Theorem rankdmr1 9783

Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankdmr1	⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Proof of Theorem rankdmr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankidb 9782	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
2		elfvdm 6908	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
4		r1funlim 9748	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpri 491	. . . 4 ⊢ Lim dom 𝑅1
6		limsuc 7844	. . . 4 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
8	3, 7	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
9		rankvaln 9781	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)
10		limomss 7866	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
12		peano1 7884	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
13	11, 12	sselii 3928	. . 3 ⊢ ∅ ∈ dom 𝑅1
14	9, 13	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
15	8, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867  dom cdm 5648   “ cima 5651  Oncon0 6352  Lim wlim 6353  suc csuc 6354  Fun wfun 6522  ‘cfv 6528  ωcom 7861  𝑅₁cr1 9744  rankcrnk 9745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-r1 9746  df-rank 9747

This theorem is used by:  r1rankidb  9786  pwwf  9789  unwf  9792  uniwf  9801  rankr1c  9803  rankelb  9806  rankval3b  9808  rankonid  9811  rankssb  9832  rankr1id  9848  ttcwf  37228