Theorem aaliou3lem9 25415

Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem9	⊢ ¬ 𝐿 ∈ 𝔸

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem9

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem8 25410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
2		aaliou3lem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
3		aaliou3lem.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
4		aaliou3lem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
5	2, 3, 4	aaliou3lem6 25413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
6	5	ad2antrl 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
7		2nn 11976	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nnnn0 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → 𝑒 ∈ ℕ0)
9	8	ad2antrl 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
10		faccl 13925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ0 → (!‘𝑒) ∈ ℕ)
11		nnnn0 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑒) ∈ ℕ → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 13723	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑒) ∈ ℕ0) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
14	7, 12, 13	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
15	2, 3, 4	aaliou3lem5 25412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑒) ∈ ℝ)
16	15	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ∈ ℝ)
17	16	recnd 10934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ∈ ℂ)
18	14	nncnd 11919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℂ)
19	14	nnne0d 11953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ≠ 0)
20	17, 18, 19	divcan4d 11687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) = (𝐻‘𝑒))
21	2, 3, 4	aaliou3lem7 25414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1))))))
22	21	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿)
23	22	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿)
24	20, 23	eqnetrd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ≠ 𝐿)
25	24	necomd 2998	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝐿 ≠ (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
26	25	neneqd 2947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
27	2, 3, 4	aaliou3lem4 25411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ∈ ℝ
28	14	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℝ)
29	16, 28	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
30	29, 14	nndivred 11957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
31		resubcl 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
32	27, 30, 31	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℂ)
34	33	abscld 15076	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ∈ ℝ)
35		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
36		nnnn0 12170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
37	36	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
38	14, 37	nnexpcld 13888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℕ)
39	38	nnrpd 12699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℝ+)
40	35, 39	rpdivcld 12718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ+)
41	40	rpred 12701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ)
42		2rp 12664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
43		peano2nn0 12203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ0 → (𝑒 + 1) ∈ ℕ0)
44		faccl 13925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
45	9, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
46		nnz 12272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
47		znegcl 12285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
49		rpexpcl 13729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
50	42, 48, 49	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
51		rpmulcl 12682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
52	42, 50, 51	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ)
54	20	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) = (𝐿 − (𝐻‘𝑒)))
55	54	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) = (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))))
56	21	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
57	56	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
58	55, 57	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
59		simprr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
60	34, 53, 41, 58, 59	letrd 11062	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
61	34, 41, 60	lensymd 11056	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
62		oveq1 7262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝑓 / 𝑑) = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))
63	62	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
64	63	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
65	62	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 − (𝑓 / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
66	65	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))
67	66	breq2d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
68	67	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
69	64, 68	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))))
70		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
71	70	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
72	71	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
73		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑑↑𝑎) = ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎))
74	73	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) = (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
75	70	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
76	75	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
77	74, 76	breq12d 5083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
78	77	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
79	72, 78	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))))
80	69, 79	rspc2ev 3564	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ ∧ (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ ∧ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
81	6, 14, 26, 61, 80	syl112anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
82	1, 81	rexlimddv 3219	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
83		pm4.56 985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
84	83	rexbii 3177	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
85		rexnal 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
86	84, 85	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
87	86	rexbii 3177	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
88		rexnal 3165	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
89	87, 88	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
90	82, 89	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
91	90	nrexdv 3197	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ¬ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
92	91	nrex 3196	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))))
93		aaliou2b 25406	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ 𝔸 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
94	92, 93	mto 196	1 ⊢ ¬ 𝐿 ∈ 𝔸

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  ...cfz 13168  ↑cexp 13710  !cfa 13915  abscabs 14873  Σcsu 15325  𝔸caa 25379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-0p 24739  df-limc 24935  df-dv 24936  df-dvn 24937  df-cpn 24938  df-ply 25254  df-idp 25255  df-coe 25256  df-dgr 25257  df-quot 25356  df-aa 25380

This theorem is referenced by:  aaliou3  25416