Theorem cutmax 27904

Description: If 𝐴 has a maximum, then the maximum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutmax.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cutmax.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
cutmax.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cutmax	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmax

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutmax.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cutmax.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)
3		cutmax.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		breq2 5127	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
5	4	rexsng 4656	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
7	6	ralbidv 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋))
8	2, 7	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		ssltss2 27770	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )
11	1, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
12	11	sselda 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ No )
13		slerflex 27744	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → 𝑥 ≤s 𝑥)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≤s 𝑥)
15		breq1 5126	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑥 ≤s 𝑥))
16	15	rspcev 3605	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
17	9, 14, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
18	17	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
19		scutcut 27782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
20	1, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
21	20	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
22	3	snssd 4789	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
23		sssslt1 27776	. . 3 ⊢ ((𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {𝑋} ⊆ 𝐴) → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
25	20	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
26	1, 8, 18, 24, 25	cofcut1d 27891	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3931  {csn 4606   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413   No csur 27620   ≤s csle 27725   <<s csslt 27761   |s cscut 27763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1o 8488  df-2o 8489  df-no 27623  df-slt 27624  df-bday 27625  df-sle 27726  df-sslt 27762  df-scut 27764

This theorem is referenced by: (None)