Theorem recld2 24818

Description: The real numbers are a closed set in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
recld2	⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem recld2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4128	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ
2		eldifi 4123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	imcld 15195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
5		eldifn 4124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
6		reim0b 15119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
8	7	necon3bbid 2968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
9	5, 8	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
10	4, 9	absrpcld 15448	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
11		cnxmet 24777	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
12	4	abscld 15436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*)
14		elbl 24382	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
15	11, 2, 13, 14	mp3an2i 1463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
16		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	2	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
18		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
20		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
21	20	cnmetdval 24775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
22	17, 19, 21	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
23	4	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
24	23	abscld 15436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
25	17, 19	subcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
27	17, 19	imsubd 15217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 − 𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)))
28		reim0 15118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ℑ‘𝑦) = 0)
29	28	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
30	29	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − 0))
31	23	subid1d 11601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − 0) = (ℑ‘𝑥))
32	27, 30, 31	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 − 𝑦)) = (ℑ‘𝑥))
33	32	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) = (abs‘(ℑ‘𝑥)))
34		absimle 15309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
35	25, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
36	33, 35	eqbrtrrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
37	24, 26, 36	lensymd 11406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
38	22, 37	eqnbrtrd 5163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
39	38	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))))
40	39	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
41	40	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
42	41	impr 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
43	16, 42	eldifd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
44	43	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
45	15, 44	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
46	45	ssrdv 3984	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
47		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))))
48	47	sseq1d 4010	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
49	48	rspcev 3607	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
50	10, 46, 49	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
51	50	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)
52		recld2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
53	52	cnfldtopn 24786	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	53	elmopn2 24439	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))))
55	11, 54	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
56	1, 51, 55	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽
57	52	cnfldtop 24788	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Top
58		ax-resscn 11206	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
59	53	mopnuni 24435	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ℂ = ∪ 𝐽)
60	11, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
61	60	iscld2 23020	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽))
62	57, 58, 61	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽)
63	56, 62	mpbir 230	1 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3943   ⊆ wss 3946  ∪ cuni 4905   class class class wbr 5145   ∘ ccom 5678  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  ℝcr 11148  0cc0 11149  ℝ^*cxr 11288   < clt 11289   ≤ cle 11290   − cmin 11485  ℝ⁺crp 13022  ℑcim 15098  abscabs 15234  TopOpenctopn 17431  ∞Metcxmet 21324  ballcbl 21326  ℂ_fldccnfld 21339  Topctop 22883  Clsdccld 23008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-fz 13533  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-struct 17144  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-rest 17432  df-topn 17433  df-topgen 17453  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-xms 24314  df-ms 24315

This theorem is referenced by:  zcld2  24819  rellycmp  24971  recmet  25339  ishl2  25386  recms  25396  logdmopn  26673  dvasin  37418  dvacos  37419  dvreasin  37420  dvreacos  37421