Theorem uzdisj 13545

Description: The first 𝑁 elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzdisj	⊢ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅

Proof of Theorem uzdisj

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4143	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
2		eluzle 12795	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑘)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑘)
4		eluzel2 12787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluzelz 12792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		zlem1lt 12573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
9	5, 7, 8	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
10	3, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 − 1) < 𝑘)
11	7	zred 12627	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12		peano2zm 12564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
14	13	zred 12627	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
15		elinel1 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
16		elfzle2 13476	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
18	11, 14, 17	lensymd 11291	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑘)
19	10, 18	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ∅)
20	19	ssriv 3926	. 2 ⊢ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ∅
21		ss0 4343	. 2 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) ⊆ ∅ → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅)
22	20, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1c1 11033   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ...cfz 13455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456

This theorem is referenced by:  2prm  16655  uniioombllem4  25566  aacllem  50291