Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem52 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem52 44379
Description: There exists a neighborhood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem52.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem52.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem52.3 Ⅎ𝑑𝑃
stoweidlem52.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem52.5 𝑉 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem52.7 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem52.8 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem52.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem52.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem52.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem52.12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
stoweidlem52.13 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem52.14 (πœ‘ β†’ 𝐷 < 1)
stoweidlem52.15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem52.16 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
stoweidlem52.17 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
stoweidlem52.18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
stoweidlem52.19 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = 0)
stoweidlem52.20 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem52 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ((𝑍 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
Distinct variable groups:   𝑒,π‘Ž,𝑑   𝐴,π‘Ž,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑑   𝑇,π‘Ž,𝑑   π‘ˆ,π‘Ž   𝑉,π‘Ž,𝑒   πœ‘,π‘Ž,𝑒   𝑒,𝑓,𝑔,𝑑   𝑣,𝑒,π‘₯,𝑑   𝐴,𝑓,𝑔   𝐷,𝑓,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔   𝑓,𝑉,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑑,𝑍,𝑣   𝑣,𝐴   𝑣,𝐽   𝑣,𝑇,π‘₯   𝑣,π‘ˆ,π‘₯   𝑣,𝑉,π‘₯   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑣,𝑑)   𝐴(𝑒)   𝐢(π‘₯,𝑣,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,π‘Ž)   𝐷(π‘₯,𝑣,𝑒)   𝑃(π‘₯,𝑣,𝑑,𝑒,π‘Ž)   𝑇(𝑒)   π‘ˆ(𝑑,𝑒)   𝐽(π‘₯,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,π‘Ž)   𝐾(π‘₯,𝑣,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,π‘Ž)   𝑉(𝑑)   𝑍(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑔,π‘Ž)

Proof of Theorem stoweidlem52
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . 3 Ⅎ𝑑(𝐷 / 2)
2 stoweidlem52.3 . . 3 Ⅎ𝑑𝑃
3 stoweidlem52.2 . . 3 β„²π‘‘πœ‘
4 stoweidlem52.4 . . 3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
5 stoweidlem52.7 . . 3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
6 stoweidlem52.5 . . 3 𝑉 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)}
7 stoweidlem52.13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
87rpred 12962 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
98rehalfcld 12405 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
109rexrd 11210 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 / 2) ∈ ℝ*)
11 stoweidlem52.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
12 stoweidlem52.8 . . . . 5 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
1311, 12sseqtrdi 3995 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
14 stoweidlem52.17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
1513, 14sseldd 3946 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15rfcnpre2 43324 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
17 stoweidlem52.15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
18 elssuni 4899 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2019, 5sseqtrrdi 3996 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
21 stoweidlem52.16 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
2220, 21sseldd 3946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
23 stoweidlem52.19 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = 0)
24 2re 12232 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
267rpgt0d 12965 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐷)
27 2pos 12261 . . . . . . . 8 0 < 2
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
298, 25, 26, 28divgt0d 12095 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐷 / 2))
3023, 29eqbrtrd 5128 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) < (𝐷 / 2))
31 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑍
32 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑇
332, 31nffv 6853 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(π‘ƒβ€˜π‘)
34 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 <
3533, 34, 1nfbr 5153 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(π‘ƒβ€˜π‘) < (𝐷 / 2)
36 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑍 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) = (π‘ƒβ€˜π‘))
3736breq1d 5116 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘) < (𝐷 / 2)))
3831, 32, 35, 37elrabf 3642 . . . . 5 (𝑍 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)} ↔ (𝑍 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) < (𝐷 / 2)))
3922, 30, 38sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)})
4039, 6eleqtrrdi 2845 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
41 nfrab1 3425 . . . . 5 Ⅎ𝑑{𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)}
426, 41nfcxfr 2902 . . . 4 Ⅎ𝑑𝑉
43 stoweidlem52.1 . . . 4 β„²π‘‘π‘ˆ
4411, 14sseldd 3946 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐢)
454, 5, 12, 44fcnre 43318 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
4645adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
476reqabi 3428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ 𝑉 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)))
4847biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)))
4948adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)))
5049simpld 496 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
5146, 50ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
529adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
538adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
5449simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2))
55 halfpos 12388 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℝ β†’ (0 < 𝐷 ↔ (𝐷 / 2) < 𝐷))
568, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 < 𝐷 ↔ (𝐷 / 2) < 𝐷))
5726, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷 / 2) < 𝐷)
5857adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐷 / 2) < 𝐷)
