MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem9 25863
Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
aaliou3lem.d ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
aaliou3lem.e ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem9 ยฌ ๐ฟ โˆˆ ๐”ธ
Distinct variable groups:   ๐‘Ž,๐‘,๐‘   ๐น,๐‘,๐‘   ๐ฟ,๐‘,๐‘Ž,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘Ž)   ๐ป(๐‘Ž,๐‘,๐‘)

Proof of Theorem aaliou3lem9
Dummy variables ๐‘‘ ๐‘’ ๐‘“ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem8 25858 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘’ โˆˆ โ„• (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))
2 aaliou3lem.c . . . . . . . . 9 ๐น = (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†ฆ (2โ†‘-(!โ€˜๐‘Ž)))
3 aaliou3lem.d . . . . . . . . 9 ๐ฟ = ฮฃ๐‘ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘)
4 aaliou3lem.e . . . . . . . . 9 ๐ป = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(๐นโ€˜๐‘))
52, 3, 4aaliou3lem6 25861 . . . . . . . 8 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„ค)
65ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„ค)
7 2nn 12285 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
8 nnnn0 12479 . . . . . . . . . 10 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„•0)
98ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„•0)
10 faccl 14243 . . . . . . . . 9 (๐‘’ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘’) โˆˆ โ„•)
11 nnnn0 12479 . . . . . . . . 9 ((!โ€˜๐‘’) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘’) โˆˆ โ„•0)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (!โ€˜๐‘’) โˆˆ โ„•0)
13 nnexpcl 14040 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘’) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โˆˆ โ„•)
147, 12, 13sylancr 588 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โˆˆ โ„•)
152, 3, 4aaliou3lem5 25860 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐‘’) โˆˆ โ„)
1615ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘’) โˆˆ โ„)
1716recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘’) โˆˆ โ„‚)
1814nncnd 12228 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โˆˆ โ„‚)
1914nnne0d 12262 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ‰  0)
2017, 18, 19divcan4d 11996 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) = (๐ปโ€˜๐‘’))
212, 3, 4aaliou3lem7 25862 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘’) โ‰  ๐ฟ โˆง (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘’))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1))))))
2221simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐‘’) โ‰  ๐ฟ)
2322ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘’) โ‰  ๐ฟ)
2420, 23eqnetrd 3009 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ‰  ๐ฟ)
2524necomd 2997 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ๐ฟ โ‰  (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))
2625neneqd 2946 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))
272, 3, 4aaliou3lem4 25859 . . . . . . . . . . 11 ๐ฟ โˆˆ โ„
2814nnred 12227 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โˆˆ โ„)
2916, 28remulcld 11244 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„)
3029, 14nndivred 12266 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„)
31 resubcl 11524 . . . . . . . . . . 11 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))) โˆˆ โ„)
3227, 30, 31sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))) โˆˆ โ„)
3332recnd 11242 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))) โˆˆ โ„‚)
3433abscld 15383 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))) โˆˆ โ„)
35 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
36 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•0)
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•0)
3814, 37nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„•)
3938nnrpd 13014 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž) โˆˆ โ„+)
4035, 39rpdivcld 13033 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) โˆˆ โ„+)
4140rpred 13016 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) โˆˆ โ„)
42 2rp 12979 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
43 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘’ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘’ + 1) โˆˆ โ„•0)
44 faccl 14243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘’ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„•)
459, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„•)
46 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . 13 ((!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„ค)
47 znegcl 12597 . . . . . . . . . . . . 13 ((!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„ค โ†’ -(!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„ค)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ -(!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„ค)
49 rpexpcl 14046 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง -(!โ€˜(๐‘’ + 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1))) โˆˆ โ„+)
5042, 48, 49sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1))) โˆˆ โ„+)
51 rpmulcl 12997 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1))) โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โˆˆ โ„+)
5242, 50, 51sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โˆˆ โ„+)
5352rpred 13016 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โˆˆ โ„)
5420oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))) = (๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘’)))
5554fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))) = (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘’))))
5621simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ โˆˆ โ„• โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘’))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))))
5756ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐ปโ€˜๐‘’))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))))
5855, 57eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))) โ‰ค (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))))
59 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))
6034, 53, 41, 58, 59letrd 11371 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))
6134, 41, 60lensymd 11365 . . . . . . 7 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ ยฌ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))))
62 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘“ / ๐‘‘) = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))
6362eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โ†” ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))
6463notbid 318 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โ†” ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))
6562oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)) = (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))
6665fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘))) = (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))))
6766breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘))) โ†” (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))))
6867notbid 318 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ (ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘))) โ†” ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))))
6964, 68anbi12d 632 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โ†’ ((ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” (ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))))))
70 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘) = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))
7170eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘) โ†” ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))))
7271notbid 318 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘) โ†” ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))))
73 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (๐‘‘โ†‘๐‘Ž) = ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž))
7473oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) = (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))
7570oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)) = (๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))))
7675fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))) = (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))))
7774, 76breq12d 5162 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ ((๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))) โ†” (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))))))
7877notbid 318 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ (ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘))) โ†” ยฌ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)))))))
7972, 78anbi12d 632 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โ†’ ((ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / ๐‘‘)))) โ†” (ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆง ยฌ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))))))
8069, 79rspc2ev 3625 . . . . . . 7 ((((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆˆ โ„ค โˆง (2โ†‘(!โ€˜๐‘’)) โˆˆ โ„• โˆง (ยฌ ๐ฟ = (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) โˆง ยฌ (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (((๐ปโ€˜๐‘’) ยท (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))) / (2โ†‘(!โ€˜๐‘’))))))) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
816, 14, 26, 61, 80syl112anc 1375 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘’ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท (2โ†‘-(!โ€˜(๐‘’ + 1)))) โ‰ค (๐‘ / ((2โ†‘(!โ€˜๐‘’))โ†‘๐‘Ž)))) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
821, 81rexlimddv 3162 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
83 pm4.56 988 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” ยฌ (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
8483rexbii 3095 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ยฌ (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
85 rexnal 3101 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ยฌ (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
8684, 85bitri 275 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
8786rexbii 3095 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
88 rexnal 3101 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค ยฌ โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” ยฌ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
8987, 88bitri 275 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (ยฌ ๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆง ยฌ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))) โ†” ยฌ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
9082, 89sylib 217 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ยฌ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
9190nrexdv 3150 . . 3 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
9291nrex 3075 . 2 ยฌ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘))))
93 aaliou2b 25854 . 2 (๐ฟ โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐ฟ = (๐‘“ / ๐‘‘) โˆจ (๐‘ / (๐‘‘โ†‘๐‘Ž)) < (absโ€˜(๐ฟ โˆ’ (๐‘“ / ๐‘‘)))))
9492, 93mto 196 1 ยฌ ๐ฟ โˆˆ ๐”ธ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233  abscabs 15181  ฮฃcsu 15632  ๐”ธcaa 25827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-dvn 25385  df-cpn 25386  df-ply 25702  df-idp 25703  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-quot 25804  df-aa 25828
This theorem is referenced by:  aaliou3  25864
  Copyright terms: Public domain W3C validator