Theorem cutmax 28093

Description: If 𝐴 has a maximum, then the maximum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutmax.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cutmax.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
cutmax.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cutmax	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmax

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutmax.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cutmax.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)
3		cutmax.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		breq2 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
5	4	rexsng 4647	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
6	3, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
7	6	ralbidv 3194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋))
8	2, 7	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥)
9		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		sltsss2 27925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )
11	1, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
12	11	sselda 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ No )
13		lesid 27897	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → 𝑥 ≤s 𝑥)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≤s 𝑥)
15		breq1 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑥 ≤s 𝑥))
16	15	rspcev 3590	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
17	9, 14, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
18	17	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
19		cutcuts 27940	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
20	1, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
21	20	simp2d 1159	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
22	3	snssd 4757	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
23		ssslts1 27932	. . 3 ⊢ ((𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {𝑋} ⊆ 𝐴) → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
24	21, 22, 23	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
25	20	simp3d 1160	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
26	1, 8, 18, 24, 25	cofcut1d 28080	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411   No csur 27770   ≤s cles 27874   <<s cslts 27916   |s ccuts 27918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1o 8453  df-2o 8454  df-no 27773  df-lts 27774  df-bday 27775  df-les 27875  df-slts 27917  df-cuts 27919

This theorem is referenced by:  cutminmax  28095