Theorem lsslspOLD 21000

Description: Obsolete version of lsslsp 20999 as of 25-Apr-2025. Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) TODO: Shouldn't we swap 𝑀‘𝐺 and 𝑁‘𝐺 since we are computing a property of 𝑁‘𝐺? (Like we say sin 0 = 0 and not 0 = sin 0.) - NM 15-Mar-2015. (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslsp.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslsp.m	⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
lsslsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
lsslsp.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsslspOLD	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) = (𝑁‘𝐺))

Proof of Theorem lsslspOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsslsp.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		lsslsp.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lsslmod 20944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
5	4	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑋 ∈ LMod)
6		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ 𝑈)
7		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8	7, 3	lssss 20920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
9	8	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
10	2, 7	ressbas2 17197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
12	6, 11	sseqtrd 3959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
15		lsslsp.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
16	13, 14, 15	lspcl 20960	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → (𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
17	5, 12, 16	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
18	2, 3, 14	lsslss 20945	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
19	18	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
20	17, 19	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈))
21	20	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿)
22	13, 15	lspssid 20969	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺))
23	5, 12, 22	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺))
24		lsslsp.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
25	3, 24	lspssp 20972	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺)) → (𝑀‘𝐺) ⊆ (𝑁‘𝐺))
26	1, 21, 23, 25	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ⊆ (𝑁‘𝐺))
27	6, 9	sstrd 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
28	7, 3, 24	lspcl 20960	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿)
29	1, 27, 28	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿)
30	3, 24	lspssp 20972	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)
31	2, 3, 14	lsslss 20945	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
32	31	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
33	29, 30, 32	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
34	7, 24	lspssid 20969	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺))
35	1, 27, 34	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺))
36	14, 15	lspssp 20972	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺)) → (𝑁‘𝐺) ⊆ (𝑀‘𝐺))
37	5, 33, 35, 36	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ⊆ (𝑀‘𝐺))
38	26, 37	eqssd 3940	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) = (𝑁‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  LModclmod 20844  LSubSpclss 20915  LSpanclspn 20955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956

This theorem is referenced by: (None)