Theorem oldlim 27939

Description: The value of the old set at a limit ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldlim	⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ ( O “ 𝐴))

Proof of Theorem oldlim

Dummy variables 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
2		limsuc 7869	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
4	1, 3	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → suc 𝑐 ∈ 𝐴)
5		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
6		limord 6445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7		elex 3498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
8	6, 7	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
9		elon2 6396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
10	8, 9	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ On)
11		onelon 6410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ On)
12	10, 1, 11	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐 ∈ On)
13		madeoldsuc 27937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ On → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
15	5, 14	eleqtrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐))
16		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → ( O ‘𝑏) = ( O ‘suc 𝑐))
17	16	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → (𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) ↔ 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)))
18	17	rspcev 3621	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
19	4, 15, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
20	19	rexlimdvaa 3153	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
21		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
22		oldssmade 27930	. . . . . . . 8 ⊢ ( O ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝑏)
23		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
24	22, 23	sselid 3992	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏))
25		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ( M ‘𝑐) = ( M ‘𝑏))
26	25	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
27	26	rspcev 3621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
28	21, 24, 27	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
29	28	rexlimdvaa 3153	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
30	20, 29	impbid 212	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
31		elold 27922	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
32	10, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
33		eliun 4999	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
35	30, 32, 34	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏)))
36	35	eqrdv 2732	. 2 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏))
37		oldf 27910	. . 3 ⊢ O :On⟶𝒫 No
38		ffun 6739	. . 3 ⊢ ( O :On⟶𝒫 No → Fun O )
39		funiunfv 7267	. . 3 ⊢ (Fun O → ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) = ∪ ( O “ 𝐴))
40	37, 38, 39	mp2b 10	. 2 ⊢ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) = ∪ ( O “ 𝐴)
41	36, 40	eqtrdi 2790	1 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ ( O “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067  Vcvv 3477  𝒫 cpw 4604  ∪ cuni 4911  ∪ ciun 4995   “ cima 5691  Ord word 6384  Oncon0 6385  Lim wlim 6386  suc csuc 6387  Fun wfun 6556  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562   No csur 27698   M cmade 27895   O cold 27896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 27701  df-slt 27702  df-bday 27703  df-sslt 27840  df-scut 27842  df-made 27900  df-old 27901

This theorem is referenced by: (None)