Theorem recld2 24719

Description: The real numbers are a closed set in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
recld2	⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem recld2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4089	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ
2		eldifi 4084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	imcld 15120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
5		eldifn 4085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
6		reim0b 15044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
8	7	necon3bbid 2962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
9	5, 8	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
10	4, 9	absrpcld 15376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
11		cnxmet 24676	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
12	4	abscld 15364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*)
14		elbl 24292	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
15	11, 2, 13, 14	mp3an2i 1468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
16		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
20		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
21	20	cnmetdval 24674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
22	17, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
23	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
24	23	abscld 15364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
25	17, 19	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
27	17, 19	imsubd 15142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 − 𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)))
28		reim0 15043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ℑ‘𝑦) = 0)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
30	29	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − 0))
31	23	subid1d 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − 0) = (ℑ‘𝑥))
32	27, 30, 31	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 − 𝑦)) = (ℑ‘𝑥))
33	32	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) = (abs‘(ℑ‘𝑥)))
34		absimle 15234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
35	25, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
36	33, 35	eqbrtrrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
37	24, 26, 36	lensymd 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
38	22, 37	eqnbrtrd 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))))
40	39	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
42	41	impr 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
43	16, 42	eldifd 3916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
44	43	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
45	15, 44	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
46	45	ssrdv 3943	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
47		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))))
48	47	sseq1d 3969	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
49	48	rspcev 3579	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
50	10, 46, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
51	50	rgen 3046	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)
52		recld2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
53	52	cnfldtopn 24685	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	53	elmopn2 24349	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))))
55	11, 54	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
56	1, 51, 55	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽
57	52	cnfldtop 24687	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Top
58		ax-resscn 11085	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
59	53	mopnuni 24345	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ℂ = ∪ 𝐽)
60	11, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
61	60	iscld2 22931	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽))
62	57, 58, 61	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽)
63	56, 62	mpbir 231	1 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5095   ∘ ccom 5627  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℝ⁺crp 12911  ℑcim 15023  abscabs 15159  TopOpenctopn 17343  ∞Metcxmet 21264  ballcbl 21266  ℂ_fldccnfld 21279  Topctop 22796  Clsdccld 22919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17344  df-topn 17345  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-xms 24224  df-ms 24225

This theorem is referenced by:  zcld2  24720  rellycmp  24872  recmet  25239  ishl2  25286  recms  25296  logdmopn  26574  dvasin  37683  dvacos  37684  dvreasin  37685  dvreacos  37686