝐹 = 0𝑝)
7877ex 414 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((π΄β€˜π‘) = 0 β†’ 𝐹 = 0𝑝))
7915, 78impbid2 225 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (π΄β€˜π‘) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {csn 4591   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  0𝑝c0p 25049  Polycply 25561  coeffccoe 25563  degcdgr 25564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-0p 25050  df-ply 25565  df-coe 25567  df-dgr 25568
This theorem is referenced by:  dgrlt  25643  dgradd2  25645  dgrmul  25647  dgrcolem2  25651  plymul0or  25657  plydivlem4  25672  plydiveu  25674  vieta1lem2  25687  vieta1  25688  aareccl  25702  ftalem2  26439  ftalem4  26441  ftalem5  26442  signsply0  33203  mpaaeu  41506  elaa2lem  44548
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