Theorem lsmsp 21018

Description: Subspace sum in terms of span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsmsp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Proof of Theorem lsmsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lsmsp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssss 20867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
5	4	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
6	2, 3	lssss 20867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
7	6	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8	5, 7	unssd 4142	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
9		lsmsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	2, 9	lspssid 20916	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
11	1, 8, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
12	11	unssad 4143	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
13	11	unssbd 4144	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
14	3	lsssssubg 20889	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19	15, 18	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20	2, 3, 9	lspcl 20907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ 𝑆)
21	1, 8, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ 𝑆)
22	15, 21	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
23		lsmsp.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
24	23	lsmlub 19574	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
25	17, 19, 22, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
26	12, 13, 25	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
27	3, 23	lsmcl 21015	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)
28	23	lsmunss 19569	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
29	17, 19, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
30	3, 9	lspssp 20919	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
31	1, 27, 29, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
32	26, 31	eqssd 3952	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  SubGrpcsubg 19030  LSSumclsm 19544  LModclmod 20791  LSubSpclss 20862  LSpanclspn 20902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-cntz 19227  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903

This theorem is referenced by:  lsmsp2  21019  lsmpr  21021  lsppr  21025  lsmidllsp  33360  islshpsm  39018  lshpnel2N  39023  lkrlsp3  39142  djhlsmcl  41452  dochsatshp  41489