Theorem lspsslco 48430

Description: Lemma for lspeqlco 48432. (Contributed by AV, 17-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lspeqvlco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lspsslco	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Proof of Theorem lspsslco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
2		lspeqvlco.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3	2	pweqi 4582	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
4	3	eleq2i 2821	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
5		lincolss 48427	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀))
6	4, 5	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7		lcoss 48429	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))
8	4, 7	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))
9		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
10		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
11	9, 10	lspssp 20901	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑀 LinCo 𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))
12	1, 6, 8, 11	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ⊆ (𝑀 LinCo 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  LSpanclspn 20884   LinCo clinco 48398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-linc 48399  df-lco 48400

This theorem is referenced by:  lspeqlco  48432