Theorem cutmax 27930

Description: If 𝐴 has a maximum, then the maximum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutmax.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cutmax.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
cutmax.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cutmax	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmax

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutmax.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cutmax.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)
3		cutmax.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
5	4	rexsng 4633	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
7	6	ralbidv 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋))
8	2, 7	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		sltsss2 27762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )
11	1, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
12	11	sselda 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ No )
13		lesid 27735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → 𝑥 ≤s 𝑥)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≤s 𝑥)
15		breq1 5101	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑥 ≤s 𝑥))
16	15	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
17	9, 14, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
18	17	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
19		cutcuts 27777	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
20	1, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
21	20	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
22	3	snssd 4765	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
23		ssslts1 27769	. . 3 ⊢ ((𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {𝑋} ⊆ 𝐴) → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
25	20	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
26	1, 8, 18, 24, 25	cofcut1d 27917	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   No csur 27607   ≤s cles 27712   <<s cslts 27753   |s ccuts 27755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-les 27713  df-slts 27754  df-cuts 27756

This theorem is referenced by:  cutminmax  27932