MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem3 19469
Description: Lemma for lspprat 19473. In the first case of lsppratlem1 19467, since 𝑥 ∉ (𝑁‘∅), also 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥}), and since 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑥}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}), we have 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem3.x3 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19424 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspprat.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
54snssd 4526 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 lspprat.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 7lspssv 19301 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
93, 5, 8syl2anc 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
119, 10sseldd 3797 . . . . 5 (𝜑𝑥𝑉)
1211snssd 4526 . . . 4 (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
13 lspprat.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
14 lspprat.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1514pssssd 3899 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1613snssd 4526 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
1712, 16unssd 3985 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
196, 18, 7lspcl 19294 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
203, 17, 19syl2anc 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
21 df-pr 4369 . . . . . . . . 9 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
226, 7lspssid 19303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
233, 17, 22syl2anc 580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
2423unssbd 3987 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
25 ssun1 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋})
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋}))
276, 7lspss 19302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ({𝑥} ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑥} ⊆ ({𝑥} ∪ {𝑋})) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
283, 17, 26, 27syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
29 0ss 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ⊆ 𝑉
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑉)
31 uncom 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ∅)
32 un0 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑌} ∪ ∅) = {𝑌}
3331, 32eqtri 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∅ ∪ {𝑌}) = {𝑌}
3433fveq2i 6412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) = (𝑁‘{𝑌})
3510, 34syl6eleqr 2887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑥 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})))
36 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
3736eldifbd 3780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ { 0 })
38 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (0g𝑊)
3938, 7lsp0 19327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁‘∅) = { 0 })
4137, 40neleqtrrd 2898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘∅))
4235, 41eldifd 3778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘∅)))
436, 18, 7lspsolv 19462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉𝑌𝑉𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
441, 30, 4, 42, 43syl13anc 1492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
45 uncom 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
46 un0 4161 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
4745, 46eqtri 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
4847fveq2i 6412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
4944, 48syl6eleq 2886 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
5028, 49sseldd 3797 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5150snssd 4526 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5224, 51unssd 3985 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5321, 52syl5eqss 3843 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5418, 7lspssp 19306 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
553, 20, 53, 54syl3anc 1491 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5615, 55sstrd 3806 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})))
5756ssdifd 3942 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
58 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
5957, 58sseldd 3797 . . . 4 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
606, 18, 7lspsolv 19462 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉𝑋𝑉𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
611, 12, 13, 59, 60syl13anc 1492 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
62 df-pr 4369 . . . 4 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
6362fveq2i 6412 . . 3 (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
6461, 63syl6eleqr 2887 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
65 lspprat.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
666, 18lssss 19252 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑉)
6867ssdifssd 3944 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
6968, 58sseldd 3797 . . . . . . 7 (𝜑𝑦𝑉)
7069snssd 4526 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦} ⊆ 𝑉)
7112, 70unssd 3985 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑦}) ⊆ 𝑉)
7262, 71syl5eqss 3843 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
73 snsspr1 4531 . . . . 5 {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
7473a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦})
756, 7lspss 19302 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
763, 72, 74, 75syl3anc 1491 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
7776, 49sseldd 3797 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
7864, 77jca 508 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cdif 3764  cun 3765  wss 3767  wpss 3768  c0 4113  {csn 4366  {cpr 4368  cfv 6099  Basecbs 16181  0gc0g 16412  LModclmod 19178  LSubSpclss 19247  LSpanclspn 19289  LVecclvec 19420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-drng 19064  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-lvec 19421
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19471
  Copyright terms: Public domain W3C validator