MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwwf 9804
Description: A power set is well-founded iff the base set is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
pwwf (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))

Proof of Theorem pwwf
StepHypRef Expression
1 r1rankidb 9801 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜(rankβ€˜π΄)))
21sspwd 4614 . . . . . 6 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝒫 𝐴 βŠ† 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π΄)))
3 rankdmr1 9798 . . . . . . 7 (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1
4 r1sucg 9766 . . . . . . 7 ((rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1 β†’ (𝑅1β€˜suc (rankβ€˜π΄)) = 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π΄)))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑅1β€˜suc (rankβ€˜π΄)) = 𝒫 (𝑅1β€˜(rankβ€˜π΄))
62, 5sseqtrrdi 4032 . . . . 5 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝒫 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜suc (rankβ€˜π΄)))
7 fvex 6903 . . . . . 6 (𝑅1β€˜suc (rankβ€˜π΄)) ∈ V
87elpw2 5344 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜suc (rankβ€˜π΄)) ↔ 𝒫 𝐴 βŠ† (𝑅1β€˜suc (rankβ€˜π΄)))
96, 8sylibr 233 . . . 4 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝒫 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1β€˜suc (rankβ€˜π΄)))
10 r1funlim 9763 . . . . . . . 8 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
1110simpri 484 . . . . . . 7 Lim dom 𝑅1
12 limsuc 7840 . . . . . . 7 (Lim dom 𝑅1 β†’ ((rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 ((rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1)
143, 13mpbi 229 . . . . 5 suc (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1
15 r1sucg 9766 . . . . 5 (suc (rankβ€˜π΄) ∈ dom 𝑅1 β†’ (𝑅1β€˜suc suc (rankβ€˜π΄)) = 𝒫 (𝑅1β€˜suc (rankβ€˜π΄)))
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 (𝑅1β€˜suc suc (rankβ€˜π΄)) = 𝒫 (𝑅1β€˜suc (rankβ€˜π΄))
179, 16eleqtrrdi 2842 . . 3 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜suc suc (rankβ€˜π΄)))
18 r1elwf 9793 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜suc suc (rankβ€˜π΄)) β†’ 𝒫 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
1917, 18syl 17 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝒫 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
20 r1elssi 9802 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝒫 𝐴 βŠ† βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
21 pwexr 7754 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝐴 ∈ V)
22 pwidg 4621 . . . 4 (𝐴 ∈ V β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
2321, 22syl 17 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
2420, 23sseldd 3982 . 2 (𝒫 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
2519, 24impbii 208 1 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  Oncon0 6363  Lim wlim 6364  suc csuc 6365  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  π‘…1cr1 9759  rankcrnk 9760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-r1 9761  df-rank 9762
This theorem is referenced by:  snwf  9806  uniwf  9816  rankpwi  9820  r1pw  9842  r1pwcl  9844  dfac12r  10143  wfgru  10813
  Copyright terms: Public domain W3C validator