Theorem oldlim 28303

Description: The value of the old set at a limit ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldlim	⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (O‘𝐴) = ∪ (O “ 𝐴))

Proof of Theorem oldlim

Dummy variables 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
2		limsuc 7884	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
4	1, 3	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → suc 𝑐 ∈ 𝐴)
5		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → 𝑥 ∈ (M‘𝑐))
6		limord 6442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7		elex 3475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
8	6, 7	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
9		elon2 6391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ On)
11		onelon 6405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ On)
12	10, 1, 11	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → 𝑐 ∈ On)
13		madeoldsuc 28301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ On → (M‘𝑐) = (O‘suc 𝑐))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → (M‘𝑐) = (O‘suc 𝑐))
15	5, 14	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → 𝑥 ∈ (O‘suc 𝑐))
16		fveq2 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → (O‘𝑏) = (O‘suc 𝑐))
17	16	eleq2d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → (𝑥 ∈ (O‘𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (O‘suc 𝑐)))
18	17	rspcev 3580	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (O‘suc 𝑐)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏))
19	4, 15, 18	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑐))) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏))
20	19	rexlimdvaa 3168	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏)))
21		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (O‘𝑏))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
22		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (O‘𝑏))) → 𝑥 ∈ (O‘𝑏))
23	22	oldmaded 28285	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (O‘𝑏))) → 𝑥 ∈ (M‘𝑏))
24		fveq2 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (M‘𝑐) = (M‘𝑏))
25	24	eleq2d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑥 ∈ (M‘𝑐) ↔ 𝑥 ∈ (M‘𝑏)))
26	25	rspcev 3580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (M‘𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐))
27	21, 23, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (O‘𝑏))) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐))
28	27	rexlimdvaa 3168	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐)))
29	20, 28	impbid 215	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏)))
30		elold 28275	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ (O‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐)))
31	10, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (O‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (M‘𝑐)))
32		eliun 4958	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (O‘𝑏)))
34	29, 31, 33	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (O‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏)))
35	34	eqrdv 2761	. 2 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (O‘𝐴) = ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏))
36		oldf 28253	. . 3 ⊢ O:On⟶𝒫 No
37		ffun 6734	. . 3 ⊢ (O:On⟶𝒫 No → Fun O)
38		funiunfv 7275	. . 3 ⊢ (Fun O → ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏) = ∪ (O “ 𝐴))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. 2 ⊢ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 (O‘𝑏) = ∪ (O “ 𝐴)
40	35, 39	eqtrdi 2814	1 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (O‘𝐴) = ∪ (O “ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954   “ cima 5658  Ord word 6379  Oncon0 6380  Lim wlim 6381  suc csuc 6382  Fun wfun 6552  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  Nocsur 28027  Mcmade 28238  Ocold 28239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-made 28243  df-old 28244

This theorem is used by: (None)