MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cutmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cutmax 27977
Description: If 𝐴 has a maximum, then the maximum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cutmax.1 (𝜑𝐴 <<s 𝐵)
cutmax.2 (𝜑𝑋𝐴)
cutmax.3 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)
Assertion
Ref Expression
cutmax (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmax
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cutmax.1 . 2 (𝜑𝐴 <<s 𝐵)
2 cutmax.3 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)
3 cutmax.2 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐴)
4 breq2 5173 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤s 𝑥𝑦 ≤s 𝑋))
54rexsng 4698 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥𝑦 ≤s 𝑋))
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥𝑦 ≤s 𝑋))
76ralbidv 3180 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐴𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 ≤s 𝑋))
82, 7mpbird 257 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐴𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥)
9 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
10 ssltss2 27843 . . . . . . 7 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
111, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 No )
1211sselda 4002 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 No )
13 slerflex 27817 . . . . 5 (𝑥 No 𝑥 ≤s 𝑥)
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ≤s 𝑥)
15 breq1 5172 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤s 𝑥𝑥 ≤s 𝑥))
1615rspcev 3631 . . . 4 ((𝑥𝐵𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
179, 14, 16syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
1817ralrimiva 3148 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
19 scutcut 27855 . . . . 5 (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
201, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
2120simp2d 1143 . . 3 (𝜑𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
223snssd 4834 . . 3 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
23 sssslt1 27849 . . 3 ((𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {𝑋} ⊆ 𝐴) → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
2421, 22, 23syl2anc 583 . 2 (𝜑 → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
2520simp3d 1144 . 2 (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
261, 8, 18, 24, 25cofcut1d 27964 1 (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wral 3063  wrex 3072  wss 3970  {csn 4648   class class class wbr 5169  (class class class)co 7445   No csur 27693   ≤s csle 27798   <<s csslt 27834   |s cscut 27836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-ord 6397  df-on 6398  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-1o 8518  df-2o 8519  df-no 27696  df-slt 27697  df-bday 27698  df-sle 27799  df-sslt 27835  df-scut 27837
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator