MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem9 26099
Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
aaliou3lem.d ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
aaliou3lem.e ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem9 ยฌ ๐ฟ โˆˆ ๐”ธ
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘   ๐น,๐‘,๐‘   ๐ฟ,๐‘,๐‘Ž,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘Ž)   ๐ป(๐‘Ž,๐‘,๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem9
Dummy variables ๐‘‘ ๐‘’ ๐‘“ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem8 26094 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))
2 aaliou3lem.c . . . . . . . . 9 ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
3 aaliou3lem.d . . . . . . . . 9 ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
4 aaliou3lem.e . . . . . . . . 9 ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
52, 3, 4aaliou3lem6 26097 . . . . . . . 8 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„ค)
65ad2antrl 724 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„ค)
7 2nn 12289 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
8 nnnn0 12483 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„•0)
98ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„•0)
10 faccl 14247 . . . . . . . . 9 (๐‘’ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘’) โˆˆ โ„•)
11 nnnn0 12483 . . . . . . . . 9 ((!โ€˜๐‘’) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘’) โˆˆ โ„•0)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (!โ€˜๐‘’) โˆˆ โ„•0)
13 nnexpcl 14044 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘’) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โˆˆ โ„•)
147, 12, 13sylancr 585 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โˆˆ โ„•)
152, 3, 4aaliou3lem5 26096 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐‘’) โˆˆ โ„)
1615ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘’) โˆˆ โ„)
1716recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘’) โˆˆ โ„‚)
1814nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โˆˆ โ„‚)
1914nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ‰  0)
2017, 18, 19divcan4d 12000 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) = (๐ปโ€˜๐‘’))
212, 3, 4aaliou3lem7 26098 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘’) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘’))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1))))))
2221simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐‘’) โ‰  ๐ฟ)
2322ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘’) โ‰  ๐ฟ)
2420, 23eqnetrd 3006 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ‰  ๐ฟ)
2524necomd 2994 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ๐ฟ โ‰  (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))
2625neneqd 2943 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))
272, 3, 4aaliou3lem4 26095 . . . . . . . . . . 11 ๐ฟ โˆˆ โ„
2814nnred 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โˆˆ โ„)
2916, 28remulcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„)
3029, 14nndivred 12270 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„)
31 resubcl 11528 . . . . . . . . . . 11 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))) โˆˆ โ„)
3227, 30, 31sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))) โˆˆ โ„)
3332recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))) โˆˆ โ„‚)
3433abscld 15387 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))) โˆˆ โ„)
35 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
36 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•0)
3736ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•0)
3814, 37nnexpcld 14212 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„•)
3938nnrpd 13018 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„+)
4035, 39rpdivcld 13037 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) โˆˆ โ„+)
4140rpred 13020 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) โˆˆ โ„)
42 2rp 12983 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
43 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘’ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘’ + 1) โˆˆ โ„•0)
44 faccl 14247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘’ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„•)
459, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„•)
46 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . 13 ((!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„ค)
47 znegcl 12601 . . . . . . . . . . . . 13 ((!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„ค โ†’ -(!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„ค)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ -(!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„ค)
49 rpexpcl 14050 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1))) โˆˆ โ„+)
5042, 48, 49sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1))) โˆˆ โ„+)
51 rpmulcl 13001 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1))) โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โˆˆ โ„+)
5242, 50, 51sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โˆˆ โ„+)
5352rpred 13020 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โˆˆ โ„)
5420oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))) = (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘’)))
5554fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))) = (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘’))))
5621simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘’))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))))
5756ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘’))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))))
5855, 57eqbrtrd 5169 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))))
59 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))
6034, 53, 41, 58, 59letrd 11375 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))
6134, 41, 60lensymd 11369 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ยฌ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))))
62 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘“ / ๐‘‘) = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))
6362eqeq2d 2741 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โ†” ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))
6463notbid 317 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โ†” ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))
6562oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)) = (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))
6665fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘))) = (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))))
6766breq2d 5159 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘))) โ†” (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))))
6867notbid 317 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘))) โ†” ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))))
6964, 68anbi12d 629 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ ((ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” (ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))))))
70 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘) = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))
7170eqeq2d 2741 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘) โ†” ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))))
7271notbid 317 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘) โ†” ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))))
73 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (๐‘‘โ†‘๐‘Ž) = ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž))
7473oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) = (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))
7570oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)) = (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))))
7675fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))) = (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))))
7774, 76breq12d 5160 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ ((๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))) โ†” (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))))))
7877notbid 317 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))) โ†” ยฌ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))))))
7972, 78anbi12d 629 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ ((ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))) โ†” (ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆง ยฌ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))))))
8069, 79rspc2ev 3623 . . . . . . 7 ((((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โˆˆ โ„• โˆง (ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆง ยฌ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))))) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
816, 14, 26, 61, 80syl112anc 1372 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
821, 81rexlimddv 3159 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
83 pm4.56 985 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” ยฌ (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
8483rexbii 3092 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ยฌ (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
85 rexnal 3098 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ยฌ (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
8684, 85bitri 274 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
8786rexbii 3092 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
88 rexnal 3098 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” ยฌ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
8987, 88bitri 274 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” ยฌ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
9082, 89sylib 217 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ยฌ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
9190nrexdv 3147 . . 3 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
9291nrex 3072 . 2 ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘))))
93 aaliou2b 26090 . 2 (๐ฟ โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
9492, 93mto 196 1 ยฌ ๐ฟ โˆˆ ๐”ธ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237  abscabs 15185  ฮฃcsu 15636  ๐”ธcaa 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616  df-dvn 25617  df-cpn 25618  df-ply 25937  df-idp 25938  df-coe 25939  df-dgr 25940  df-quot 26040  df-aa 26064
This theorem is referenced by:  aaliou3  26100
  Copyright terms: Public domain W3C validator