MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem3 19913
Description: Lemma for lspprat 19917. In the first case of lsppratlem1 19911, since 𝑥 ∉ (𝑁‘∅), also 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥}), and since 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑥}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}), we have 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem3.x3 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19870 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspprat.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
54snssd 4734 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 lspprat.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 7lspssv 19747 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
93, 5, 8syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
119, 10sseldd 3966 . . . . 5 (𝜑𝑥𝑉)
1211snssd 4734 . . . 4 (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
13 lspprat.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
14 lspprat.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1514pssssd 4072 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1613snssd 4734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
1712, 16unssd 4160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
196, 18, 7lspcl 19740 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
203, 17, 19syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
21 df-pr 4562 . . . . . . . . 9 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
226, 7lspssid 19749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
233, 17, 22syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
2423unssbd 4162 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
25 ssun1 4146 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋})
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋}))
276, 7lspss 19748 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋})) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
283, 17, 26, 27syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
29 0ss 4348 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ⊆ 𝑉
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑉)
31 uncom 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ∅)
32 un0 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑌} ∪ ∅) = {𝑌}
3331, 32eqtri 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∅ ∪ {𝑌}) = {𝑌}
3433fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) = (𝑁‘{𝑌})
3510, 34eleqtrrdi 2922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})))
36 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
3736eldifbd 3947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ { 0 })
38 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (0g𝑊)
3938, 7lsp0 19773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁‘∅) = { 0 })
4137, 40neleqtrrd 2933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘∅))
4235, 41eldifd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘∅)))
436, 18, 7lspsolv 19907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉𝑌𝑉𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
441, 30, 4, 42, 43syl13anc 1367 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
45 uncom 4127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
46 un0 4342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
4745, 46eqtri 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
4847fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
4944, 48eleqtrdi 2921 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
5028, 49sseldd 3966 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5150snssd 4734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5224, 51unssd 4160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5321, 52eqsstrid 4013 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5418, 7lspssp 19752 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
553, 20, 53, 54syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5615, 55sstrd 3975 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5756ssdifd 4115 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
58 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
5957, 58sseldd 3966 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
606, 18, 7lspsolv 19907 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉𝑋𝑉𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
611, 12, 13, 59, 60syl13anc 1367 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
62 df-pr 4562 . . . 4 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
6362fveq2i 6666 . . 3 (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
6461, 63eleqtrrdi 2922 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
65 lspprat.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
666, 18lssss 19700 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
6867ssdifssd 4117 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
6968, 58sseldd 3966 . . . . 5 (𝜑𝑦𝑉)
7011, 69prssd 4747 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
71 snsspr1 4739 . . . . 5 {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
7271a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦})
736, 7lspss 19748 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
743, 70, 72, 73syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
7574, 49sseldd 3966 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
7664, 75jca 514 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  cdif 3931  cun 3932  wss 3934  wpss 3935  c0 4289  {csn 4559  {cpr 4561  cfv 6348  Basecbs 16475  0gc0g 16705  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735  LVecclvec 19866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator