Theorem unblimceq0lem 33029

Description: Lemma for unblimceq0 33030. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unblimceq0lem.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0lem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0lem.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unblimceq0lem	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐴,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐹   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝑆   𝜑,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝐹(𝑐)

Proof of Theorem unblimceq0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
2	1	anbi2d 624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
3	2	rexbidv 3262	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
4	3	ralbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
5		unblimceq0lem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
6	5	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
7		unblimceq0lem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
8	7	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
9		simpr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10	8, 9	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	abscld 14552	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		simprl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 12156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14	13	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
15	11, 14	readdcld 10386	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
16	10	absge0d 14560	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)))
17	12	rpgt0d 12159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑐)
18	17	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 < 𝑐)
19	11, 14, 16, 18	addgegt0d 10925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
20	15, 19	elrpd 12153	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ+)
21		simplrl 797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ+)
22	20, 21	ifclda 4340	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ∈ ℝ+)
23	4, 6, 22	rspcdva 3532	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
24		simprr 791	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25		rsp 3138	. . . 4 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
26	23, 24, 25	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
27		simprl 789	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
28		neeq1 3061	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 𝐴 ↔ 𝑥 ≠ 𝐴))
29		fvoveq1 6928	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦 − 𝐴)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
30	29	breq1d 4883	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑))
31		2fveq3 6438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
32	31	breq2d 4885	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
33	28, 30, 32	3anbi123d 1566	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
34	33	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
35	15	adantlr 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
36	7	ad2antrr 719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
37	36, 27	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
38	37	abscld 14552	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
39	38	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
40		simpr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
41	40	iftrued 4314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
42	41	eqcomd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
43		simprrr 802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
44	43	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
45	42, 44	eqbrtrd 4895	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
46	35, 39, 45	lensymd 10507	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
47		2fveq3 6438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘𝐴)))
48	47	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘𝐴)))
49	14, 11	ltaddposd 10936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 < 𝑐 ↔ (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
50	18, 49	mpbid 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
51	50	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
52	48, 51	eqbrtrd 4895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
53	52	ex 403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
54	53	adantlr 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
55	54	necon3bd 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) → 𝑥 ≠ 𝐴))
56	46, 55	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ 𝐴)
57		simprrl 801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
58	57	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
59	14	adantlr 708	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
60	10	adantlr 708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
61	60	absge0d 14560	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)))
62	11	adantlr 708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
63	59, 62	addge02d 10941	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)) ↔ 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
64	61, 63	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
65	59, 35, 39, 64, 45	letrd 10513	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
66	56, 58, 65	3jca 1164	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
67		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
68		simpr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
69	27	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
70	69	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
71	68, 70	eqeltrrd 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑆)
72	71	ex 403	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑆))
73	72	necon3bd 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ 𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑥 ≠ 𝐴))
74	67, 73	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ 𝐴)
75	57	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
76	67	iffalsed 4317	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = 𝑐)
77	76	eqcomd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
78	43	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
79	77, 78	eqbrtrd 4895	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
80	74, 75, 79	3jca 1164	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
81	66, 80	pm2.61dan 849	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
82	27, 34, 81	rspcedvd 3533	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))
83	26, 82	rexlimddv 3245	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))
84	83	ralrimivva 3180	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118   ⊆ wss 3798  ifcif 4306   class class class wbr 4873  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252   + caddc 10255   < clt 10391   ≤ cle 10392   − cmin 10585  ℝ⁺crp 12112  abscabs 14351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353

This theorem is referenced by:  unblimceq0  33030