Theorem aaliou3lem9 26334

Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem9	⊢ ¬ 𝐿 ∈ 𝔸

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem9

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem8 26329	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
2		aaliou3lem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
3		aaliou3lem.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
4		aaliou3lem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
5	2, 3, 4	aaliou3lem6 26332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
6	5	ad2antrl 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
7		2nn 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nnnn0 12435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → 𝑒 ∈ ℕ0)
9	8	ad2antrl 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
10		faccl 14236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ0 → (!‘𝑒) ∈ ℕ)
11		nnnn0 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑒) ∈ ℕ → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 14027	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑒) ∈ ℕ0) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
14	7, 12, 13	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
15	2, 3, 4	aaliou3lem5 26331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑒) ∈ ℝ)
16	15	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ∈ ℂ)
18	14	nncnd 12181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℂ)
19	14	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ≠ 0)
20	17, 18, 19	divcan4d 11928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) = (𝐻‘𝑒))
21	2, 3, 4	aaliou3lem7 26333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1))))))
22	21	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿)
23	22	ad2antrl 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿)
24	20, 23	eqnetrd 3001	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ≠ 𝐿)
25	24	necomd 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝐿 ≠ (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
26	25	neneqd 2939	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
27	2, 3, 4	aaliou3lem4 26330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ∈ ℝ
28	14	nnred 12180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℝ)
29	16, 28	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
30	29, 14	nndivred 12222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
31		resubcl 11449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
32	27, 30, 31	sylancr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℂ)
34	33	abscld 15392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ∈ ℝ)
35		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
36		nnnn0 12435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
37	36	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
38	14, 37	nnexpcld 14198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℕ)
39	38	nnrpd 12975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℝ+)
40	35, 39	rpdivcld 12994	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ+)
41	40	rpred 12977	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ)
42		2rp 12938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
43		peano2nn0 12468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ0 → (𝑒 + 1) ∈ ℕ0)
44		faccl 14236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
45	9, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
46		nnz 12536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
47		znegcl 12553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
49		rpexpcl 14033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
50	42, 48, 49	sylancr 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
51		rpmulcl 12958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
52	42, 50, 51	sylancr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 12977	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ)
54	20	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) = (𝐿 − (𝐻‘𝑒)))
55	54	fveq2d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) = (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))))
56	21	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
57	56	ad2antrl 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
58	55, 57	eqbrtrd 5094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
59		simprr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
60	34, 53, 41, 58, 59	letrd 11294	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
61	34, 41, 60	lensymd 11288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
62		oveq1 7363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝑓 / 𝑑) = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))
63	62	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
64	63	notbid 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
65	62	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 − (𝑓 / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
66	65	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))
67	66	breq2d 5084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
68	67	notbid 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
69	64, 68	anbi12d 638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))))
70		oveq2 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
71	70	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
72	71	notbid 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
73		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑑↑𝑎) = ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎))
74	73	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) = (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
75	70	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
76	75	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
77	74, 76	breq12d 5085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
78	77	notbid 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
79	72, 78	anbi12d 638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))))
80	69, 79	rspc2ev 3573	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ ∧ (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ ∧ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
81	6, 14, 26, 61, 80	syl112anc 1382	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
82	1, 81	rexlimddv 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
83		pm4.56 996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
84	83	rexbii 3086	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
85		rexnal 3091	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
86	84, 85	bitri 276	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
87	86	rexbii 3086	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
88		rexnal 3091	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
89	87, 88	bitri 276	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
90	82, 89	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
91	90	nrexdv 3134	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ¬ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
92	91	nrex 3067	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))))
93		aaliou2b 26325	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ 𝔸 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
94	92, 93	mto 198	1 ⊢ ¬ 𝐿 ∈ 𝔸

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  ...cfz 13452  ↑cexp 14014  !cfa 14226  abscabs 15187  Σcsu 15639  𝔸caa 26298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-cmp 23370  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-0p 25655  df-limc 25851  df-dv 25852  df-dvn 25853  df-cpn 25854  df-ply 26171  df-idp 26172  df-coe 26173  df-dgr 26174  df-quot 26275  df-aa 26299

This theorem is referenced by:  aaliou3  26335