Theorem lsmsp 21391

Description: Subspace sum in terms of span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsp.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsmsp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Proof of Theorem lsmsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lsmsp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssss 21241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
6	2, 3	lssss 21241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
7	6	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
8	5, 7	unssd 4193	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
9		lsmsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	2, 9	lspssid 21290	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
11	1, 8, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
12	11	unssad 4194	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
13	11	unssbd 4195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
14	3	lsssssubg 21263	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19	15, 18	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20	2, 3, 9	lspcl 21281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ 𝑆)
21	1, 8, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ 𝑆)
22	15, 21	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
23		lsmsp.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
24	23	lsmlub 19908	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
25	17, 19, 22, 24	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑇 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))) ↔ (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈))))
26	12, 13, 25	mpbi2and 725	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
27	3, 23	lsmcl 21388	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆)
28	23	lsmunss 19903	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
29	17, 19, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
30	3, 9	lspssp 21293	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ 𝑆 ∧ (𝑇 ∪ 𝑈) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈)) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
31	1, 27, 29, 30	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
32	26, 31	eqssd 3930	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  SubGrpcsubg 19359  LSSumclsm 19878  LModclmod 21165  LSubSpclss 21236  LSpanclspn 21276

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cntz 19561  df-lsm 19880  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277

This theorem is used by:  lsmsp2  21392  lsmpr  21394  lsppr  21398  lsmidllsp  21567  islshpsm  40229  lshpnel2N  40234  lkrlsp3  40353  djhlsmcl  42663  dochsatshp  42700