Theorem cutmax 27905

Description: If 𝐴 has a maximum, then the maximum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutmax.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cutmax.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
cutmax.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cutmax	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmax

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutmax.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cutmax.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)
3		cutmax.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		breq2 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
5	4	rexsng 4631	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
7	6	ralbidv 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋))
8	2, 7	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		ssltss2 27756	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )
11	1, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
12	11	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ No )
13		slerflex 27729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → 𝑥 ≤s 𝑥)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≤s 𝑥)
15		breq1 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑥 ≤s 𝑥))
16	15	rspcev 3574	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
17	9, 14, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
18	17	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
19		scutcut 27769	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
20	1, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
21	20	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
22	3	snssd 4763	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
23		sssslt1 27763	. . 3 ⊢ ((𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {𝑋} ⊆ 𝐴) → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
25	20	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
26	1, 8, 18, 24, 25	cofcut1d 27892	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899  {csn 4578   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356   No csur 27605   ≤s csle 27710   <<s csslt 27747   |s cscut 27749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27608  df-slt 27609  df-bday 27610  df-sle 27711  df-sslt 27748  df-scut 27750

This theorem is referenced by: (None)