MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankdmr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankdmr1 9490
Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankdmr1 (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Proof of Theorem rankdmr1
StepHypRef Expression
1 rankidb 9489 . . . 4 (𝐴 (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
2 elfvdm 6788 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
4 r1funlim 9455 . . . . 5 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
54simpri 485 . . . 4 Lim dom 𝑅1
6 limsuc 7671 . . . 4 (Lim dom 𝑅1 → ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
83, 7sylibr 233 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
9 rankvaln 9488 . . 3 𝐴 (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)
10 limomss 7692 . . . . 5 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
115, 10ax-mp 5 . . . 4 ω ⊆ dom 𝑅1
12 peano1 7710 . . . 4 ∅ ∈ ω
1311, 12sselii 3914 . . 3 ∅ ∈ dom 𝑅1
149, 13eqeltrdi 2847 . 2 𝐴 (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
158, 14pm2.61i 182 1 (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wcel 2108  wss 3883  c0 4253   cuni 4836  dom cdm 5580  cima 5583  Oncon0 6251  Lim wlim 6252  suc csuc 6253  Fun wfun 6412  cfv 6418  ωcom 7687  𝑅1cr1 9451  rankcrnk 9452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-r1 9453  df-rank 9454
This theorem is referenced by:  r1rankidb  9493  pwwf  9496  unwf  9499  uniwf  9508  rankr1c  9510  rankelb  9513  rankval3b  9515  rankonid  9518  rankssb  9537  rankr1id  9551
  Copyright terms: Public domain W3C validator