Theorem aaliou3lem9 24622

Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem9	⊢ ¬ 𝐿 ∈ 𝔸

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem9

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem8 24617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
2		aaliou3lem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
3		aaliou3lem.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
4		aaliou3lem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
5	2, 3, 4	aaliou3lem6 24620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
6	5	ad2antrl 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
7		2nn 11560	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nnnn0 11754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → 𝑒 ∈ ℕ0)
9	8	ad2antrl 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
10		faccl 13493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ0 → (!‘𝑒) ∈ ℕ)
11		nnnn0 11754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑒) ∈ ℕ → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 13292	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑒) ∈ ℕ0) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
14	7, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
15	2, 3, 4	aaliou3lem5 24619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑒) ∈ ℝ)
16	15	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ∈ ℝ)
17	16	recnd 10518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ∈ ℂ)
18	14	nncnd 11504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℂ)
19	14	nnne0d 11537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ≠ 0)
20	17, 18, 19	divcan4d 11272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) = (𝐻‘𝑒))
21	2, 3, 4	aaliou3lem7 24621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1))))))
22	21	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿)
23	22	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿)
24	20, 23	eqnetrd 3050	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ≠ 𝐿)
25	24	necomd 3038	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝐿 ≠ (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
26	25	neneqd 2988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
27	2, 3, 4	aaliou3lem4 24618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ∈ ℝ
28	14	nnred 11503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℝ)
29	16, 28	remulcld 10520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
30	29, 14	nndivred 11541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
31		resubcl 10800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
32	27, 30, 31	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 10518	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℂ)
34	33	abscld 14630	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ∈ ℝ)
35		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
36		nnnn0 11754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
37	36	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
38	14, 37	nnexpcld 13456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℕ)
39	38	nnrpd 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℝ+)
40	35, 39	rpdivcld 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ+)
41	40	rpred 12281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ)
42		2rp 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
43		peano2nn0 11787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ0 → (𝑒 + 1) ∈ ℕ0)
44		faccl 13493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
45	9, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
46		nnz 11854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
47		znegcl 11867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
49		rpexpcl 13298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
50	42, 48, 49	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
51		rpmulcl 12262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
52	42, 50, 51	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 12281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ)
54	20	oveq2d 7035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) = (𝐿 − (𝐻‘𝑒)))
55	54	fveq2d 6545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) = (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))))
56	21	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
57	56	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
58	55, 57	eqbrtrd 4986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
59		simprr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
60	34, 53, 41, 58, 59	letrd 10646	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
61	34, 41, 60	lensymd 10640	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
62		oveq1 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝑓 / 𝑑) = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))
63	62	eqeq2d 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
64	63	notbid 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
65	62	oveq2d 7035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 − (𝑓 / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
66	65	fveq2d 6545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))
67	66	breq2d 4976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
68	67	notbid 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
69	64, 68	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))))
70		oveq2 7027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
71	70	eqeq2d 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
72	71	notbid 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
73		oveq1 7026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑑↑𝑎) = ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎))
74	73	oveq2d 7035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) = (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
75	70	oveq2d 7035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
76	75	fveq2d 6545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
77	74, 76	breq12d 4977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
78	77	notbid 319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
79	72, 78	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))))
80	69, 79	rspc2ev 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ ∧ (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ ∧ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
81	6, 14, 26, 61, 80	syl112anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
82	1, 81	rexlimddv 3253	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
83		pm4.56 983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
84	83	rexbii 3210	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
85		rexnal 3201	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
86	84, 85	bitri 276	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
87	86	rexbii 3210	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
88		rexnal 3201	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
89	87, 88	bitri 276	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
90	82, 89	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
91	90	nrexdv 3232	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ¬ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
92	91	nrex 3231	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))))
93		aaliou2b 24613	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ 𝔸 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
94	92, 93	mto 198	1 ⊢ ¬ 𝐿 ∈ 𝔸

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   ≠ wne 2983  ∀wral 3104  ∃wrex 3105   class class class wbr 4964   ↦ cmpt 5043  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  ℝcr 10385  1c1 10387   + caddc 10389   · cmul 10391   < clt 10524   ≤ cle 10525   − cmin 10719  -cneg 10720   / cdiv 11147  ℕcn 11488  2c2 11542  ℕ₀cn0 11747  ℤcz 11831  ℝ⁺crp 12239  ...cfz 12742  ↑cexp 13279  !cfa 13483  abscabs 14427  Σcsu 14876  𝔸caa 24586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464  ax-addf 10465  ax-mulf 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-pm 8262  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-fi 8724  df-sup 8755  df-inf 8756  df-oi 8823  df-dju 9179  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-xnn0 11818  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-subrg 19223  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-cmp 21679  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-0p 23954  df-limc 24147  df-dv 24148  df-dvn 24149  df-cpn 24150  df-ply 24461  df-idp 24462  df-coe 24463  df-dgr 24464  df-quot 24563  df-aa 24587

This theorem is referenced by:  aaliou3  24623