MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsupss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsupss 12903
Description: Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 11170.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
zsupss ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem zsupss
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑚 → (𝑦𝑥𝑚𝑥))
21cbvralvw 3233 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑥)
3 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑚𝑥𝑚𝑛))
43ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑚𝐴 𝑚𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛))
52, 4bitrid 282 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛))
65cbvrexvw 3234 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)
7 simp1rl 1238 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
87znegcld 12650 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑛 ∈ ℤ)
9 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
109zred 12648 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
117zred 12648 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
12 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = -𝑤 → (𝑚𝑛 ↔ -𝑤𝑛))
13 simp1rr 1239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)
14 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝐴)
1512, 13, 14rspcdva 3610 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑤𝑛)
1610, 11, 15lenegcon1d 11778 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → -𝑛𝑤)
17 eluz2 12810 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛) ↔ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑛𝑤))
188, 9, 16, 17syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ -𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ (ℤ‘-𝑛))
1918rabssdv 4068 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
20 n0 4342 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 𝑛𝐴)
21 ssel2 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
2221znegcld 12650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → -𝑛 ∈ ℤ)
2321zcnd 12649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℂ)
2423negnegd 11544 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → --𝑛 = 𝑛)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
2624, 25eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → --𝑛𝐴)
27 negeq 11434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = -𝑛 → -𝑤 = --𝑛)
2827eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = -𝑛 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑛𝐴))
2928rspcev 3609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑛 ∈ ℤ ∧ --𝑛𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3022, 26, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3130ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴 → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴))
3231exlimdv 1936 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑛 𝑛𝐴 → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴))
3332imp 407 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 𝑛𝐴) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3420, 33sylan2b 594 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3534adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
36 rabn0 4381 . . . . . . . 8 ({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ -𝑤𝐴)
3735, 36sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ≠ ∅)
38 infssuzcl 12898 . . . . . . 7 (({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ≠ ∅) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
3919, 37, 38syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
40 negeq 11434 . . . . . . . . 9 (𝑛 = inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → -𝑛 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
4140eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (𝑛 = inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (-𝑛𝐴 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
42 negeq 11434 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑛 → -𝑤 = -𝑛)
4342eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑛 → (-𝑤𝐴 ↔ -𝑛𝐴))
4443cbvrabv 3441 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ -𝑛𝐴}
4541, 44elrab2 3682 . . . . . . 7 (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ↔ (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
4645simprbi 497 . . . . . 6 (inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
4739, 46syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
48 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
4948sselda 3978 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℤ)
5049zred 12648 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
51 ssrab2 4073 . . . . . . . . . 10 {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ ℤ
5239adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
5351, 52sselid 3976 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
5453znegcld 12650 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
5554zred 12648 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5653zred 12648 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5719adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛))
58 negeq 11434 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑦 → -𝑤 = --𝑦)
5958eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = -𝑦 → (-𝑤𝐴 ↔ --𝑦𝐴))
6049znegcld 12650 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ ℤ)
6149zcnd 12649 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
6261negnegd 11544 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
63 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
6462, 63eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦𝐴)
6559, 60, 64elrabd 3681 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴})
66 infssuzle 12897 . . . . . . . . 9 (({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴} ⊆ (ℤ‘-𝑛) ∧ -𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ≤ -𝑦)
6757, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ≤ -𝑦)
6856, 50, 67lenegcon2d 11779 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ))
6950, 55, 68lensymd 11347 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) ∧ 𝑦𝐴) → ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦)
7069ralrimiva 3145 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦)
71 breq2 5145 . . . . . . . . 9 (𝑧 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
7271rspcev 3609 . . . . . . . 8 ((-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
7372ex 413 . . . . . . 7 (-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 → (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
7447, 73syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
7574ralrimivw 3149 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))
76 breq1 5144 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
7776notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
7877ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦))
79 breq2 5145 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < )))
8079imbi1d 341 . . . . . . . 8 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8180ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → (∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8278, 81anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑥 = -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
8382rspcev 3609 . . . . 5 ((-inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < -inf({𝑤 ∈ ℤ ∣ -𝑤𝐴}, ℝ, < ) → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8447, 70, 75, 83syl12anc 835 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8584rexlimdvaa 3155 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑚𝐴 𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
866, 85biimtrid 241 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧))))
87863impia 1117 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  wss 3944  c0 4318   class class class wbr 5141  cfv 6532  infcinf 9418  cr 11091   < clt 11230  cle 11231  -cneg 11427  cz 12540  cuz 12804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805
This theorem is referenced by:  suprzcl2  12904  suprzub  12905  uzsupss  12906
  Copyright terms: Public domain W3C validator