Theorem unblimceq0lem 36489

Description: Lemma for unblimceq0 36490. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unblimceq0lem.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0lem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0lem.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unblimceq0lem	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐴,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐹   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝑆   𝜑,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝐹(𝑐)

Proof of Theorem unblimceq0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
2	1	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
3	2	rexbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
4	3	ralbidv 3176	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
5		unblimceq0lem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
7		unblimceq0lem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
9		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10	8, 9	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
15	11, 14	readdcld 11288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
16	10	absge0d 15480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)))
17	12	rpgt0d 13078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑐)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 < 𝑐)
19	11, 14, 16, 18	addgegt0d 11834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
20	15, 19	elrpd 13072	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ+)
21		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ+)
22	20, 21	ifclda 4566	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ∈ ℝ+)
23	4, 6, 22	rspcdva 3623	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
24		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25		rsp 3245	. . . 4 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
26	23, 24, 25	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
27		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
28		neeq1 3001	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 𝐴 ↔ 𝑥 ≠ 𝐴))
29		fvoveq1 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦 − 𝐴)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
30	29	breq1d 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑))
31		2fveq3 6912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
32	31	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
33	28, 30, 32	3anbi123d 1435	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
34	33	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
35	15	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
36	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
37	36, 27	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
40		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
41	40	iftrued 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
42	41	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
43		simprrr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
45	42, 44	eqbrtrd 5170	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
46	35, 39, 45	lensymd 11410	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
47		2fveq3 6912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘𝐴)))
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘𝐴)))
49	14, 11	ltaddposd 11845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 < 𝑐 ↔ (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
50	18, 49	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
52	48, 51	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
53	52	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
54	53	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
55	54	necon3bd 2952	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) → 𝑥 ≠ 𝐴))
56	46, 55	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ 𝐴)
57		simprrl 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
58	57	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
59	14	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
60	10	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
61	60	absge0d 15480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)))
62	11	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
63	59, 62	addge02d 11850	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)) ↔ 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
64	61, 63	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
65	59, 35, 39, 64, 45	letrd 11416	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
66	56, 58, 65	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
67		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
68		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
69	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
71	68, 70	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑆)
72	71	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑆))
73	72	necon3bd 2952	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ 𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑥 ≠ 𝐴))
74	67, 73	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ 𝐴)
75	57	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
76	67	iffalsed 4542	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = 𝑐)
77	76	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
78	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
79	77, 78	eqbrtrd 5170	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
80	74, 75, 79	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
81	66, 80	pm2.61dan 813	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
82	27, 34, 81	rspcedvd 3624	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))
83	26, 82	rexlimddv 3159	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))
84	83	ralrimivva 3200	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ifcif 4531   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272

This theorem is referenced by:  unblimceq0  36490