Theorem lspsslco 48307

Description: Lemma for lspeqlco 48309. (Contributed by AV, 17-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lspeqvlco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lspsslco	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Proof of Theorem lspsslco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
2		lspeqvlco.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3	2	pweqi 4589	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
4	3	eleq2i 2825	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
5		lincolss 48304	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀))
6	4, 5	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7		lcoss 48306	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))
8	4, 7	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))
9		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
11	9, 10	lspssp 20932	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))
12	1, 6, 8, 11	syl3anc 1372	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3924  𝒫 cpw 4573  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  Basecbs 17215  LModclmod 20804  LSubSpclss 20875  LSpanclspn 20915   LinCo clinco 48275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-iin 4968  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7666  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-supp 8155  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-2o 8476  df-er 8714  df-map 8837  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-fsupp 9369  df-oi 9517  df-card 9946  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-n0 12495  df-z 12582  df-uz 12846  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14010  df-hash 14339  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19750  df-abl 19751  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20806  df-lss 20876  df-lsp 20916  df-linc 48276  df-lco 48277

This theorem is referenced by:  lspeqlco  48309