MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsslsp 20860
Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) Terms in the equation were swapped as proposed by NM on 15-Mar-2015. (Revised by AV, 18-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslsp.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
lsslsp.m 𝑀 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsslsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‹)
lsslsp.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsslsp ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) = (π‘€β€˜πΊ))
Proof of Theorem lsslsp
StepHypRef Expression
1 lsslsp.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
2 lsslsp.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lsslmod 20805 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
433adant3 1129 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
5 simp1 1133 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 simp3 1135 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† π‘ˆ)
7 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
87, 2lssss 20781 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
983ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
106, 9sstrd 3987 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
11 lsslsp.m . . . . . 6 𝑀 = (LSpanβ€˜π‘Š)
127, 2, 11lspcl 20821 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
135, 10, 12syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
142, 11lspssp 20833 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘‹) = (LSubSpβ€˜π‘‹)
161, 2, 15lsslss 20806 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
17163adant3 1129 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
1813, 14, 17mpbir2and 710 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
197, 11lspssid 20830 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
205, 10, 19syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
21 lsslsp.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‹)
2215, 21lspssp 20833 . . 3 ((𝑋 ∈ LMod ∧ (π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ)) β†’ (π‘β€˜πΊ) βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
234, 18, 20, 22syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
241, 7ressbas2 17189 . . . . . . . 8 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
259, 24syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
266, 25sseqtrd 4017 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹))
27 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
2827, 15, 21lspcl 20821 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
294, 26, 28syl2anc 583 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
301, 2, 15lsslss 20806 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
31303adant3 1129 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
3229, 31mpbid 231 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ))
3332simpld 494 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
3427, 21lspssid 20830 . . . 4 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ))
354, 26, 34syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ))
362, 11lspssp 20833 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ)) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† (π‘β€˜πΊ))
375, 33, 35, 36syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† (π‘β€˜πΊ))
3823, 37eqssd 3994 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) = (π‘€β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  LSpanclspn 20816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817
This theorem is referenced by:  lss0v  20862  lsslindf  21721  islinds3  21725  lbslsat  33219  ply1degltdimlem  33225  dimkerim  33230  lcdlsp  41003  islssfg  42371
  Copyright terms: Public domain W3C validator