Theorem mrclsp 21088

Description: Moore closure generalizes module span. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrclsp.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
mrclsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
mrclsp.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
mrclsp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐾 = 𝐹)

Proof of Theorem mrclsp

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		mrclsp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑊)
3		mrclsp.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspfval 21072	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐾 = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑏 ∈ 𝑈 ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}))
5	1, 2	lssmre 21065	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑈 ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)))
6		mrclsp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝑈)
7	6	mrcfval 17664	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑏 ∈ 𝑈 ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↦ ∩ {𝑏 ∈ 𝑈 ∣ 𝑎 ⊆ 𝑏}))
9	4, 8	eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐾 = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  ∩ cint 4916   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  Moorecmre 17634  mrClscmrc 17635  LModclmod 20959  LSubSpclss 21030  LSpanclspn 21070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071

This theorem is referenced by:  lssacsex  21246  lbsacsbs  21258  mrcrsp  21349  lindsdom  38153  aacllem  50475