Theorem recld2 24754

Description: The real numbers are a closed set in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
recld2	⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem recld2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4111	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ
2		eldifi 4106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	imcld 15214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
5		eldifn 4107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
6		reim0b 15138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
8	7	necon3bbid 2969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
9	5, 8	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
10	4, 9	absrpcld 15467	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
11		cnxmet 24711	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
12	4	abscld 15455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*)
14		elbl 24327	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
15	11, 2, 13, 14	mp3an2i 1468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
16		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
20		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
21	20	cnmetdval 24709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
22	17, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
23	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
24	23	abscld 15455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
25	17, 19	subcld 11594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
27	17, 19	imsubd 15236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 − 𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)))
28		reim0 15137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ℑ‘𝑦) = 0)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
30	29	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − 0))
31	23	subid1d 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − 0) = (ℑ‘𝑥))
32	27, 30, 31	3eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 − 𝑦)) = (ℑ‘𝑥))
33	32	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) = (abs‘(ℑ‘𝑥)))
34		absimle 15328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
35	25, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
36	33, 35	eqbrtrrd 5143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
37	24, 26, 36	lensymd 11386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
38	22, 37	eqnbrtrd 5137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))))
40	39	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
42	41	impr 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
43	16, 42	eldifd 3937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
44	43	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
45	15, 44	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
46	45	ssrdv 3964	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
47		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))))
48	47	sseq1d 3990	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
49	48	rspcev 3601	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
50	10, 46, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
51	50	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)
52		recld2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
53	52	cnfldtopn 24720	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	53	elmopn2 24384	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))))
55	11, 54	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
56	1, 51, 55	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽
57	52	cnfldtop 24722	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Top
58		ax-resscn 11186	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
59	53	mopnuni 24380	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ℂ = ∪ 𝐽)
60	11, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
61	60	iscld2 22966	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽))
62	57, 58, 61	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽)
63	56, 62	mpbir 231	1 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ∪ cuni 4883   class class class wbr 5119   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℝ⁺crp 13008  ℑcim 15117  abscabs 15253  TopOpenctopn 17435  ∞Metcxmet 21300  ballcbl 21302  ℂ_fldccnfld 21315  Topctop 22831  Clsdccld 22954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-rest 17436  df-topn 17437  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-xms 24259  df-ms 24260

This theorem is referenced by:  zcld2  24755  rellycmp  24907  recmet  25275  ishl2  25322  recms  25332  logdmopn  26610  dvasin  37728  dvacos  37729  dvreasin  37730  dvreacos  37731