MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem9 24410
Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem9 ¬ 𝐿 ∈ 𝔸
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem9
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem8 24405 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
2 aaliou3lem.c . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
3 aaliou3lem.d . . . . . . . . 9 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
4 aaliou3lem.e . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
52, 3, 4aaliou3lem6 24408 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
65ad2antrl 719 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
7 2nn 11349 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
8 nnnn0 11550 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ℕ → 𝑒 ∈ ℕ0)
98ad2antrl 719 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
10 faccl 13279 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ℕ0 → (!‘𝑒) ∈ ℕ)
11 nnnn0 11550 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑒) ∈ ℕ → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
13 nnexpcl 13085 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑒) ∈ ℕ0) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
147, 12, 13sylancr 581 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
152, 3, 4aaliou3lem5 24407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻𝑒) ∈ ℝ)
1615ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻𝑒) ∈ ℝ)
1716recnd 10326 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻𝑒) ∈ ℂ)
1814nncnd 11296 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℂ)
1914nnne0d 11326 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ≠ 0)
2017, 18, 19divcan4d 11065 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) = (𝐻𝑒))
212, 3, 4aaliou3lem7 24409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻𝑒) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1))))))
2221simpld 488 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻𝑒) ≠ 𝐿)
2322ad2antrl 719 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻𝑒) ≠ 𝐿)
2420, 23eqnetrd 3004 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ≠ 𝐿)
2524necomd 2992 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝐿 ≠ (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
2625neneqd 2942 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
272, 3, 4aaliou3lem4 24406 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 ∈ ℝ
2814nnred 11295 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℝ)
2916, 28remulcld 10328 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
3029, 14nndivred 11330 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
31 resubcl 10603 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
3227, 30, 31sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
3332recnd 10326 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℂ)
3433abscld 14474 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ∈ ℝ)
35 2rp 12038 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
36 peano2nn0 11584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℕ0 → (𝑒 + 1) ∈ ℕ0)
37 faccl 13279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
389, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
39 nnz 11651 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
40 znegcl 11664 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
42 rpexpcl 13091 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
4335, 41, 42sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
44 rpmulcl 12058 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
4535, 43, 44sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
4645rpred 12075 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ)
47 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
48 nnnn0 11550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
4948ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
5014, 49nnexpcld 13242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℕ)
5150nnrpd 12073 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℝ+)
5247, 51rpdivcld 12092 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ+)
5352rpred 12075 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ)
5420oveq2d 6862 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) = (𝐿 − (𝐻𝑒)))
5554fveq2d 6383 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) = (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))))
5621simprd 489 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℕ → (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
5756ad2antrl 719 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
5855, 57eqbrtrd 4833 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
59 simprr 789 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
6034, 46, 53, 58, 59letrd 10452 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
6134, 53lenltd 10441 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ↔ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
6260, 61mpbid 223 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
63 oveq1 6853 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝑓 / 𝑑) = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))
6463eqeq2d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
6564notbid 309 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
6663oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 − (𝑓 / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
6766fveq2d 6383 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))
6867breq2d 4823 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
6968notbid 309 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
7065, 69anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))))
71 oveq2 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
7271eqeq2d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
7372notbid 309 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
74 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑑𝑎) = ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎))
7574oveq2d 6862 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑏 / (𝑑𝑎)) = (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
7671oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
7776fveq2d 6383 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
7875, 77breq12d 4824 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
7978notbid 309 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
8073, 79anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))))
8170, 80rspc2ev 3477 . . . . . . 7 ((((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ ∧ (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ ∧ (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
826, 14, 26, 62, 81syl112anc 1493 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
831, 82rexlimddv 3182 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
84 pm4.56 1011 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
8584rexbii 3188 . . . . . . . 8 (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
86 rexnal 3141 . . . . . . . 8 (∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
8785, 86bitri 266 . . . . . . 7 (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
8887rexbii 3188 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
89 rexnal 3141 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9088, 89bitri 266 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9183, 90sylib 209 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9291nrexdv 3147 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ → ¬ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9392nrex 3146 . 2 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))))
94 aaliou2b 24401 . 2 (𝐿 ∈ 𝔸 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9593, 94mto 188 1 ¬ 𝐿 ∈ 𝔸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6846  cr 10192  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524  -cneg 10525   / cdiv 10942  cn 11278  2c2 11331  0cn0 11542  cz 11628  +crp 12033  ...cfz 12538  cexp 13072  !cfa 13269  abscabs 14273  Σcsu 14715  𝔸caa 24374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-xnn0 11615  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-seq 13014  df-exp 13073  df-fac 13270  df-hash 13327  df-shft 14106  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-mulg 17822  df-subg 17869  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-ring 18830  df-cring 18831  df-subrg 19061  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-perf 21235  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-haus 21413  df-cmp 21484  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cncf 22974  df-0p 23742  df-limc 23935  df-dv 23936  df-dvn 23937  df-cpn 23938  df-ply 24249  df-idp 24250  df-coe 24251  df-dgr 24252  df-quot 24351  df-aa 24375
This theorem is referenced by:  aaliou3  24411
  Copyright terms: Public domain W3C validator