MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oldlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldlim 27925
Description: The value of the old set at a limit ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
oldlim ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → ( O ‘𝐴) = ( O “ 𝐴))

Proof of Theorem oldlim
Dummy variables 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 771 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐𝐴)
2 limsuc 7870 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴 → (𝑐𝐴 ↔ suc 𝑐𝐴))
32ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → (𝑐𝐴 ↔ suc 𝑐𝐴))
41, 3mpbid 232 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → suc 𝑐𝐴)
5 simprr 773 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
6 limord 6444 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7 elex 3501 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
86, 7anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (Ord 𝐴𝐴 ∈ V))
9 elon2 6395 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴𝐴 ∈ V))
108, 9sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → 𝐴 ∈ On)
11 onelon 6409 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑐𝐴) → 𝑐 ∈ On)
1210, 1, 11syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐 ∈ On)
13 madeoldsuc 27923 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ On → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
155, 14eleqtrd 2843 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐))
16 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑏 = suc 𝑐 → ( O ‘𝑏) = ( O ‘suc 𝑐))
1716eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝑏 = suc 𝑐 → (𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) ↔ 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)))
1817rspcev 3622 . . . . . . 7 ((suc 𝑐𝐴𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)) → ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
194, 15, 18syl2anc 584 . . . . . 6 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑐𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
2019rexlimdvaa 3156 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) → ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
21 simprl 771 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑏𝐴)
22 oldssmade 27916 . . . . . . . 8 ( O ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝑏)
23 simprr 773 . . . . . . . 8 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
2422, 23sselid 3981 . . . . . . 7 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏))
25 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 → ( M ‘𝑐) = ( M ‘𝑏))
2625eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
2726rspcev 3622 . . . . . . 7 ((𝑏𝐴𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)) → ∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
2821, 24, 27syl2anc 584 . . . . . 6 (((Lim 𝐴𝐴𝑉) ∧ (𝑏𝐴𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → ∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
2928rexlimdvaa 3156 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) → ∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
3020, 29impbid 212 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
31 elold 27908 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
3210, 31syl 17 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
33 eliun 4995 . . . . 5 (𝑥 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
3433a1i 11 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (𝑥 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
3530, 32, 343bitr4d 311 . . 3 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ 𝑥 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏)))
3635eqrdv 2735 . 2 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → ( O ‘𝐴) = 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏))
37 oldf 27896 . . 3 O :On⟶𝒫 No
38 ffun 6739 . . 3 ( O :On⟶𝒫 No → Fun O )
39 funiunfv 7268 . . 3 (Fun O → 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏) = ( O “ 𝐴))
4037, 38, 39mp2b 10 . 2 𝑏𝐴 ( O ‘𝑏) = ( O “ 𝐴)
4136, 40eqtrdi 2793 1 ((Lim 𝐴𝐴𝑉) → ( O ‘𝐴) = ( O “ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   ciun 4991  cima 5688  Ord word 6383  Oncon0 6384  Lim wlim 6385  suc csuc 6386  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561   No csur 27684   M cmade 27881   O cold 27882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-made 27886  df-old 27887
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator