MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsppratlem3 20907
Description: Lemma for lspprat 20911. In the first case of lsppratlem1 20905, since π‘₯ βˆ‰ (π‘β€˜βˆ…), also π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯}), and since 𝑦 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘₯}) and 𝑦 βˆ‰ (π‘β€˜{π‘₯}), we have 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspprat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspprat.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspprat.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspprat.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspprat.p (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
lsppratlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsppratlem1.x2 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
lsppratlem1.y2 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
lsppratlem3.x3 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦})))
Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20861 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspprat.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
54snssd 4811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
6 lspprat.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 lspprat.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
86, 7lspssv 20738 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
93, 5, 8syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
119, 10sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
1211snssd 4811 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯} βŠ† 𝑉)
13 lspprat.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 lspprat.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1514pssssd 4096 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1613snssd 4811 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
1712, 16unssd 4185 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉)
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
196, 18, 7lspcl 20731 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) ∈ 𝑆)
203, 17, 19syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) ∈ 𝑆)
21 df-pr 4630 . . . . . . . . 9 {𝑋, π‘Œ} = ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ})
226, 7lspssid 20740 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉) β†’ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
233, 17, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
2423unssbd 4187 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
25 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . 14 {π‘₯} βŠ† ({π‘₯} βˆͺ {𝑋})
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {π‘₯} βŠ† ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}))
276, 7lspss 20739 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ({π‘₯} βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉 ∧ {π‘₯} βŠ† ({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
283, 17, 26, 27syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
29 0ss 4395 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆ… βŠ† 𝑉
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ… βŠ† 𝑉)
31 uncom 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ… βˆͺ {π‘Œ}) = ({π‘Œ} βˆͺ βˆ…)
32 un0 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({π‘Œ} βˆͺ βˆ…) = {π‘Œ}
3331, 32eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ… βˆͺ {π‘Œ}) = {π‘Œ}
3433fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ})
3510, 34eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘Œ})))
36 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
3736eldifbd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ { 0 })
38 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3938, 7lsp0 20764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })
4137, 40neleqtrrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆ…))
4235, 41eldifd 3958 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜βˆ…)))
436, 18, 7lspsolv 20901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (βˆ… βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜βˆ…)))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})))
441, 30, 4, 42, 43syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})))
45 uncom 4152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ… βˆͺ {π‘₯}) = ({π‘₯} βˆͺ βˆ…)
46 un0 4389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({π‘₯} βˆͺ βˆ…) = {π‘₯}
4745, 46eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ… βˆͺ {π‘₯}) = {π‘₯}
4847fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})) = (π‘β€˜{π‘₯})
4944, 48eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯}))
5028, 49sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5150snssd 4811 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5224, 51unssd 4185 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({𝑋} βˆͺ {π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5321, 52eqsstrid 4029 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5418, 7lspssp 20743 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
553, 20, 53, 54syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5615, 55sstrd 3991 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})))
5756ssdifd 4139 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})) βŠ† ((π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
58 lsppratlem1.y2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
5957, 58sseldd 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ ((π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))
606, 18, 7lspsolv 20901 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ((π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑦})))
611, 12, 13, 59, 60syl13anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑦})))
62 df-pr 4630 . . . 4 {π‘₯, 𝑦} = ({π‘₯} βˆͺ {𝑦})
6362fveq2i 6893 . . 3 (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) = (π‘β€˜({π‘₯} βˆͺ {𝑦}))
6461, 63eleqtrrdi 2842 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
65 lspprat.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
666, 18lssss 20691 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
6867ssdifssd 4141 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ– (π‘β€˜{π‘₯})) βŠ† 𝑉)
6968, 58sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
7011, 69prssd 4824 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝑉)
71 snsspr1 4816 . . . . 5 {π‘₯} βŠ† {π‘₯, 𝑦}
7271a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯} βŠ† {π‘₯, 𝑦})
736, 7lspss 20739 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝑉 ∧ {π‘₯} βŠ† {π‘₯, 𝑦}) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
743, 70, 72, 73syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
7574, 49sseldd 3982 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}))
7664, 75jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘₯, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  βˆ…c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  20909
  Copyright terms: Public domain W3C validator