Theorem aaliou3lem9 26589

Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem9	⊢ ¬ 𝐿 ∈ 𝔸

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎, 𝑏, 𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem9

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem8 26584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
2		aaliou3lem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
3		aaliou3lem.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
4		aaliou3lem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
5	2, 3, 4	aaliou3lem6 26587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
6	5	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
7		2nn 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nnnn0 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → 𝑒 ∈ ℕ0)
9	8	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
10		faccl 14350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ0 → (!‘𝑒) ∈ ℕ)
11		nnnn0 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑒) ∈ ℕ → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 14141	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑒) ∈ ℕ0) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
14	7, 12, 13	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
15	2, 3, 4	aaliou3lem5 26586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑒) ∈ ℝ)
16	15	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ∈ ℂ)
18	14	nncnd 12276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℂ)
19	14	nnne0d 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ≠ 0)
20	17, 18, 19	divcan4d 12024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) = (𝐻‘𝑒))
21	2, 3, 4	aaliou3lem7 26588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1))))))
22	21	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿)
23	22	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿)
24	20, 23	eqnetrd 3022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ≠ 𝐿)
25	24	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝐿 ≠ (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
26	25	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
27	2, 3, 4	aaliou3lem4 26585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ∈ ℝ
28	14	nnred 12275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℝ)
29	16, 28	remulcld 11266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
30	29, 14	nndivred 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
31		resubcl 11549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
32	27, 30, 31	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℂ)
34	33	abscld 15529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ∈ ℝ)
35		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
36		nnnn0 12538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
38	14, 37	nnexpcld 14312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℕ)
39	38	nnrpd 13087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℝ+)
40	35, 39	rpdivcld 13106	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ+)
41	40	rpred 13089	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ)
42		2rp 13050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
43		peano2nn0 12571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ0 → (𝑒 + 1) ∈ ℕ0)
44		faccl 14350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
45	9, 43, 44	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
46		nnz 12639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
47		znegcl 12656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
48	45, 46, 47	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
49		rpexpcl 14147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
50	42, 48, 49	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
51		rpmulcl 13070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
52	42, 50, 51	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 13089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ)
54	20	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) = (𝐿 − (𝐻‘𝑒)))
55	54	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) = (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))))
56	21	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
57	56	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
58	55, 57	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
59		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
60	34, 53, 41, 58, 59	letrd 11394	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
61	34, 41, 60	lensymd 11388	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
62		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝑓 / 𝑑) = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))
63	62	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
64	63	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
65	62	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 − (𝑓 / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
66	65	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))
67	66	breq2d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
68	67	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
69	64, 68	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))))
70		oveq2 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
71	70	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
72	71	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
73		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑑↑𝑎) = ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎))
74	73	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) = (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
75	70	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
76	75	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
77	74, 76	breq12d 5116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
78	77	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
79	72, 78	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))))
80	69, 79	rspc2ev 3589	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ ∧ (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ ∧ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
81	6, 14, 26, 61, 80	syl112anc 1401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
82	1, 81	rexlimddv 3169	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
83		pm4.56 1004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
84	83	rexbii 3109	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
85		rexnal 3114	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
86	84, 85	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
87	86	rexbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
88		rexnal 3114	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
89	87, 88	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
90	82, 89	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
91	90	nrexdv 3157	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ¬ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
92	91	nrex 3090	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))))
93		aaliou2b 26580	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ 𝔸 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
94	92, 93	mto 200	1 ⊢ ¬ 𝐿 ∈ 𝔸

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℝ⁺crp 13045  ...cfz 13564  ↑cexp 14128  !cfa 14340  abscabs 15324  Σcsu 15776  𝔸caa 26549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ioc 13406  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-fac 14341  df-hash 14398  df-shft 15143  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-limsup 15561  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-fbas 21585  df-fg 21586  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-ntr 23248  df-cls 23249  df-nei 23326  df-lp 23364  df-perf 23365  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-haus 23543  df-cmp 23615  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-fil 24075  df-fm 24167  df-flim 24168  df-flf 24169  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-cncf 25109  df-0p 25901  df-limc 26096  df-dv 26097  df-dvn 26098  df-cpn 26099  df-ply 26416  df-idp 26417  df-coe 26418  df-dgr 26419  df-quot 26524  df-aa 26550

This theorem is used by:  aaliou3  26590