MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem9 24622
Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem9 ¬ 𝐿 ∈ 𝔸
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem9
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem8 24617 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
2 aaliou3lem.c . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
3 aaliou3lem.d . . . . . . . . 9 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
4 aaliou3lem.e . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
52, 3, 4aaliou3lem6 24620 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
65ad2antrl 724 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
7 2nn 11560 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
8 nnnn0 11754 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ℕ → 𝑒 ∈ ℕ0)
98ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
10 faccl 13493 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ℕ0 → (!‘𝑒) ∈ ℕ)
11 nnnn0 11754 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑒) ∈ ℕ → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
13 nnexpcl 13292 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑒) ∈ ℕ0) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
147, 12, 13sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
152, 3, 4aaliou3lem5 24619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻𝑒) ∈ ℝ)
1615ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻𝑒) ∈ ℝ)
1716recnd 10518 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻𝑒) ∈ ℂ)
1814nncnd 11504 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℂ)
1914nnne0d 11537 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ≠ 0)
2017, 18, 19divcan4d 11272 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) = (𝐻𝑒))
212, 3, 4aaliou3lem7 24621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻𝑒) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1))))))
2221simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻𝑒) ≠ 𝐿)
2322ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻𝑒) ≠ 𝐿)
2420, 23eqnetrd 3050 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ≠ 𝐿)
2524necomd 3038 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝐿 ≠ (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
2625neneqd 2988 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
272, 3, 4aaliou3lem4 24618 . . . . . . . . . . 11 𝐿 ∈ ℝ
2814nnred 11503 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℝ)
2916, 28remulcld 10520 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
3029, 14nndivred 11541 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
31 resubcl 10800 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
3227, 30, 31sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
3332recnd 10518 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℂ)
3433abscld 14630 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ∈ ℝ)
35 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
36 nnnn0 11754 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
3736ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
3814, 37nnexpcld 13456 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℕ)
3938nnrpd 12279 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℝ+)
4035, 39rpdivcld 12298 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ+)
4140rpred 12281 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ)
42 2rp 12244 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
43 peano2nn0 11787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℕ0 → (𝑒 + 1) ∈ ℕ0)
44 faccl 13493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
459, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
46 nnz 11854 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
47 znegcl 11867 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
49 rpexpcl 13298 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
5042, 48, 49sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
51 rpmulcl 12262 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
5242, 50, 51sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
5352rpred 12281 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ)
5420oveq2d 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) = (𝐿 − (𝐻𝑒)))
5554fveq2d 6545 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) = (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))))
5621simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℕ → (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
5756ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
5855, 57eqbrtrd 4986 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
59 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
6034, 53, 41, 58, 59letrd 10646 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
6134, 41, 60lensymd 10640 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
62 oveq1 7026 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝑓 / 𝑑) = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))
6362eqeq2d 2804 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
6463notbid 319 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
6562oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 − (𝑓 / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
6665fveq2d 6545 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))
6766breq2d 4976 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
6867notbid 319 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
6964, 68anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))))
70 oveq2 7027 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
7170eqeq2d 2804 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
7271notbid 319 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
73 oveq1 7026 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑑𝑎) = ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎))
7473oveq2d 7035 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑏 / (𝑑𝑎)) = (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
7570oveq2d 7035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
7675fveq2d 6545 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
7774, 76breq12d 4977 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
7877notbid 319 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
7972, 78anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))))
8069, 79rspc2ev 3572 . . . . . . 7 ((((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ ∧ (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ ∧ (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
816, 14, 26, 61, 80syl112anc 1367 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
821, 81rexlimddv 3253 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
83 pm4.56 983 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
8483rexbii 3210 . . . . . . . 8 (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
85 rexnal 3201 . . . . . . . 8 (∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
8684, 85bitri 276 . . . . . . 7 (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
8786rexbii 3210 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
88 rexnal 3201 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
8987, 88bitri 276 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9082, 89sylib 219 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9190nrexdv 3232 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ → ¬ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9291nrex 3231 . 2 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))))
93 aaliou2b 24613 . 2 (𝐿 ∈ 𝔸 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9492, 93mto 198 1 ¬ 𝐿 ∈ 𝔸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2080  wne 2983  wral 3104  wrex 3105   class class class wbr 4964  cmpt 5043  cfv 6228  (class class class)co 7019  cr 10385  1c1 10387   + caddc 10389   · cmul 10391   < clt 10524  cle 10525  cmin 10719  -cneg 10720   / cdiv 11147  cn 11488  2c2 11542  0cn0 11747  cz 11831  +crp 12239  ...cfz 12742  cexp 13279  !cfa 13483  abscabs 14427  Σcsu 14876  𝔸caa 24586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464  ax-addf 10465  ax-mulf 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-pm 8262  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-fi 8724  df-sup 8755  df-inf 8756  df-oi 8823  df-dju 9179  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-xnn0 11818  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-subrg 19223  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-cmp 21679  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-0p 23954  df-limc 24147  df-dv 24148  df-dvn 24149  df-cpn 24150  df-ply 24461  df-idp 24462  df-coe 24463  df-dgr 24464  df-quot 24563  df-aa 24587
This theorem is referenced by:  aaliou3  24623
  Copyright terms: Public domain W3C validator