Theorem oldlim 28160

Description: The value of the old set at a limit ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldlim	⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ ( O “ 𝐴))

Proof of Theorem oldlim

Dummy variables 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
2		limsuc 7849	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
4	1, 3	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → suc 𝑐 ∈ 𝐴)
5		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
6		limord 6423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7		elex 3474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
8	6, 7	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
9		elon2 6372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ On)
11		onelon 6386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ On)
12	10, 1, 11	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐 ∈ On)
13		madeoldsuc 28158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ On → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
15	5, 14	eleqtrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐))
16		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → ( O ‘𝑏) = ( O ‘suc 𝑐))
17	16	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → (𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) ↔ 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)))
18	17	rspcev 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
19	4, 15, 18	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
20	19	rexlimdvaa 3166	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
21		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
22		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
23	22	oldmaded 28142	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏))
24		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ( M ‘𝑐) = ( M ‘𝑏))
25	24	eleq2d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
26	25	rspcev 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
27	21, 23, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
28	27	rexlimdvaa 3166	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
29	20, 28	impbid 215	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
30		elold 28132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
31	10, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
32		eliun 4958	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
34	29, 31, 33	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏)))
35	34	eqrdv 2760	. 2 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏))
36		oldf 28110	. . 3 ⊢ O :On⟶𝒫 No
37		ffun 6709	. . 3 ⊢ ( O :On⟶𝒫 No → Fun O )
38		funiunfv 7249	. . 3 ⊢ (Fun O → ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) = ∪ ( O “ 𝐴))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. 2 ⊢ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) = ∪ ( O “ 𝐴)
40	35, 39	eqtrdi 2813	1 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ ( O “ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954   “ cima 5662  Ord word 6360  Oncon0 6361  Lim wlim 6362  suc csuc 6363  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537   No csur 27884   M cmade 28095   O cold 28096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-2o 8460  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-made 28100  df-old 28101

This theorem is used by: (None)