Theorem recld2 23528

Description: The real numbers are a closed set in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
recld2	⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem recld2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4039	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ
2		eldifi 4034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	imcld 14615	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	recnd 10720	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
5		eldifn 4035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
6		reim0b 14539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
8	7	necon3bbid 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
9	5, 8	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
10	4, 9	absrpcld 14869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
11		cnxmet 23487	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
12	4	abscld 14857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 10742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*)
14		elbl 23103	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
15	11, 2, 13, 14	mp3an2i 1463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
16		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	2	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
18		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	18	recnd 10720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
20		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
21	20	cnmetdval 23485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
22	17, 19, 21	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
23	4	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
24	23	abscld 14857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
25	17, 19	subcld 11048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
26	25	abscld 14857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
27	17, 19	imsubd 14637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 − 𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)))
28		reim0 14538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ℑ‘𝑦) = 0)
29	28	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
30	29	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − 0))
31	23	subid1d 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − 0) = (ℑ‘𝑥))
32	27, 30, 31	3eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 − 𝑦)) = (ℑ‘𝑥))
33	32	fveq2d 6667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) = (abs‘(ℑ‘𝑥)))
34		absimle 14730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
35	25, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
36	33, 35	eqbrtrrd 5060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
37	24, 26, 36	lensymd 10842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
38	22, 37	eqnbrtrd 5054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
39	38	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))))
40	39	con2d 136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
42	41	impr 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
43	16, 42	eldifd 3871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
44	43	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
45	15, 44	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
46	45	ssrdv 3900	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
47		oveq2 7164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))))
48	47	sseq1d 3925	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
49	48	rspcev 3543	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
50	10, 46, 49	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
51	50	rgen 3080	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)
52		recld2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
53	52	cnfldtopn 23496	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	53	elmopn2 23160	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))))
55	11, 54	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
56	1, 51, 55	mpbir2an 710	. 2 ⊢ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽
57	52	cnfldtop 23498	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Top
58		ax-resscn 10645	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
59	53	mopnuni 23156	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ℂ = ∪ 𝐽)
60	11, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
61	60	iscld2 21741	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽))
62	57, 58, 61	mp2an 691	. 2 ⊢ (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽)
63	56, 62	mpbir 234	1 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  ∪ cuni 4801   class class class wbr 5036   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  ℝ^*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727   − cmin 10921  ℝ⁺crp 12443  ℑcim 14518  abscabs 14654  TopOpenctopn 16766  ∞Metcxmet 20164  ballcbl 20166  ℂ_fldccnfld 20179  Topctop 21606  Clsdccld 21729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-rest 16767  df-topn 16768  df-topgen 16788  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-xms 23035  df-ms 23036

This theorem is referenced by:  zcld2  23529  rellycmp  23671  recmet  24036  ishl2  24083  recms  24093  logdmopn  25352  dvasin  35455  dvacos  35456  dvreasin  35457  dvreacos  35458