Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unblimceq0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unblimceq0lem 35872
Description: Lemma for unblimceq0 35873. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unblimceq0lem.0 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0lem.1 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0lem.2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0lem.3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unblimceq0lem (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐴,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐹   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝑆   𝜑,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝐹(𝑐)

Proof of Theorem unblimceq0lem
StepHypRef Expression
1 breq1 5141 . . . . . . . 8 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
21anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
32rexbidv 3170 . . . . . 6 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
43ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
5 unblimceq0lem.3 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
7 unblimceq0lem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
87ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
9 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
108, 9ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
1110abscld 15380 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
12 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
1312rpred 13013 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
1511, 14readdcld 11240 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
1610absge0d 15388 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝐴)))
1712rpgt0d 13016 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑐)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 0 < 𝑐)
1911, 14, 16, 18addgegt0d 11784 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 0 < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
2015, 19elrpd 13010 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ+)
21 simplrl 774 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ+)
2220, 21ifclda 4555 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ∈ ℝ+)
234, 6, 22rspcdva 3605 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
24 simprr 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25 rsp 3236 . . . 4 (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
2623, 24, 25sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
27 simprl 768 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → 𝑥𝑆)
28 neeq1 2995 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
29 fvoveq1 7424 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦𝐴)) = (abs‘(𝑥𝐴)))
3029breq1d 5148 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑))
31 2fveq3 6886 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑦)) = (abs‘(𝐹𝑥)))
3231breq2d 5150 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
3328, 30, 323anbi123d 1432 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
3433adantl 481 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
3515adantlr 712 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
367ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
3736, 27ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3837abscld 15380 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3938adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
4140iftrued 4528 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
4241eqcomd 2730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
43 simprrr 779 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
4443adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
4542, 44eqbrtrd 5160 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
4635, 39, 45lensymd 11362 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ¬ (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
47 2fveq3 6886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹𝐴)))
4847adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹𝐴)))
4914, 11ltaddposd 11795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (0 < 𝑐 ↔ (abs‘(𝐹𝐴)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
5018, 49mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝐴)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹𝐴)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
5248, 51eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
5352ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
5453adantlr 712 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
5554necon3bd 2946 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (¬ (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) → 𝑥𝐴))
5646, 55mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑥𝐴)
57 simprrl 778 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑)
5857adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑)
5914adantlr 712 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
6010adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6160absge0d 15388 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝐴)))
6211adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6359, 62addge02d 11800 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (0 ≤ (abs‘(𝐹𝐴)) ↔ 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
6461, 63mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
6559, 35, 39, 64, 45letrd 11368 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
6656, 58, 653jca 1125 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
67 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → ¬ 𝐴𝑆)
68 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
6927adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑥𝑆)
7069adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝑆)
7168, 70eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑆)
7271ex 412 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (𝑥 = 𝐴𝐴𝑆))
7372necon3bd 2946 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (¬ 𝐴𝑆𝑥𝐴))
7467, 73mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑥𝐴)
7557adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑)
7667iffalsed 4531 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = 𝑐)
7776eqcomd 2730 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑐 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
7843adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
7977, 78eqbrtrd 5160 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8074, 75, 793jca 1125 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8166, 80pm2.61dan 810 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8227, 34, 81rspcedvd 3606 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → ∃𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
8326, 82rexlimddv 3153 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
8483ralrimivva 3192 1 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  wss 3940  ifcif 4520   class class class wbr 5138  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   < clt 11245  cle 11246  cmin 11441  +crp 12971  abscabs 15178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180
This theorem is referenced by:  unblimceq0  35873
  Copyright terms: Public domain W3C validator