MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recld2 24850
Description: The real numbers are a closed set in the topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
recld2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
recld2 ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem recld2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4146 . . 3 (ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ
2 eldifi 4141 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
32imcld 15231 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
43recnd 11287 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
5 eldifn 4142 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
6 reim0b 15155 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
72, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
87necon3bbid 2976 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
95, 8mpbid 232 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
104, 9absrpcld 15484 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
11 cnxmet 24809 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
124abscld 15472 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
1312rexrd 11309 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*)
14 elbl 24414 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
1511, 2, 13, 14mp3an2i 1465 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
16 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
172adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1918recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
20 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2120cnmetdval 24807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
2217, 19, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
2423abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
2517, 19subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
2625abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ)
2717, 19imsubd 15253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)))
28 reim0 15154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (ℑ‘𝑦) = 0)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
3029oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − 0))
3123subid1d 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − 0) = (ℑ‘𝑥))
3227, 30, 313eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥𝑦)) = (ℑ‘𝑥))
3332fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥𝑦))) = (abs‘(ℑ‘𝑥)))
34 absimle 15345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝑥𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥𝑦)))
3525, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥𝑦)))
3633, 35eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑥𝑦)))
3724, 26, 36lensymd 11410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (abs‘(𝑥𝑦)) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
3822, 37eqnbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
3938ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))))
4039con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
4241impr 454 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
4316, 42eldifd 3974 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
4443ex 412 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
4515, 44sylbid 240 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
4645ssrdv 4001 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
47 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))))
4847sseq1d 4027 . . . . . 6 (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
4948rspcev 3622 . . . . 5 (((abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
5010, 46, 49syl2anc 584 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
5150rgen 3061 . . 3 𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)
52 recld2.1 . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
5352cnfldtopn 24818 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5453elmopn2 24471 . . . 4 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))))
5511, 54ax-mp 5 . . 3 ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
561, 51, 55mpbir2an 711 . 2 (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽
5752cnfldtop 24820 . . 3 𝐽 ∈ Top
58 ax-resscn 11210 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
5953mopnuni 24467 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ℂ = 𝐽)
6011, 59ax-mp 5 . . . 4 ℂ = 𝐽
6160iscld2 23052 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽))
6257, 58, 61mp2an 692 . 2 (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽)
6356, 62mpbir 231 1 ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cdif 3960  wss 3963   cuni 4912   class class class wbr 5148  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  +crp 13032  cim 15134  abscabs 15270  TopOpenctopn 17468  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369  fldccnfld 21382  Topctop 22915  Clsdccld 23040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-xms 24346  df-ms 24347
This theorem is referenced by:  zcld2  24851  rellycmp  25003  recmet  25371  ishl2  25418  recms  25428  logdmopn  26706  dvasin  37691  dvacos  37692  dvreasin  37693  dvreacos  37694
  Copyright terms: Public domain W3C validator