Theorem rankdmr1 9214

Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankdmr1	⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Proof of Theorem rankdmr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankidb 9213	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
2		elfvdm 6677	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
4		r1funlim 9179	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpri 489	. . . 4 ⊢ Lim dom 𝑅1
6		limsuc 7544	. . . 4 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
8	3, 7	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
9		rankvaln 9212	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)
10		limomss 7565	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
12		peano1 7581	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
13	11, 12	sselii 3912	. . 3 ⊢ ∅ ∈ dom 𝑅1
14	9, 13	eqeltrdi 2898	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
15	8, 14	pm2.61i 185	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ∪ cuni 4800  dom cdm 5519   “ cima 5522  Oncon0 6159  Lim wlim 6160  suc csuc 6161  Fun wfun 6318  ‘cfv 6324  ωcom 7560  𝑅₁cr1 9175  rankcrnk 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-r1 9177  df-rank 9178

This theorem is referenced by:  r1rankidb  9217  pwwf  9220  unwf  9223  uniwf  9232  rankr1c  9234  rankelb  9237  rankval3b  9239  rankonid  9242  rankssb  9261  rankr1id  9275