MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pwcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pwcl 9848
Description: The cumulative hierarchy of a limit ordinal is closed under power set. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1pwcl (Lim 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))

Proof of Theorem r1pwcl
StepHypRef Expression
1 r1elwf 9797 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
2 elfvdm 6928 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
31, 2jca 511 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
43a1i 11 . 2 (Lim 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1)))
5 r1elwf 9797 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝒫 𝐴 (𝑅1 “ On))
6 pwwf 9808 . . . . 5 (𝐴 (𝑅1 “ On) ↔ 𝒫 𝐴 (𝑅1 “ On))
75, 6sylibr 233 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
8 elfvdm 6928 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
97, 8jca 511 . . 3 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
109a1i 11 . 2 (Lim 𝐵 → (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1)))
11 limsuc 7842 . . . . . 6 (Lim 𝐵 → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
1211adantr 480 . . . . 5 ((Lim 𝐵 ∧ (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
13 rankpwi 9824 . . . . . . 7 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (rank‘𝒫 𝐴) = suc (rank‘𝐴))
1413ad2antrl 725 . . . . . 6 ((Lim 𝐵 ∧ (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → (rank‘𝒫 𝐴) = suc (rank‘𝐴))
1514eleq1d 2817 . . . . 5 ((Lim 𝐵 ∧ (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → ((rank‘𝒫 𝐴) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
1612, 15bitr4d 282 . . . 4 ((Lim 𝐵 ∧ (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → ((rank‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (rank‘𝒫 𝐴) ∈ 𝐵))
17 rankr1ag 9803 . . . . 5 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
1817adantl 481 . . . 4 ((Lim 𝐵 ∧ (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ 𝐵))
19 rankr1ag 9803 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝐴) ∈ 𝐵))
206, 19sylanb 580 . . . . 5 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝐴) ∈ 𝐵))
2120adantl 481 . . . 4 ((Lim 𝐵 ∧ (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝐴) ∈ 𝐵))
2216, 18, 213bitr4d 311 . . 3 ((Lim 𝐵 ∧ (𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1)) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
2322ex 412 . 2 (Lim 𝐵 → ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵))))
244, 10, 23pm5.21ndd 379 1 (Lim 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  𝒫 cpw 4602   cuni 4908  dom cdm 5676  cima 5679  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  cfv 6543  𝑅1cr1 9763  rankcrnk 9764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-r1 9765  df-rank 9766
This theorem is referenced by:  r1limwun  10737
  Copyright terms: Public domain W3C validator