Theorem unblimceq0lem 36501

Description: Lemma for unblimceq0 36502. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unblimceq0lem.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0lem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0lem.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
unblimceq0lem	⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐴,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐹   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝑆   𝜑,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝐹(𝑐)

Proof of Theorem unblimceq0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)) ↔ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
2	1	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
3	2	rexbidv 3158	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
4	3	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
5		unblimceq0lem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
7		unblimceq0lem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
9		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10	8, 9	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
12		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
15	11, 14	readdcld 11210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
16	10	absge0d 15420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)))
17	12	rpgt0d 13005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑐)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 < 𝑐)
19	11, 14, 16, 18	addgegt0d 11758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
20	15, 19	elrpd 12999	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ+)
21		simplrl 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ+)
22	20, 21	ifclda 4527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ∈ ℝ+)
23	4, 6, 22	rspcdva 3592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
24		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25		rsp 3226	. . . 4 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
26	23, 24, 25	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
27		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
28		neeq1 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 𝐴 ↔ 𝑥 ≠ 𝐴))
29		fvoveq1 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦 − 𝐴)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
30	29	breq1d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑))
31		2fveq3 6866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑥)))
32	31	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
33	28, 30, 32	3anbi123d 1438	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
34	33	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))))
35	15	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
36	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
37	36, 27	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
40		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
41	40	iftrued 4499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
42	41	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
43		simprrr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
45	42, 44	eqbrtrd 5132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
46	35, 39, 45	lensymd 11332	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
47		2fveq3 6866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘𝐴)))
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) = (abs‘(𝐹‘𝐴)))
49	14, 11	ltaddposd 11769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 < 𝑐 ↔ (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
50	18, 49	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
52	48, 51	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
53	52	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
54	53	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
55	54	necon3bd 2940	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ (abs‘(𝐹‘𝑥)) < ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐) → 𝑥 ≠ 𝐴))
56	46, 55	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ 𝐴)
57		simprrl 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
58	57	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
59	14	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
60	10	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
61	60	absge0d 15420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)))
62	11	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
63	59, 62	addge02d 11774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝐴)) ↔ 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐)))
64	61, 63	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐))
65	59, 35, 39, 64, 45	letrd 11338	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
66	56, 58, 65	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
67		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
68		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
69	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑆)
71	68, 70	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑆)
72	71	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑆))
73	72	necon3bd 2940	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ 𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑥 ≠ 𝐴))
74	67, 73	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ 𝐴)
75	57	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑)
76	67	iffalsed 4502	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = 𝑐)
77	76	eqcomd 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
78	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
79	77, 78	eqbrtrd 5132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥)))
80	74, 75, 79	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
81	66, 80	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → (𝑥 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))
82	27, 34, 81	rspcedvd 3593	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((abs‘(𝐹‘𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑥))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))
83	26, 82	rexlimddv 3141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))
84	83	ralrimivva 3181	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℝ⁺crp 12958  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  unblimceq0  36502