MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsmsp 20843
Description: Subspace sum in terms of span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsmsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsmsp.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsmsp ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
Proof of Theorem lsmsp
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lsmsp.s . . . . . . . 8 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lssss 20693 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ 𝑆 β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
543ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
62, 3lssss 20693 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
763ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
85, 7unssd 4187 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
9 lsmsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
102, 9lspssid 20742 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
111, 8, 10syl2anc 582 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
1211unssad 4188 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
1311unssbd 4189 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
143lsssssubg 20715 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
15143ad2ant1 1131 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
16 simp2 1135 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
1715, 16sseldd 3984 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
18 simp3 1136 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
1915, 18sseldd 3984 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
202, 3, 9lspcl 20733 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) ∈ 𝑆)
211, 8, 20syl2anc 582 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) ∈ 𝑆)
2215, 21sseldd 3984 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
23 lsmsp.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
2423lsmlub 19575 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑇 βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) ↔ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))))
2517, 19, 22, 24syl3anc 1369 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑇 βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))) ↔ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ))))
2612, 13, 25mpbi2and 708 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
273, 23lsmcl 20840 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ 𝑆)
2823lsmunss 19570 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
2917, 19, 28syl2anc 582 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
303, 9lspssp 20745 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 βˆͺ π‘ˆ) βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
311, 27, 29, 30syl3anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)) βŠ† (𝑇 βŠ• π‘ˆ))
3226, 31eqssd 4000 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  SubGrpcsubg 19038  LSSumclsm 19545  LModclmod 20616  LSubSpclss 20688  LSpanclspn 20728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-subg 19041  df-cntz 19224  df-lsm 19547  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-ur 20078  df-ring 20131  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729
This theorem is referenced by:  lsmsp2  20844  lsmpr  20846  lsppr  20850  lsmidllsp  32782  islshpsm  38155  lshpnel2N  38160  lkrlsp3  38279  djhlsmcl  40590  dochsatshp  40627
  Copyright terms: Public domain W3C validator