Theorem mrclsp 20951

Description: Moore closure generalizes module span. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrclsp.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
mrclsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
mrclsp.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mrclsp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐾 = 𝐹)

Proof of Theorem mrclsp

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		mrclsp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
3		mrclsp.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 20935	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐾 = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑏 ∈ 𝑈 ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}))
5	1, 2	lssmre 20928	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑈 ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)))
6		mrclsp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝑈)
7	6	mrcfval 17625	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑏 ∈ 𝑈 ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑏 ∈ 𝑈 ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}))
9	4, 8	eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐾 = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  ∩ cint 4927   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  Moorecmre 17599  mrClscmrc 17600  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LSpanclspn 20933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934

This theorem is referenced by:  lssacsex  21110  lbsacsbs  21122  mrcrsp  21207  lindsdom  37643  aacllem  49632