Theorem rankdmr1 9559

Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankdmr1	⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Proof of Theorem rankdmr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankidb 9558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
2		elfvdm 6806	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
4		r1funlim 9524	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpri 486	. . . 4 ⊢ Lim dom 𝑅1
6		limsuc 7696	. . . 4 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
8	3, 7	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
9		rankvaln 9557	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) = ∅)
10		limomss 7717	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom 𝑅1
12		peano1 7735	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
13	11, 12	sselii 3918	. . 3 ⊢ ∅ ∈ dom 𝑅1
14	9, 13	eqeltrdi 2847	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1)
15	8, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839  dom cdm 5589   “ cima 5592  Oncon0 6266  Lim wlim 6267  suc csuc 6268  Fun wfun 6427  ‘cfv 6433  ωcom 7712  𝑅₁cr1 9520  rankcrnk 9521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-r1 9522  df-rank 9523

This theorem is referenced by:  r1rankidb  9562  pwwf  9565  unwf  9568  uniwf  9577  rankr1c  9579  rankelb  9582  rankval3b  9584  rankonid  9587  rankssb  9606  rankr1id  9620