Theorem fzouzdisj 13598

Description: A half-open integer range does not overlap the upper integer range starting at the endpoint of the first range. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzouzdisj	⊢ ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ≥‘𝐵)) = ∅

Proof of Theorem fzouzdisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 13571	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
3		eluzel2 12740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	zred 12580	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		eluzelre 12746	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		eluzle 12748	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → 𝐵 ≤ 𝑥)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
10	5, 7, 9	lensymd 11267	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
11	2, 10	pm2.65i 194	. . 3 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
12		elin 3919	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
13	11, 12	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ≥‘𝐵))
14	13	nel0 4305	1 ⊢ ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ≥‘𝐵)) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3902  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ..^cfzo 13557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558

This theorem is referenced by:  bitsres  16384  nn0disj01  32764  evl1deg2  33513  evl1deg3  33514  sseqfv1  34363  sseqfn  34364  sseqf  34366  sseqfv2  34368