Theorem lsmsp 20983

Description: Subspace sum in terms of span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsmsp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Proof of Theorem lsmsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lsmsp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssss 20832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
5	4	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
6	2, 3	lssss 20832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
7	6	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8	5, 7	unssd 4184	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
9		lsmsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	2, 9	lspssid 20881	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
11	1, 8, 10	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
12	11	unssad 4185	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
13	11	unssbd 4186	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
14	3	lsssssubg 20854	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15	14	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3977	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19	15, 18	sseldd 3977	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20	2, 3, 9	lspcl 20872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ 𝑆)
21	1, 8, 20	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ 𝑆)
22	15, 21	sseldd 3977	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
23		lsmsp.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
24	23	lsmlub 19631	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
25	17, 19, 22, 24	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
26	12, 13, 25	mpbi2and 710	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
27	3, 23	lsmcl 20980	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)
28	23	lsmunss 19626	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
29	17, 19, 28	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
30	3, 9	lspssp 20884	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
31	1, 27, 29, 30	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
32	26, 31	eqssd 3994	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  SubGrpcsubg 19083  LSSumclsm 19601  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868

This theorem is referenced by:  lsmsp2  20984  lsmpr  20986  lsppr  20990  lsmidllsp  33212  islshpsm  38582  lshpnel2N  38587  lkrlsp3  38706  djhlsmcl  41017  dochsatshp  41054