Theorem lsmsp 19850

Description: Subspace sum in terms of span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsmsp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Proof of Theorem lsmsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lsmsp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssss 19700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
5	4	3ad2ant2 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
6	2, 3	lssss 19700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
7	6	3ad2ant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8	5, 7	unssd 4160	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
9		lsmsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	2, 9	lspssid 19749	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
11	1, 8, 10	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
12	11	unssad 4161	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
13	11	unssbd 4162	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
14	3	lsssssubg 19722	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15	14	3ad2ant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16		simp2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3966	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		simp3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19	15, 18	sseldd 3966	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20	2, 3, 9	lspcl 19740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ 𝑆)
21	1, 8, 20	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ 𝑆)
22	15, 21	sseldd 3966	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
23		lsmsp.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
24	23	lsmlub 18782	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
25	17, 19, 22, 24	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
26	12, 13, 25	mpbi2and 710	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
27	3, 23	lsmcl 19847	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)
28	23	lsmunss 18776	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
29	17, 19, 28	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
30	3, 9	lspssp 19752	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
31	1, 27, 29, 30	syl3anc 1366	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
32	26, 31	eqssd 3982	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3932   ⊆ wss 3934  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  SubGrpcsubg 18265  LSSumclsm 18751  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736

This theorem is referenced by:  lsmsp2  19851  lsmpr  19853  lsppr  19857  lsmidllsp  30943  islshpsm  36108  lshpnel2N  36113  lkrlsp3  36232  djhlsmcl  38542  dochsatshp  38579