MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oldlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldlim 27216
Description: The value of the old set at a limit ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
oldlim ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → ( O ‘𝐴) = ( O “ 𝐴))

Proof of Theorem oldlim
Dummy variables 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐𝐴)
2 limsuc 7785 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴 → (𝑐𝐴 ↔ suc 𝑐𝐴))
32ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → (𝑐𝐴 ↔ suc 𝑐𝐴))
41, 3mpbid 231 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → suc 𝑐𝐴)
5 simprr 771 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
6 limord 6377 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7 elex 3463 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
86, 7anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (Ord 𝐴𝐴 ∈ V))
9 elon2 6328 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴𝐴 ∈ V))
108, 9sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → 𝐴 ∈ On)
11 onelon 6342 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑐𝐴) → 𝑐 ∈ On)
1210, 1, 11syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐 ∈ On)
13 madeoldsuc 27214 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ On → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
155, 14eleqtrd 2840 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐))
16 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑏 = suc 𝑐 → ( O ‘𝑏) = ( O ‘suc 𝑐))
1716eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (𝑏 = suc 𝑐 → (𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) ↔ 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)))
1817rspcev 3581 . . . . . . 7 ((suc 𝑐𝐴𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)) → ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
194, 15, 18syl2anc 584 . . . . . 6 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
2019rexlimdvaa 3153 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) → ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
21 simprl 769 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑏𝐴)
22 oldssmade 27207 . . . . . . . 8 ( O ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝑏)
23 simprr 771 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
2422, 23sselid 3942 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏))
25 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 → ( M ‘𝑐) = ( M ‘𝑏))
2625eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
2726rspcev 3581 . . . . . . 7 ((𝑏𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)) → ∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
2821, 24, 27syl2anc 584 . . . . . 6 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → ∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
2928rexlimdvaa 3153 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) → ∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
3020, 29impbid 211 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
31 elold 27199 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
3210, 31syl 17 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
33 eliun 4958 . . . . 5 (𝑥 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
3433a1i 11 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (𝑥 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
3530, 32, 343bitr4d 310 . . 3 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ 𝑥 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏)))
3635eqrdv 2734 . 2 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → ( O ‘𝐴) = 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏))
37 oldf 27187 . . 3 O :On⟶𝒫 No
38 ffun 6671 . . 3 ( O :On⟶𝒫 No → Fun O )
39 funiunfv 7195 . . 3 (Fun O → 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏) = ( O “ 𝐴))
4037, 38, 39mp2b 10 . 2 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏) = ( O “ 𝐴)
4136, 40eqtrdi 2792 1 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → ( O ‘𝐴) = ( O “ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  Vcvv 3445  𝒫 cpw 4560   cuni 4865   ciun 4954  cima 5636  Ord word 6316  Oncon0 6317  Lim wlim 6318  suc csuc 6319  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496   No csur 26988   M cmade 27172   O cold 27173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-1o 8412  df-2o 8413  df-no 26991  df-slt 26992  df-bday 26993  df-sslt 27121  df-scut 27123  df-made 27177  df-old 27178
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator