Theorem oldlim 28278

Description: The value of the old set at a limit ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldlim	⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (O‘𝐴) = ∪ (O “ 𝐴))

Proof of Theorem oldlim

Dummy variables 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
2		limsuc 7860	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
4	1, 3	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → suc 𝑐 ∈ 𝐴)
5		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → 𝑥 ∈ (M‘𝑐))
6		limord 6424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7		elex 3471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
8	6, 7	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
9		elon2 6373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ On)
11		onelon 6387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ On)
12	10, 1, 11	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → 𝑐 ∈ On)
13		madeoldsuc 28276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ On → (M‘𝑐) = (O‘suc 𝑐))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → (M‘𝑐) = (O‘suc 𝑐))
15	5, 14	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → 𝑥 ∈ (O‘suc 𝑐))
16		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → (O‘𝑏) = (O‘suc 𝑐))
17	16	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → (𝑥 ∈ (O‘𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (O‘suc 𝑐)))
18	17	rspcev 3576	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (O‘suc 𝑐)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏))
19	4, 15, 18	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏))
20	19	rexlimdvaa 3164	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏)))
21		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (O‘𝑏))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
22		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (O‘𝑏))) → 𝑥 ∈ (O‘𝑏))
23	22	oldmaded 28260	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (O‘𝑏))) → 𝑥 ∈ (M‘𝑏))
24		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (M‘𝑐) = (M‘𝑏))
25	24	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (M‘𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (M‘𝑏)))
26	25	rspcev 3576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐))
27	21, 23, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (O‘𝑏))) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐))
28	27	rexlimdvaa 3164	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐)))
29	20, 28	impbid 215	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏)))
30		elold 28250	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ (O‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐)))
31	10, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (O‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐)))
32		eliun 4954	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏)))
34	29, 31, 33	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (O‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏)))
35	34	eqrdv 2758	. 2 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (O‘𝐴) = ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏))
36		oldf 28228	. . 3 ⊢ O:On⟶𝒫 No
37		ffun 6712	. . 3 ⊢ (O:On⟶𝒫 No → Fun O)
38		funiunfv 7252	. . 3 ⊢ (Fun O → ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏) = ∪ (O “ 𝐴))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. 2 ⊢ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏) = ∪ (O “ 𝐴)
40	35, 39	eqtrdi 2811	1 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (O‘𝐴) = ∪ (O “ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950   “ cima 5653  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  Nocsur 28002  Mcmade 28213  Ocold 28214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-made 28218  df-old 28219

This theorem is used by: (None)