MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslspOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsslspOLD 20859
Description: Obsolete version of lsslsp 20858 as of 25-Apr-2025. Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) TODO: Shouldn't we swap π‘€β€˜πΊ and π‘β€˜πΊ since we are computing a property of π‘β€˜πΊ? (Like we say sin 0 = 0 and not 0 = sin 0.) - NM 15-Mar-2015. (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslsp.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
lsslsp.m 𝑀 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsslsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‹)
lsslsp.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsslspOLD ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) = (π‘β€˜πΊ))
Proof of Theorem lsslspOLD
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lsslsp.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
3 lsslsp.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lsslmod 20803 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
543adant3 1129 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
6 simp3 1135 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† π‘ˆ)
7 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
87, 3lssss 20779 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
983ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
102, 7ressbas2 17187 . . . . . . . 8 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
126, 11sseqtrd 4015 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹))
13 eqid 2724 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
14 eqid 2724 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‹) = (LSubSpβ€˜π‘‹)
15 lsslsp.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‹)
1613, 14, 15lspcl 20819 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
175, 12, 16syl2anc 583 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
182, 3, 14lsslss 20804 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
19183adant3 1129 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
2017, 19mpbid 231 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ))
2120simpld 494 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
2213, 15lspssid 20828 . . . 4 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ))
235, 12, 22syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ))
24 lsslsp.m . . . 4 𝑀 = (LSpanβ€˜π‘Š)
253, 24lspssp 20831 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ)) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† (π‘β€˜πΊ))
261, 21, 23, 25syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† (π‘β€˜πΊ))
276, 9sstrd 3985 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
287, 3, 24lspcl 20819 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
291, 27, 28syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
303, 24lspssp 20831 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)
312, 3, 14lsslss 20804 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
32313adant3 1129 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
3329, 30, 32mpbir2and 710 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
347, 24lspssid 20828 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
351, 27, 34syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
3614, 15lspssp 20831 . . 3 ((𝑋 ∈ LMod ∧ (π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ)) β†’ (π‘β€˜πΊ) βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
375, 33, 35, 36syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
3826, 37eqssd 3992 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) = (π‘β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator