Theorem oldlim 27904

Description: The value of the old set at a limit ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldlim	⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ ( O “ 𝐴))

Proof of Theorem oldlim

Dummy variables 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
2		limsuc 7796	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
3	2	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
4	1, 3	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → suc 𝑐 ∈ 𝐴)
5		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
6		limord 6378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7		elex 3453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
8	6, 7	anim12i 619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
9		elon2 6328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
10	8, 9	sylibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ On)
11		onelon 6342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ On)
12	10, 1, 11	syl2an2r 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐 ∈ On)
13		madeoldsuc 27902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ On → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
15	5, 14	eleqtrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐))
16		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → ( O ‘𝑏) = ( O ‘suc 𝑐))
17	16	eleq2d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → (𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) ↔ 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)))
18	17	rspcev 3567	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
19	4, 15, 18	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
20	19	rexlimdvaa 3142	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
21		simprl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
22		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
23	22	oldmaded 27886	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏))
24		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ( M ‘𝑐) = ( M ‘𝑏))
25	24	eleq2d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
26	25	rspcev 3567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
27	21, 23, 26	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
28	27	rexlimdvaa 3142	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
29	20, 28	impbid 213	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
30		elold 27876	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
31	10, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
32		eliun 4932	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
34	29, 31, 33	3bitr4d 312	. . 3 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏)))
35	34	eqrdv 2738	. 2 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏))
36		oldf 27854	. . 3 ⊢ O :On⟶𝒫 No
37		ffun 6665	. . 3 ⊢ ( O :On⟶𝒫 No → Fun O )
38		funiunfv 7199	. . 3 ⊢ (Fun O → ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) = ∪ ( O “ 𝐴))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. 2 ⊢ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) = ∪ ( O “ 𝐴)
40	35, 39	eqtrdi 2791	1 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ ( O “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4536  ∪ cuni 4845  ∪ ciun 4928   “ cima 5628  Ord word 6316  Oncon0 6317  Lim wlim 6318  suc csuc 6319  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492   No csur 27628   M cmade 27839   O cold 27840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-made 27844  df-old 27845

This theorem is referenced by: (None)