Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unblimceq0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unblimceq0lem 33029
Description: Lemma for unblimceq0 33030. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unblimceq0lem.0 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0lem.1 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0lem.2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0lem.3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unblimceq0lem (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐴,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐹   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝑆   𝜑,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝐹(𝑐)

Proof of Theorem unblimceq0lem
StepHypRef Expression
1 breq1 4876 . . . . . . . 8 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
21anbi2d 624 . . . . . . 7 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
32rexbidv 3262 . . . . . 6 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
43ralbidv 3195 . . . . 5 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
5 unblimceq0lem.3 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
65adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
7 unblimceq0lem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
87ad2antrr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
9 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
108, 9ffvelrnd 6609 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
1110abscld 14552 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
12 simprl 789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
1312rpred 12156 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ)
1413adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
1511, 14readdcld 10386 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
1610absge0d 14560 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝐴)))
1712rpgt0d 12159 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑐)
1817adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 0 < 𝑐)
1911, 14, 16, 18addgegt0d 10925 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 0 < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
2015, 19elrpd 12153 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ+)
21 simplrl 797 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ+)
2220, 21ifclda 4340 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ∈ ℝ+)
234, 6, 22rspcdva 3532 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
24 simprr 791 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25 rsp 3138 . . . 4 (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
2623, 24, 25sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
27 simprl 789 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → 𝑥𝑆)
28 neeq1 3061 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
29 fvoveq1 6928 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦𝐴)) = (abs‘(𝑥𝐴)))
3029breq1d 4883 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑))
31 2fveq3 6438 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑦)) = (abs‘(𝐹𝑥)))
3231breq2d 4885 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
3328, 30, 323anbi123d 1566 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
3433adantl 475 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
3515adantlr 708 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
367ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
3736, 27ffvelrnd 6609 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3837abscld 14552 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3938adantr 474 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
40 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
4140iftrued 4314 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
4241eqcomd 2831 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
43 simprrr 802 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
4443adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
4542, 44eqbrtrd 4895 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
4635, 39, 45lensymd 10507 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ¬ (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
47 2fveq3 6438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹𝐴)))
4847adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹𝐴)))
4914, 11ltaddposd 10936 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (0 < 𝑐 ↔ (abs‘(𝐹𝐴)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
5018, 49mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝐴)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
5150adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹𝐴)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
5248, 51eqbrtrd 4895 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
5352ex 403 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
5453adantlr 708 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
5554necon3bd 3013 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (¬ (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) → 𝑥𝐴))
5646, 55mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑥𝐴)
57 simprrl 801 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑)
5857adantr 474 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑)
5914adantlr 708 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
6010adantlr 708 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6160absge0d 14560 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝐴)))
6211adantlr 708 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6359, 62addge02d 10941 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (0 ≤ (abs‘(𝐹𝐴)) ↔ 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
6461, 63mpbid 224 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
6559, 35, 39, 64, 45letrd 10513 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
6656, 58, 653jca 1164 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
67 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → ¬ 𝐴𝑆)
68 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
6927adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑥𝑆)
7069adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝑆)
7168, 70eqeltrrd 2907 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑆)
7271ex 403 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (𝑥 = 𝐴𝐴𝑆))
7372necon3bd 3013 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (¬ 𝐴𝑆𝑥𝐴))
7467, 73mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑥𝐴)
7557adantr 474 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑)
7667iffalsed 4317 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = 𝑐)
7776eqcomd 2831 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑐 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
7843adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
7977, 78eqbrtrd 4895 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8074, 75, 793jca 1164 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8166, 80pm2.61dan 849 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8227, 34, 81rspcedvd 3533 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → ∃𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
8326, 82rexlimddv 3245 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
8483ralrimivva 3180 1 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  wss 3798  ifcif 4306   class class class wbr 4873  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252   + caddc 10255   < clt 10391  cle 10392  cmin 10585  +crp 12112  abscabs 14351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353
This theorem is referenced by:  unblimceq0  33030
  Copyright terms: Public domain W3C validator