Theorem cutmax 27994

Description: If 𝐴 has a maximum, then the maximum may be used alone in the cut. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutmax.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cutmax.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
cutmax.3	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cutmax	⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem cutmax

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutmax.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cutmax.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋)
3		cutmax.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		breq2 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
5	4	rexsng 4684	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑦 ≤s 𝑋))
7	6	ralbidv 3178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤s 𝑋))
8	2, 7	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ {𝑋}𝑦 ≤s 𝑥)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10		ssltss2 27860	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )
11	1, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
12	11	sselda 3998	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ No )
13		slerflex 27834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ No → 𝑥 ≤s 𝑥)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≤s 𝑥)
15		breq1 5154	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤s 𝑥 ↔ 𝑥 ≤s 𝑥))
16	15	rspcev 3625	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤s 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
17	9, 14, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
18	17	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤s 𝑥)
19		scutcut 27872	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
20	1, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 |s 𝐵) ∈ No ∧ 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵))
21	20	simp2d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
22	3	snssd 4817	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
23		sssslt1 27866	. . 3 ⊢ ((𝐴 <<s {(𝐴 |s 𝐵)} ∧ {𝑋} ⊆ 𝐴) → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑋} <<s {(𝐴 |s 𝐵)})
25	20	simp3d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 |s 𝐵)} <<s 𝐵)
26	1, 8, 18, 24, 25	cofcut1d 27981	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 |s 𝐵) = ({𝑋} |s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3966  {csn 4634   class class class wbr 5151  (class class class)co 7438   No csur 27710   ≤s csle 27815   <<s csslt 27851   |s cscut 27853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-ord 6395  df-on 6396  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-1o 8514  df-2o 8515  df-no 27713  df-slt 27714  df-bday 27715  df-sle 27816  df-sslt 27852  df-scut 27854

This theorem is referenced by: (None)