Theorem rankdmr1 9722

Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankdmr1	⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Proof of Theorem rankdmr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankidb 9721	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
2		elfvdm 6872	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
4		r1funlim 9687	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpri 485	. . . 4 ⊢ Lim dom 𝑅1
6		limsuc 7797	. . . 4 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
8	3, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
9		rankvaln 9720	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)
10		limomss 7819	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
12		peano1 7837	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
13	11, 12	sselii 3919	. . 3 ⊢ ∅ ∈ dom 𝑅1
14	9, 13	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
15	8, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851  dom cdm 5628   “ cima 5631  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  Fun wfun 6490  ‘cfv 6496  ωcom 7814  𝑅₁cr1 9683  rankcrnk 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7367  df-om 7815  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-r1 9685  df-rank 9686

This theorem is referenced by:  r1rankidb  9725  pwwf  9728  unwf  9731  uniwf  9740  rankr1c  9742  rankelb  9745  rankval3b  9747  rankonid  9750  rankssb  9769  rankr1id  9783  ttcwf  36728