MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oldlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldlim 27381
Description: The value of the old set at a limit ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
oldlim ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( O β€˜π΄) = βˆͺ ( O β€œ 𝐴))

Proof of Theorem oldlim
Dummy variables π‘₯ 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
2 limsuc 7838 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴 β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
32ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
41, 3mpbid 231 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ suc 𝑐 ∈ 𝐴)
5 simprr 772 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))
6 limord 6425 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐴 β†’ Ord 𝐴)
7 elex 3493 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ V)
86, 7anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
9 elon2 6376 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
108, 9sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ On)
11 onelon 6390 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝑐 ∈ On)
1210, 1, 11syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ 𝑐 ∈ On)
13 madeoldsuc 27379 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ On β†’ ( M β€˜π‘) = ( O β€˜suc 𝑐))
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ ( M β€˜π‘) = ( O β€˜suc 𝑐))
155, 14eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ ( O β€˜suc 𝑐))
16 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑏 = suc 𝑐 β†’ ( O β€˜π‘) = ( O β€˜suc 𝑐))
1716eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑏 = suc 𝑐 β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘) ↔ π‘₯ ∈ ( O β€˜suc 𝑐)))
1817rspcev 3613 . . . . . . 7 ((suc 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜suc 𝑐)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))
194, 15, 18syl2anc 585 . . . . . 6 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))
2019rexlimdvaa 3157 . . . . 5 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘)))
21 simprl 770 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
22 oldssmade 27372 . . . . . . . 8 ( O β€˜π‘) βŠ† ( M β€˜π‘)
23 simprr 772 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))
2422, 23sselid 3981 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))
25 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 β†’ ( M β€˜π‘) = ( M β€˜π‘))
2625eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘) ↔ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)))
2726rspcev 3613 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))
2821, 24, 27syl2anc 585 . . . . . 6 (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘))
2928rexlimdvaa 3157 . . . . 5 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)))
3020, 29impbid 211 . . . 4 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘)))
31 elold 27364 . . . . 5 (𝐴 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)))
3210, 31syl 17 . . . 4 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( M β€˜π‘)))
33 eliun 5002 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘))
3433a1i 11 . . . 4 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ ( O β€˜π‘)))
3530, 32, 343bitr4d 311 . . 3 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜π΄) ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘)))
3635eqrdv 2731 . 2 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( O β€˜π΄) = βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘))
37 oldf 27352 . . 3 O :OnβŸΆπ’« No
38 ffun 6721 . . 3 ( O :OnβŸΆπ’« No β†’ Fun O )
39 funiunfv 7247 . . 3 (Fun O β†’ βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘) = βˆͺ ( O β€œ 𝐴))
4037, 38, 39mp2b 10 . 2 βˆͺ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O β€˜π‘) = βˆͺ ( O β€œ 𝐴)
4136, 40eqtrdi 2789 1 ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( O β€˜π΄) = βˆͺ ( O β€œ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   β€œ cima 5680  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544   No csur 27143   M cmade 27337   O cold 27338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-2o 8467  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sslt 27283  df-scut 27285  df-made 27342  df-old 27343
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator