Theorem unblimceq0lem 36472

Description: Lemma for unblimceq0 36473. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unblimceq0lem.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0lem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0lem.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unblimceq0lem	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐴,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐹   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝑆   𝜑,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝐹(𝑐)

Proof of Theorem unblimceq0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
2	1	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
3	2	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
4	3	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
5		unblimceq0lem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
7		unblimceq0lem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
8	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
9		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10	8, 9	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
15	11, 14	readdcld 11319	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
16	10	absge0d 15493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)))
17	12	rpgt0d 13102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑐)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 < 𝑐)
19	11, 14, 16, 18	addgegt0d 11863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
20	15, 19	elrpd 13096	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ+)
21		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ+)
22	20, 21	ifclda 4583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ∈ ℝ+)
23	4, 6, 22	rspcdva 3636	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
24		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25		rsp 3253	. . . 4 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
26	23, 24, 25	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
27		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
28		neeq1 3009	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 𝐴 ↔ 𝑥 ≠ 𝐴))
29		fvoveq1 7471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦 − 𝐴)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
30	29	breq1d 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑))
31		2fveq3 6925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
32	31	breq2d 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
33	28, 30, 32	3anbi123d 1436	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
34	33	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
35	15	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
36	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
37	36, 27	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
40		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
41	40	iftrued 4556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
42	41	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
43		simprrr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
45	42, 44	eqbrtrd 5188	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
46	35, 39, 45	lensymd 11441	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
47		2fveq3 6925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘𝐴)))
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘𝐴)))
49	14, 11	ltaddposd 11874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 < 𝑐 ↔ (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
50	18, 49	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
52	48, 51	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
53	52	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
54	53	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
55	54	necon3bd 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) → 𝑥 ≠ 𝐴))
56	46, 55	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ 𝐴)
57		simprrl 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
58	57	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
59	14	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
60	10	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
61	60	absge0d 15493	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)))
62	11	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
63	59, 62	addge02d 11879	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)) ↔ 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
64	61, 63	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
65	59, 35, 39, 64, 45	letrd 11447	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
66	56, 58, 65	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
67		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
68		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
69	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
71	68, 70	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑆)
72	71	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑆))
73	72	necon3bd 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ 𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑥 ≠ 𝐴))
74	67, 73	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ 𝐴)
75	57	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
76	67	iffalsed 4559	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = 𝑐)
77	76	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
78	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
79	77, 78	eqbrtrd 5188	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
80	74, 75, 79	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
81	66, 80	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
82	27, 34, 81	rspcedvd 3637	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))
83	26, 82	rexlimddv 3167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))
84	83	ralrimivva 3208	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ifcif 4548   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℝ⁺crp 13057  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  unblimceq0  36473