Theorem rankdmr1 9727

Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankdmr1	⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Proof of Theorem rankdmr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankidb 9726	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
2		elfvdm 6878	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
4		r1funlim 9692	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpri 485	. . . 4 ⊢ Lim dom 𝑅1
6		limsuc 7803	. . . 4 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
9		rankvaln 9725	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)
10		limomss 7825	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
12		peano1 7843	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
13	11, 12	sselii 3932	. . 3 ⊢ ∅ ∈ dom 𝑅1
14	9, 13	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
15	8, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  dom cdm 5634   “ cima 5637  Oncon0 6327  Lim wlim 6328  suc csuc 6329  Fun wfun 6496  ‘cfv 6502  ωcom 7820  𝑅₁cr1 9688  rankcrnk 9689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-r1 9690  df-rank 9691

This theorem is referenced by:  r1rankidb  9730  pwwf  9733  unwf  9736  uniwf  9745  rankr1c  9747  rankelb  9750  rankval3b  9752  rankonid  9755  rankssb  9774  rankr1id  9788