Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankdmr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankdmr1 9253
 Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankdmr1 (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Proof of Theorem rankdmr1
StepHypRef Expression
1 rankidb 9252 . . . 4 (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
2 elfvdm 6688 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
4 r1funlim 9218 . . . . 5 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
54simpri 490 . . . 4 Lim dom 𝑅1
6 limsuc 7561 . . . 4 (Lim dom 𝑅1 → ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
83, 7sylibr 237 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
9 rankvaln 9251 . . 3 𝐴 (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)
10 limomss 7582 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
115, 10ax-mp 5 . . . 4 ω ⊆ dom 𝑅1
12 peano1 7598 . . . 4 ∅ ∈ ω
1311, 12sselii 3890 . . 3 ∅ ∈ dom 𝑅1
149, 13eqeltrdi 2861 . 2 𝐴 (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
158, 14pm2.61i 185 1 (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  ∪ cuni 4796  dom cdm 5522   “ cima 5525  Oncon0 6167  Lim wlim 6168  suc csuc 6169  Fun wfun 6327  ‘cfv 6333  ωcom 7577  𝑅1cr1 9214  rankcrnk 9215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-om 7578  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-r1 9216  df-rank 9217 This theorem is referenced by:  r1rankidb  9256  pwwf  9259  unwf  9262  uniwf  9271  rankr1c  9273  rankelb  9276  rankval3b  9278  rankonid  9281  rankssb  9300  rankr1id  9314
 Copyright terms: Public domain W3C validator