Theorem aaliou3lem9 25710

Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.c	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d	⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
aaliou3lem.e	⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem9	⊢ ¬ 𝐿 ∈ 𝔸

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem9

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aaliou3lem8 25705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
2		aaliou3lem.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
3		aaliou3lem.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹‘𝑏)
4		aaliou3lem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹‘𝑏))
5	2, 3, 4	aaliou3lem6 25708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
6	5	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
7		2nn 12226	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nnnn0 12420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → 𝑒 ∈ ℕ0)
9	8	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
10		faccl 14183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ0 → (!‘𝑒) ∈ ℕ)
11		nnnn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑒) ∈ ℕ → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 13980	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑒) ∈ ℕ0) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
14	7, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
15	2, 3, 4	aaliou3lem5 25707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑒) ∈ ℝ)
16	15	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ∈ ℂ)
18	14	nncnd 12169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℂ)
19	14	nnne0d 12203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ≠ 0)
20	17, 18, 19	divcan4d 11937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) = (𝐻‘𝑒))
21	2, 3, 4	aaliou3lem7 25709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1))))))
22	21	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿)
23	22	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻‘𝑒) ≠ 𝐿)
24	20, 23	eqnetrd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ≠ 𝐿)
25	24	necomd 2999	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝐿 ≠ (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
26	25	neneqd 2948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
27	2, 3, 4	aaliou3lem4 25706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ∈ ℝ
28	14	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℝ)
29	16, 28	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
30	29, 14	nndivred 12207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
31		resubcl 11465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
32	27, 30, 31	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℂ)
34	33	abscld 15321	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ∈ ℝ)
35		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
36		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
37	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
38	14, 37	nnexpcld 14148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℕ)
39	38	nnrpd 12955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℝ+)
40	35, 39	rpdivcld 12974	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ+)
41	40	rpred 12957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ)
42		2rp 12920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ+
43		peano2nn0 12453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ0 → (𝑒 + 1) ∈ ℕ0)
44		faccl 14183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
45	9, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
46		nnz 12520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
47		znegcl 12538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
49		rpexpcl 13986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
50	42, 48, 49	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
51		rpmulcl 12938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
52	42, 50, 51	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 12957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ)
54	20	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) = (𝐿 − (𝐻‘𝑒)))
55	54	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) = (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))))
56	21	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℕ → (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
57	56	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (𝐻‘𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
58	55, 57	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
59		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
60	34, 53, 41, 58, 59	letrd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
61	34, 41, 60	lensymd 11306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
62		oveq1 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝑓 / 𝑑) = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))
63	62	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
64	63	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
65	62	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 − (𝑓 / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
66	65	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))
67	66	breq2d 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
68	67	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
69	64, 68	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))))
70		oveq2 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
71	70	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
72	71	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
73		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑑↑𝑎) = ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎))
74	73	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) = (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
75	70	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
76	75	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
77	74, 76	breq12d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
78	77	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
79	72, 78	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))))
80	69, 79	rspc2ev 3592	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ ∧ (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ ∧ (¬ 𝐿 = (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻‘𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
81	6, 14, 26, 61, 80	syl112anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
82	1, 81	rexlimddv 3158	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
83		pm4.56 987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
84	83	rexbii 3097	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
85		rexnal 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
86	84, 85	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
87	86	rexbii 3097	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
88		rexnal 3103	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
89	87, 88	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
90	82, 89	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
91	90	nrexdv 3146	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ → ¬ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
92	91	nrex 3077	. 2 ⊢ ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))))
93		aaliou2b 25701	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ 𝔸 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
94	92, 93	mto 196	1 ⊢ ¬ 𝐿 ∈ 𝔸

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℝ⁺crp 12915  ...cfz 13424  ↑cexp 13967  !cfa 14173  abscabs 15119  Σcsu 15570  𝔸caa 25674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-dvn 25232  df-cpn 25233  df-ply 25549  df-idp 25550  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-quot 25651  df-aa 25675

This theorem is referenced by:  aaliou3  25711