MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzdisj 13577
Description: The first 𝑁 elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzdisj ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅

Proof of Theorem uzdisj
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4191 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
2 eluzle 12836 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑘)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑘)
4 eluzel2 12828 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 eluzelz 12833 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8 zlem1lt 12615 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
95, 7, 8syl2anc 583 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
103, 9mpbid 231 . . . 4 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁 − 1) < 𝑘)
117zred 12667 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12 peano2zm 12606 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1413zred 12667 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
15 elinel1 4190 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
16 elfzle2 13508 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
1811, 14, 17lensymd 11366 . . . 4 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑘)
1910, 18pm2.21dd 194 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ∅)
2019ssriv 3981 . 2 ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ∅
21 ss0 4393 . 2 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ∅ → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅)
2220, 21ax-mp 5 1 ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3942  wss 3943  c0 4317   class class class wbr 5141  cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110   < clt 11249  cle 11250  cmin 11445  cz 12559  cuz 12823  ...cfz 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488
This theorem is referenced by:  2prm  16634  uniioombllem4  25466  aacllem  48103
  Copyright terms: Public domain W3C validator