Theorem recld2 24759

Description: The real numbers are a closed set in the topology on ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
recld2	⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Proof of Theorem recld2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4088	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ
2		eldifi 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	imcld 15118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
5		eldifn 4084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
6		reim0b 15042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
8	7	necon3bbid 2969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
9	5, 8	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
10	4, 9	absrpcld 15374	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+)
11		cnxmet 24716	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
12	4	abscld 15362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*)
14		elbl 24332	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
15	11, 2, 13, 14	mp3an2i 1468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))))
16		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	18	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
20		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
21	20	cnmetdval 24714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
22	17, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
23	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
24	23	abscld 15362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
25	17, 19	subcld 11492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
26	25	abscld 15362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
27	17, 19	imsubd 15140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 − 𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)))
28		reim0 15041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (ℑ‘𝑦) = 0)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑦) = 0)
30	29	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − (ℑ‘𝑦)) = ((ℑ‘𝑥) − 0))
31	23	subid1d 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) − 0) = (ℑ‘𝑥))
32	27, 30, 31	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 − 𝑦)) = (ℑ‘𝑥))
33	32	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) = (abs‘(ℑ‘𝑥)))
34		absimle 15232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
35	25, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘(𝑥 − 𝑦))) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
36	33, 35	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
37	24, 26, 36	lensymd 11284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
38	22, 37	eqnbrtrd 5116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → ¬ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))))
40	39	con2d 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ))
42	41	impr 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
43	16, 42	eldifd 3912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥)))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
44	43	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) < (abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
45	15, 44	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ ℝ)))
46	45	ssrdv 3939	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
47		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) = (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))))
48	47	sseq1d 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (abs‘(ℑ‘𝑥)) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
49	48	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))(abs‘(ℑ‘𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
50	10, 46, 49	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))
51	50	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)
52		recld2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
53	52	cnfldtopn 24725	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	53	elmopn2 24389	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ))))
55	11, 54	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽 ↔ ((ℂ ∖ ℝ) ⊆ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ ℝ)∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ⊆ (ℂ ∖ ℝ)))
56	1, 51, 55	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽
57	52	cnfldtop 24727	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Top
58		ax-resscn 11083	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
59	53	mopnuni 24385	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → ℂ = ∪ 𝐽)
60	11, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
61	60	iscld2 22972	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽))
62	57, 58, 61	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (ℂ ∖ ℝ) ∈ 𝐽)
63	56, 62	mpbir 231	1 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℝ⁺crp 12905  ℑcim 15021  abscabs 15157  TopOpenctopn 17341  ∞Metcxmet 21294  ballcbl 21296  ℂ_fldccnfld 21309  Topctop 22837  Clsdccld 22960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-rest 17342  df-topn 17343  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-xms 24264  df-ms 24265

This theorem is referenced by:  zcld2  24760  rellycmp  24912  recmet  25279  ishl2  25326  recms  25336  logdmopn  26614  dvasin  37901  dvacos  37902  dvreasin  37903  dvreacos  37904