MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oldlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldlim 27245
Description: The value of the old set at a limit ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
oldlim ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( O β€˜π΄) = βˆͺ ( O β€œ 𝐴))

Proof of Theorem oldlim
Dummy variables π‘₯ 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
2 limsuc 7789 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴 β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
32ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
41, 3mpbid 231 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ suc 𝑐 ∈ 𝐴)
5 simprr 772 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))
6 limord 6381 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐴 β†’ Ord 𝐴)
7 elex 3465 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ V)
86, 7anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
9 elon2 6332 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
108, 9sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ On)
11 onelon 6346 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝑐 ∈ On)
1210, 1, 11syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ 𝑐 ∈ On)
13 madeoldsuc 27243 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ On β†’ ( M β€˜π‘) = ( O β€˜suc 𝑐))
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ( M β€˜π‘) = ( O β€˜suc 𝑐))
155, 14eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ ( O β€˜suc 𝑐))
16 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (𝑏 = suc 𝑐 β†’ ( O β€˜π‘) = ( O β€˜suc 𝑐))
1716eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑏 = suc 𝑐 β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘) ↔ π‘₯ ∈ ( O β€˜suc 𝑐)))
1817rspcev 3583 . . . . . . 7 ((suc 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜suc 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))
194, 15, 18syl2anc 585 . . . . . 6 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))
2019rexlimdvaa 3150 . . . . 5 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘)))
21 simprl 770 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
22 oldssmade 27236 . . . . . . . 8 ( O β€˜π‘) βŠ† ( M β€˜π‘)
23 simprr 772 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))
2422, 23sselid 3946 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))
25 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 β†’ ( M β€˜π‘) = ( M β€˜π‘))
2625eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘) ↔ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)))
2726rspcev 3583 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))
2821, 24, 27syl2anc 585 . . . . . 6 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))
2928rexlimdvaa 3150 . . . . 5 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)))
3020, 29impbid 211 . . . 4 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘)))
31 elold 27228 . . . . 5 (𝐴 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)))
3210, 31syl 17 . . . 4 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)))
33 eliun 4962 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))
3433a1i 11 . . . 4 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘)))
3530, 32, 343bitr4d 311 . . 3 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜π΄) ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘)))
3635eqrdv 2731 . 2 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( O β€˜π΄) = βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘))
37 oldf 27216 . . 3 O :OnβŸΆπ’« No
38 ffun 6675 . . 3 ( O :OnβŸΆπ’« No β†’ Fun O )
39 funiunfv 7199 . . 3 (Fun O β†’ βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘) = βˆͺ ( O β€œ 𝐴))
4037, 38, 39mp2b 10 . 2 βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘) = βˆͺ ( O β€œ 𝐴)
4136, 40eqtrdi 2789 1 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( O β€˜π΄) = βˆͺ ( O β€œ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869  βˆͺ ciun 4958   β€œ cima 5640  Ord word 6320  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500   No csur 27011   M cmade 27201   O cold 27202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-1o 8416  df-2o 8417  df-no 27014  df-slt 27015  df-bday 27016  df-sslt 27150  df-scut 27152  df-made 27206  df-old 27207
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator