Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem52 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem52 44768
Description: There exists a neighborhood V as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90. Here Z is used to represent t0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem52.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem52.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem52.3 Ⅎ𝑑𝑃
stoweidlem52.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem52.5 𝑉 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)}
stoweidlem52.7 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem52.8 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem52.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem52.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem52.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem52.12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
stoweidlem52.13 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem52.14 (πœ‘ β†’ 𝐷 < 1)
stoweidlem52.15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem52.16 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
stoweidlem52.17 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
stoweidlem52.18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
stoweidlem52.19 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = 0)
stoweidlem52.20 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem52 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ((𝑍 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
Distinct variable groups:   𝑒,π‘Ž,𝑑   𝐴,π‘Ž,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑑   𝑇,π‘Ž,𝑑   π‘ˆ,π‘Ž   𝑉,π‘Ž,𝑒   πœ‘,π‘Ž,𝑒   𝑒,𝑓,𝑔,𝑑   𝑣,𝑒,π‘₯,𝑑   𝐴,𝑓,𝑔   𝐷,𝑓,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔   𝑓,𝑉,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑑,𝑍,𝑣   𝑣,𝐴   𝑣,𝐽   𝑣,𝑇,π‘₯   𝑣,π‘ˆ,π‘₯   𝑣,𝑉,π‘₯   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑣,𝑑)   𝐴(𝑒)   𝐢(π‘₯,𝑣,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,π‘Ž)   𝐷(π‘₯,𝑣,𝑒)   𝑃(π‘₯,𝑣,𝑑,𝑒,π‘Ž)   𝑇(𝑒)   π‘ˆ(𝑑,𝑒)   𝐽(π‘₯,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,π‘Ž)   𝐾(π‘₯,𝑣,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,π‘Ž)   𝑉(𝑑)   𝑍(π‘₯,𝑒,𝑓,𝑔,π‘Ž)

Proof of Theorem stoweidlem52
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . 3 Ⅎ𝑑(𝐷 / 2)
2 stoweidlem52.3 . . 3 Ⅎ𝑑𝑃
3 stoweidlem52.2 . . 3 β„²π‘‘πœ‘
4 stoweidlem52.4 . . 3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
5 stoweidlem52.7 . . 3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
6 stoweidlem52.5 . . 3 𝑉 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)}
7 stoweidlem52.13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
87rpred 13016 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
98rehalfcld 12459 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
109rexrd 11264 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 / 2) ∈ ℝ*)
11 stoweidlem52.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
12 stoweidlem52.8 . . . . 5 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
1311, 12sseqtrdi 4033 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
14 stoweidlem52.17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
1513, 14sseldd 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15rfcnpre2 43715 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
17 stoweidlem52.15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
18 elssuni 4942 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2019, 5sseqtrrdi 4034 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
21 stoweidlem52.16 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
2220, 21sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
23 stoweidlem52.19 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = 0)
24 2re 12286 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
267rpgt0d 13019 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐷)
27 2pos 12315 . . . . . . . 8 0 < 2
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
298, 25, 26, 28divgt0d 12149 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐷 / 2))
3023, 29eqbrtrd 5171 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) < (𝐷 / 2))
31 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑍
32 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝑇
332, 31nffv 6902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(π‘ƒβ€˜π‘)
34 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 <
3533, 34, 1nfbr 5196 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(π‘ƒβ€˜π‘) < (𝐷 / 2)
36 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑍 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) = (π‘ƒβ€˜π‘))
3736breq1d 5159 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘) < (𝐷 / 2)))
3831, 32, 35, 37elrabf 3680 . . . . 5 (𝑍 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)} ↔ (𝑍 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘) < (𝐷 / 2)))
3922, 30, 38sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)})
4039, 6eleqtrrdi 2845 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
41 nfrab1 3452 . . . . 5 Ⅎ𝑑{𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)}
426, 41nfcxfr 2902 . . . 4 Ⅎ𝑑𝑉
43 stoweidlem52.1 . . . 4 β„²π‘‘π‘ˆ
4411, 14sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐢)
454, 5, 12, 44fcnre 43709 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
4645adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
476reqabi 3455 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ 𝑉 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)))
4847biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)))
4948adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)))
5049simpld 496 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
5146, 50ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
529adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
538adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
5449simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2))
55 halfpos 12442 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℝ β†’ (0 < 𝐷 ↔ (𝐷 / 2) < 𝐷))
568, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 < 𝐷 ↔ (𝐷 / 2) < 𝐷))
5726, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷 / 2) < 𝐷)
5857adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝐷 / 2) < 𝐷)
5951, 52, 53, 54, 58lttrd 11375 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < 𝐷)
6059adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < 𝐷)
618ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
6251adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
63 stoweidlem52.20 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
6463ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
6550anim1i 616 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ))
66 eldif 3959 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ))
6765, 66sylibr 233 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
68 rsp 3245 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) β†’ (𝑑 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β†’ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘)))
6964, 67, 68sylc 65 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
7061, 62, 69lensymd 11365 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < 𝐷)
7160, 70condan 817 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ 𝑑 ∈ π‘ˆ)
7271ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑉 β†’ 𝑑 ∈ π‘ˆ))
733, 42, 43, 72ssrd 3988 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
74 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑 𝑒 ∈ ℝ+
753, 74nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
76 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 𝑦 ∈ 𝐴
7775, 76nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
78 nfra1 3282 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1)
79 nfra1 3282 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘)
80 nfra1 3282 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒
8178, 79, 80nf3an 1905 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)
8277, 81nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒))
83 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 βˆ’ (π‘¦β€˜π‘‘)))
84 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 1)
85 ssrab2 4078 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ (π‘ƒβ€˜π‘‘) < (𝐷 / 2)} βŠ† 𝑇
866, 85eqsstri 4017 . . . . . 6 𝑉 βŠ† 𝑇
87 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
88 simplll 774 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ πœ‘)
8911sselda 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
904, 5, 12, 89fcnre 43709 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦:π‘‡βŸΆβ„)
9188, 87, 90syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ 𝑦:π‘‡βŸΆβ„)
9211sselda 3983 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓 ∈ 𝐢)
934, 5, 12, 92fcnre 43709 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
9488, 93sylan 581 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
95 stoweidlem52.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
9688, 95syl3an1 1164 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
97 stoweidlem52.11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
9888, 97syl3an1 1164 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
99 stoweidlem52.12 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
10088, 99sylan 581 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
101 simpllr 775 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
102 simpr1 1195 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1))
103 simpr2 1196 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘))
104 simpr3 1197 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)
10582, 83, 84, 86, 87, 91, 94, 96, 98, 100, 101, 102, 103, 104stoweidlem41 44757 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
1067adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
107 stoweidlem52.14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 < 1)
108107adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 < 1)
10914adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11045adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑃:π‘‡βŸΆβ„)
111 stoweidlem52.18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
112111adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘‘) ≀ 1))
11363adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)𝐷 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘‘))
11493adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
115953adant1r 1178 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
116973adant1r 1178 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
11799adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐴)
118 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
1192, 75, 6, 106, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118stoweidlem49 44765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ (π‘¦β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (1 βˆ’ 𝑒) < (π‘¦β€˜π‘‘) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(π‘¦β€˜π‘‘) < 𝑒))
120105, 119r19.29a 3163 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
121120ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)))
12240, 73, 121jca31 516 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
123 eleq2 2823 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑍 ∈ 𝑣 ↔ 𝑍 ∈ 𝑉))
124 sseq1 4008 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 βŠ† π‘ˆ ↔ 𝑉 βŠ† π‘ˆ))
125123, 124anbi12d 632 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((𝑍 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)))
126 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝑣
127126, 42raleqf 3350 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒))
1281273anbi2d 1442 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)) ↔ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
129128rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
130129ralbidv 3178 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
131125, 130anbi12d 632 . . 3 (𝑣 = 𝑉 β†’ (((𝑍 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))) ↔ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)))))
132131rspcev 3613 . 2 ((𝑉 ∈ 𝐽 ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑉 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘)))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ((𝑍 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
13316, 122, 132syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ((𝑍 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘₯β€˜π‘‘) ∧ (π‘₯β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑣 (π‘₯β€˜π‘‘) < 𝑒 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)(1 βˆ’ 𝑒) < (π‘₯β€˜π‘‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  topGenctg 17383   Cn ccn 22728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  44772
  Copyright terms: Public domain W3C validator