MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzouzdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzouzdisj 13068
Description: A half-open integer range does not overlap the upper integer range starting at the endpoint of the first range. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzouzdisj ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ𝐵)) = ∅

Proof of Theorem fzouzdisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 13042 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
21adantr 484 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
3 eluzel2 12236 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
43adantl 485 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
54zred 12075 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 eluzelre 12242 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
76adantl 485 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 eluzle 12244 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ𝐵) → 𝐵𝑥)
98adantl 485 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐵𝑥)
105, 7, 9lensymd 10778 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
112, 10pm2.65i 197 . . 3 ¬ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵))
12 elin 3934 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)))
1311, 12mtbir 326 . 2 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ𝐵))
1413nel0 4292 1 ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ𝐵)) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cin 3917  c0 4274   class class class wbr 5049  cfv 6338  (class class class)co 7140  cr 10523   < clt 10662  cle 10663  cz 11969  cuz 12231  ..^cfzo 13028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029
This theorem is referenced by:  bitsres  15811  sseqfv1  31667  sseqfn  31668  sseqf  31670  sseqfv2  31672
  Copyright terms: Public domain W3C validator