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Theorem unblimceq0lem 35015
Description: Lemma for unblimceq0 35016. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unblimceq0lem.0 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
unblimceq0lem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
unblimceq0lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
unblimceq0lem.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
unblimceq0lem (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (𝑦 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,π‘₯   𝑦,𝐴,𝑑,π‘₯   𝐹,𝑏,𝑑,π‘₯   𝑦,𝐹   𝑆,𝑏,𝑑,π‘₯   𝑦,𝑆   πœ‘,𝑏,𝑐,𝑑,π‘₯   πœ‘,𝑦,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝐹(𝑐)

Proof of Theorem unblimceq0lem
StepHypRef Expression
1 breq1 5109 . . . . . . . 8 (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) β†’ (𝑏 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
21anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) β†’ (((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
32rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
43ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑏 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
5 unblimceq0lem.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
65adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑏 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
7 unblimceq0lem.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
9 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
108, 9ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1110abscld 15327 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
12 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
1312rpred 12962 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
1413adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
1511, 14readdcld 11189 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐) ∈ ℝ)
1610absge0d 15335 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π΄)))
1712rpgt0d 12965 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 0 < 𝑐)
1817adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 0 < 𝑐)
1911, 14, 16, 18addgegt0d 11733 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 0 < ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐))
2015, 19elrpd 12959 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐) ∈ ℝ+)
21 simplrl 776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑐 ∈ ℝ+)
2220, 21ifclda 4522 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ∈ ℝ+)
234, 6, 22rspcdva 3581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
24 simprr 772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
25 rsp 3229 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
2623, 24, 25sylc 65 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
27 simprl 770 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
28 neeq1 3003 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 β‰  𝐴 ↔ π‘₯ β‰  𝐴))
29 fvoveq1 7381 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)))
3029breq1d 5116 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ↔ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑))
31 2fveq3 6848 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3231breq2d 5118 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
3328, 30, 323anbi123d 1437 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑦 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3433adantl 483 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝑦 = π‘₯) β†’ ((𝑦 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3515adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐) ∈ ℝ)
367ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
3736, 27ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3837abscld 15327 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3938adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
4140iftrued 4495 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) = ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐))
4241eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐) = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐))
43 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) β†’ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4443adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4542, 44eqbrtrd 5128 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4635, 39, 45lensymd 11311 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) < ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐))
47 2fveq3 6848 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΄)))
4847adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π΄)))
4914, 11ltaddposd 11744 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (0 < 𝑐 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) < ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐)))
5018, 49mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) < ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐))
5150adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) < ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐))
5248, 51eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) < ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐))
5352ex 414 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ = 𝐴 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) < ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐)))
5453adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ = 𝐴 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) < ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐)))
5554necon3bd 2954 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (Β¬ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) < ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐) β†’ π‘₯ β‰  𝐴))
5646, 55mpd 15 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
57 simprrl 780 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑)
5857adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑)
5914adantlr 714 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
6010adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6160absge0d 15335 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π΄)))
6211adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
6359, 62addge02d 11749 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) ↔ 𝑐 ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐)))
6461, 63mpbid 231 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑐 ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐))
6559, 35, 39, 64, 45letrd 11317 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
6656, 58, 653jca 1129 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
67 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆)
68 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ = 𝐴)
6927adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
7069adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
7168, 70eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
7271ex 414 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ = 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ 𝑆))
7372necon3bd 2954 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ β‰  𝐴))
7467, 73mpd 15 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
7557adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑)
7667iffalsed 4498 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) = 𝑐)
7776eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑐 = if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐))
7843adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7977, 78eqbrtrd 5128 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8074, 75, 793jca 1129 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
8166, 80pm2.61dan 812 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) β†’ (π‘₯ β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
8227, 34, 81rspcedvd 3582 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴 ∈ 𝑆, ((absβ€˜(πΉβ€˜π΄)) + 𝑐), 𝑐) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (𝑦 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
8326, 82rexlimddv 3155 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (𝑦 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
8483ralrimivva 3194 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑆 (𝑦 β‰  𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐴)) < 𝑑 ∧ 𝑐 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„+crp 12920  abscabs 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127
This theorem is referenced by:  unblimceq0  35016
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