MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankdmr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankdmr1 9841
Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankdmr1 (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Proof of Theorem rankdmr1
StepHypRef Expression
1 rankidb 9840 . . . 4 (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
2 elfvdm 6943 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
4 r1funlim 9806 . . . . 5 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
54simpri 485 . . . 4 Lim dom 𝑅1
6 limsuc 7870 . . . 4 (Lim dom 𝑅1 → ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
83, 7sylibr 234 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
9 rankvaln 9839 . . 3 𝐴 (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)
10 limomss 7892 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
115, 10ax-mp 5 . . . 4 ω ⊆ dom 𝑅1
12 peano1 7910 . . . 4 ∅ ∈ ω
1311, 12sselii 3980 . . 3 ∅ ∈ dom 𝑅1
149, 13eqeltrdi 2849 . 2 𝐴 (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
158, 14pm2.61i 182 1 (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wcel 2108  wss 3951  c0 4333   cuni 4907  dom cdm 5685  cima 5688  Oncon0 6384  Lim wlim 6385  suc csuc 6386  Fun wfun 6555  cfv 6561  ωcom 7887  𝑅1cr1 9802  rankcrnk 9803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-r1 9804  df-rank 9805
This theorem is referenced by:  r1rankidb  9844  pwwf  9847  unwf  9850  uniwf  9859  rankr1c  9861  rankelb  9864  rankval3b  9866  rankonid  9869  rankssb  9888  rankr1id  9902
  Copyright terms: Public domain W3C validator