MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslsp 19778
Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) TODO: Shouldn't we swap 𝑀𝐺 and 𝑁𝐺 since we are computing a property of 𝑁𝐺? (Like we say sin 0 = 0 and not 0 = sin 0.) - NM 15-Mar-2015.
Hypotheses
Ref Expression
lsslsp.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lsslsp.m 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
lsslsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
lsslsp.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsslsp ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) = (𝑁𝐺))

Proof of Theorem lsslsp
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
2 lsslsp.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
3 lsslsp.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lsslmod 19723 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
543adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑋 ∈ LMod)
6 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺𝑈)
7 eqid 2822 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
87, 3lssss 19699 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
983ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
102, 7ressbas2 16546 . . . . . . . 8 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
126, 11sseqtrd 3982 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋))
13 eqid 2822 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
14 eqid 2822 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
15 lsslsp.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
1613, 14, 15lspcl 19739 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → (𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
175, 12, 16syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
182, 3, 14lsslss 19724 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁𝐺) ⊆ 𝑈)))
19183adant3 1129 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → ((𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁𝐺) ⊆ 𝑈)))
2017, 19mpbid 235 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → ((𝑁𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁𝐺) ⊆ 𝑈))
2120simpld 498 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) ∈ 𝐿)
2213, 15lspssid 19748 . . . 4 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → 𝐺 ⊆ (𝑁𝐺))
235, 12, 22syl2anc 587 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑁𝐺))
24 lsslsp.m . . . 4 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
253, 24lspssp 19751 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝐺) ∈ 𝐿𝐺 ⊆ (𝑁𝐺)) → (𝑀𝐺) ⊆ (𝑁𝐺))
261, 21, 23, 25syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ⊆ (𝑁𝐺))
276, 9sstrd 3952 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
287, 3, 24lspcl 19739 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑀𝐺) ∈ 𝐿)
291, 27, 28syl2anc 587 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ∈ 𝐿)
303, 24lspssp 19751 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ⊆ 𝑈)
312, 3, 14lsslss 19724 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀𝐺) ⊆ 𝑈)))
32313adant3 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → ((𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀𝐺) ⊆ 𝑈)))
3329, 30, 32mpbir2and 712 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
347, 24lspssid 19748 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐺 ⊆ (𝑀𝐺))
351, 27, 34syl2anc 587 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑀𝐺))
3614, 15lspssp 19751 . . 3 ((𝑋 ∈ LMod ∧ (𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ 𝐺 ⊆ (𝑀𝐺)) → (𝑁𝐺) ⊆ (𝑀𝐺))
375, 33, 35, 36syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) ⊆ (𝑀𝐺))
3826, 37eqssd 3959 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) = (𝑁𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wss 3908  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  s cress 16475  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694  LSpanclspn 19734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735
This theorem is referenced by:  lss0v  19779  lsslindf  20517  islinds3  20521  lbslsat  31071  dimkerim  31080  lcdlsp  38875  islssfg  39944
  Copyright terms: Public domain W3C validator