5951, 52, 53, 54, 58lttrd 11321 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < 𝐷)
6059adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < 𝐷)
618ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
6251adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
63 stoweidlem52.20 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
6463ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
6550anim1i 616 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ))
66 eldif 3921 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ))
6765, 66sylibr 233 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
68 rsp 3229 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) β†’ (𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β†’ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
6964, 67, 68sylc 65 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
7061, 62, 69lensymd 11311 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < 𝐷)
7160, 70condan 817 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑑 ∈ π‘ˆ)
7271ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ 𝑑 ∈ π‘ˆ))
733, 42, 43, 72ssrd 3950 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
74 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑 𝑒 ∈ ℝ+
753, 74nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
76 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 𝑦 ∈ 𝐴
7775, 76nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
78 nfra1 3266 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1)
79 nfra1 3266 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘)
80 nfra1 3266 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒
8178, 79, 80nf3an 1905 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)
8277, 81nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒))
83 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
84 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
85 ssrab2 4038 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)} βŠ† 𝑇
866, 85eqsstri 3979 . . . . . 6 𝑉 βŠ† 𝑇
87 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
88 simplll 774 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ πœ‘)
8911sselda 3945 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
904, 5, 12, 89fcnre 43318 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦:π‘‡βŸΆβ„)
9188, 87, 90syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ 𝑦:π‘‡βŸΆβ„)
9211sselda 3945 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓 ∈ 𝐢)
934, 5, 12, 92fcnre 43318 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
9488, 93sylan 581 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
95 stoweidlem52.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
9688, 95syl3an1 1164 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
97 stoweidlem52.11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
9888, 97syl3an1 1164 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
99 stoweidlem52.12 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
10088, 99sylan 581 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
101 simpllr 775 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
102 simpr1 1195 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1))
103 simpr2 1196 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘))
104 simpr3 1197 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)
10582, 83, 84, 86, 87, 91, 94, 96, 98, 100, 101, 102, 103, 104stoweidlem41 44368 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
1067adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
107 stoweidlem52.14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 < 1)
108107adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 < 1)
10914adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11045adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
111 stoweidlem52.18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
112111adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
11363adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
11493adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
115953adant1r 1178 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
116973adant1r 1178 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
11799adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
118 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
1192, 75, 6, 106, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118stoweidlem49 44376 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒))
120105, 119r19.29a 3156 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
121120ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
12240, 73, 121jca31 516 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
123 eleq2 2823 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑍 ∈ 𝑣 ↔ 𝑍 ∈ 𝑉))
124 sseq1 3970 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑉 βŠ† π‘ˆ))
125123, 124anbi12d 632 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((𝑍 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)))
126 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝑣
127126, 42raleqf 3327 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒))
1281273anbi2d 1442 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)) ↔ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
129128rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
130129ralbidv 3171 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
131125, 130anbi12d 632 . . 3 (𝑣 = 𝑉 β†’ (((𝑍 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))) ↔ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)))))
132131rspcev 3580 . 2 ((𝑉 ∈ 𝐽 ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ((𝑍 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
13316, 122, 132syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ((𝑍 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  2c2 12213  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  topGenctg 17324   Cn ccn 22591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-ioo 13274  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-topgen 17330  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cn 22594
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  44383
  Copyright terms: Public domain W3C validator