Theorem dgreq0 24857

Description: The leading coefficient of a polynomial is nonzero, unless the entire polynomial is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 21-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgreq0.1	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
dgreq0.2	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dgreq0	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))

Proof of Theorem dgreq0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgreq0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		fveq2 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (coeff‘𝐹) = (coeff‘0𝑝))
3	1, 2	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝐴 = (coeff‘0𝑝))
4		coe0 24848	. . . . 5 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
5	3, 4	syl6eq 2874	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
6		dgreq0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
7		fveq2 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
8	6, 7	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝑁 = (deg‘0𝑝))
9		dgr0 24854	. . . . 5 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
10	8, 9	syl6eq 2874	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → 𝑁 = 0)
11	5, 10	fveq12d 6679	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴‘𝑁) = ((ℕ0 × {0})‘0))
12		0nn0 11915	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
13		fvconst2g 6966	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {0})‘0) = 0)
14	12, 12, 13	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((ℕ0 × {0})‘0) = 0
15	11, 14	syl6eq 2874	. 2 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐴‘𝑁) = 0)
16	1	coefv0 24840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
17	16	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
18		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnred 11655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	ltm1d 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
21		nnre 11647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		peano2rem 10955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25		simpll 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
26		nnm1nn0 11941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
27	26	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
28	1, 6	dgrub 24826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
29	28	3expia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
30	29	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
31		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐴‘𝑁) = 0)
32		fveqeq2 6681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑁) = 0 ↔ (𝐴‘𝑘) = 0))
33	31, 32	syl5ibcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑁 = 𝑘 → (𝐴‘𝑘) = 0))
34	33	necon3d 3039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑁 ≠ 𝑘))
35	30, 34	jcad 515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → (𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘)))
36		nn0re 11909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
37	36	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
38	21	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	37, 38	ltlend 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘)))
40		nn0z 12008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
41	40	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42		nnz 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		zltlem1 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
45	41, 43, 44	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
46	39, 45	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝑘 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
47	35, 46	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
48	47	expr 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
49	48	ralrimiv 3183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1)))
50	1	coef3 24824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
51	50	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
52		plyco0 24784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
53	27, 51, 52	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
54	49, 53	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0})
55	1, 6	dgrlb 24828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 “ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) = {0}) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
56	25, 27, 54, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
57	22, 24, 56	lensymd 10793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
58	20, 57	pm2.65da 815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
59		dgrcl 24825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
60	6, 59	eqeltrid 2919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
61	60	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62		elnn0 11902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
63	61, 62	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
64	63	ord 860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
65	58, 64	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝑁 = 0)
66	65	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐴‘𝑁) = (𝐴‘0))
67		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐴‘𝑁) = 0)
68	17, 66, 67	3eqtr2d 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (𝐹‘0) = 0)
69	68	sneqd 4581	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → {(𝐹‘0)} = {0})
70	69	xpeq2d 5587	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘0)}) = (ℂ × {0}))
71	6, 65	syl5eqr 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → (deg‘𝐹) = 0)
72		0dgrb 24838	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
73	72	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → ((deg‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)})))
74	71, 73	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝐹 = (ℂ × {(𝐹‘0)}))
75		df-0p 24273	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
76	75	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 0𝑝 = (ℂ × {0}))
77	70, 74, 76	3eqtr4d 2868	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝐴‘𝑁) = 0) → 𝐹 = 0𝑝)
78	77	ex 415	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘𝑁) = 0 → 𝐹 = 0𝑝))
79	15, 78	impbid2 228	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴‘𝑁) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  {csn 4569   class class class wbr 5068   × cxp 5555   “ cima 5560  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  0_𝑝c0p 24272  Polycply 24776  coeffccoe 24778  degcdgr 24779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-0p 24273  df-ply 24780  df-coe 24782  df-dgr 24783

This theorem is referenced by:  dgrlt  24858  dgradd2  24860  dgrmul  24862  dgrcolem2  24866  plymul0or  24872  plydivlem4  24887  plydiveu  24889  vieta1lem2  24902  vieta1  24903  aareccl  24917  ftalem2  25653  ftalem4  25655  ftalem5  25656  signsply0  31823  mpaaeu  39757  elaa2lem  42525