Theorem oldlim 34069

Description: The value of the old set at a limit ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldlim	⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ ( O “ 𝐴))

Proof of Theorem oldlim

Dummy variables 𝑥 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝐴)
2		limsuc 7696	. . . . . . . . 9 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
3	2	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑐 ∈ 𝐴))
4	1, 3	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → suc 𝑐 ∈ 𝐴)
5		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
6		limord 6325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
7		elex 3450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
8	6, 7	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
9		elon2 6277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
10	8, 9	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ On)
11		onelon 6291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑐 ∈ On)
12	10, 1, 11	syl2an2r 682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑐 ∈ On)
13		madeoldsuc 34067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ On → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ( M ‘𝑐) = ( O ‘suc 𝑐))
15	5, 14	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐))
16		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → ( O ‘𝑏) = ( O ‘suc 𝑐))
17	16	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = suc 𝑐 → (𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) ↔ 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)))
18	17	rspcev 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((suc 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘suc 𝑐)) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
19	4, 15, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
20	19	rexlimdvaa 3214	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
21		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑏 ∈ 𝐴)
22		oldssmade 34060	. . . . . . . 8 ⊢ ( O ‘𝑏) ⊆ ( M ‘𝑏)
23		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
24	22, 23	sselid 3919	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏))
25		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ( M ‘𝑐) = ( M ‘𝑏))
26	25	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)))
27	26	rspcev 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( M ‘𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
28	21, 24, 27	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐))
29	28	rexlimdvaa 3214	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
30	20, 29	impbid 211	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
31		elold 34053	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
32	10, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( M ‘𝑐)))
33		eliun 4928	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏))
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( O ‘𝑏)))
35	30, 32, 34	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ( O ‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏)))
36	35	eqrdv 2736	. 2 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏))
37		oldf 34041	. . 3 ⊢ O :On⟶𝒫 No
38		ffun 6603	. . 3 ⊢ ( O :On⟶𝒫 No → Fun O )
39		funiunfv 7121	. . 3 ⊢ (Fun O → ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) = ∪ ( O “ 𝐴))
40	37, 38, 39	mp2b 10	. 2 ⊢ ∪ 𝑏 ∈ 𝐴 ( O ‘𝑏) = ∪ ( O “ 𝐴)
41	36, 40	eqtrdi 2794	1 ⊢ ((Lim 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( O ‘𝐴) = ∪ ( O “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4924   “ cima 5592  Ord word 6265  Oncon0 6266  Lim wlim 6267  suc csuc 6268  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433   No csur 33843   M cmade 34026   O cold 34027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-1o 8297  df-2o 8298  df-no 33846  df-slt 33847  df-bday 33848  df-sslt 33976  df-scut 33978  df-made 34031  df-old 34032

This theorem is referenced by: (None)