MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsppratlem3 21000
Description: Lemma for lspprat 21004. In the first case of lsppratlem1 20998, since π‘₯ βˆ‰ (π‘β€˜βˆ…), also π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯}), and since 𝑦 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘₯}) and 𝑦 βˆ‰ (π‘β€˜{π‘₯}), we have 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
lsppratlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsppratlem1.x2 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
lsppratlem1.y2 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
lsppratlem3.x3 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦})))
Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20954 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspprat.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
54snssd 4807 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
6 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 lspprat.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
86, 7lspssv 20830 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
93, 5, 8syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
119, 10sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
1211snssd 4807 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯} βŠ† 𝑉)
13 lspprat.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 lspprat.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1514pssssd 4092 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1613snssd 4807 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
1712, 16unssd 4181 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉)
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
196, 18, 7lspcl 20823 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) ∈ 𝑆)
203, 17, 19syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) ∈ 𝑆)
21 df-pr 4626 . . . . . . . . 9 {𝑋, π‘Œ} = ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})
226, 7lspssid 20832 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉) β†’ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
233, 17, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
2423unssbd 4183 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
25 ssun1 4167 . . . . . . . . . . . . . 14 {π‘₯} βŠ† ({π‘₯} βˆͺ {𝑋})
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {π‘₯} βŠ† ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}))
276, 7lspss 20831 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉 ∧ {π‘₯} βŠ† ({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
283, 17, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
29 0ss 4391 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆ… βŠ† 𝑉
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ… βŠ† 𝑉)
31 uncom 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ… βˆͺ {π‘Œ}) = ({π‘Œ} βˆͺ βˆ…)
32 un0 4385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({π‘Œ} βˆͺ βˆ…) = {π‘Œ}
3331, 32eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ… βˆͺ {π‘Œ}) = {π‘Œ}
3433fveq2i 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ})
3510, 34eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘Œ})))
36 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
3736eldifbd 3956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })
38 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3938, 7lsp0 20856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })
4137, 40neleqtrrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆ…))
4235, 41eldifd 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜βˆ…)))
436, 18, 7lspsolv 20994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (βˆ… βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜βˆ…)))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})))
441, 30, 4, 42, 43syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})))
45 uncom 4148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ… βˆͺ {π‘₯}) = ({π‘₯} βˆͺ βˆ…)
46 un0 4385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({π‘₯} βˆͺ βˆ…) = {π‘₯}
4745, 46eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ… βˆͺ {π‘₯}) = {π‘₯}
4847fveq2i 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})) = (π‘β€˜{π‘₯})
4944, 48eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯}))
5028, 49sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5150snssd 4807 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5224, 51unssd 4181 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5321, 52eqsstrid 4025 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5418, 7lspssp 20835 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
553, 20, 53, 54syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5615, 55sstrd 3987 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5756ssdifd 4135 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})) βŠ† ((π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
58 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
5957, 58sseldd 3978 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ ((π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
606, 18, 7lspsolv 20994 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ((π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑦})))
611, 12, 13, 59, 60syl13anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑦})))
62 df-pr 4626 . . . 4 {π‘₯, 𝑦} = ({π‘₯} βˆͺ {𝑦})
6362fveq2i 6888 . . 3 (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) = (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑦}))
6461, 63eleqtrrdi 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
65 lspprat.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
666, 18lssss 20783 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
6867ssdifssd 4137 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝑉)
6968, 58sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
7011, 69prssd 4820 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝑉)
71 snsspr1 4812 . . . . 5 {π‘₯} βŠ† {π‘₯, 𝑦}
7271a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯} βŠ† {π‘₯, 𝑦})
736, 7lspss 20831 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝑉 ∧ {π‘₯} βŠ† {π‘₯, 𝑦}) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
743, 70, 72, 73syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
7574, 49sseldd 3978 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
7664, 75jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943   ⊊ wpss 3944  βˆ…c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  0gc0g 17394  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  21002
  Copyright terms: Public domain W3C validator