MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslsp 19716
Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) TODO: Shouldn't we swap 𝑀𝐺 and 𝑁𝐺 since we are computing a property of 𝑁𝐺? (Like we say sin 0 = 0 and not 0 = sin 0.) - NM 15-Mar-2015.
Hypotheses
Ref Expression
lsslsp.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lsslsp.m 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
lsslsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
lsslsp.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsslsp ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) = (𝑁𝐺))

Proof of Theorem lsslsp
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
2 lsslsp.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
3 lsslsp.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lsslmod 19661 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
543adant3 1124 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑋 ∈ LMod)
6 simp3 1130 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺𝑈)
7 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
87, 3lssss 19637 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
983ad2ant2 1126 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
102, 7ressbas2 16543 . . . . . . . 8 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
126, 11sseqtrd 4004 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋))
13 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
14 eqid 2818 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
15 lsslsp.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
1613, 14, 15lspcl 19677 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → (𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
175, 12, 16syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
182, 3, 14lsslss 19662 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁𝐺) ⊆ 𝑈)))
19183adant3 1124 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → ((𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁𝐺) ⊆ 𝑈)))
2017, 19mpbid 233 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → ((𝑁𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁𝐺) ⊆ 𝑈))
2120simpld 495 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) ∈ 𝐿)
2213, 15lspssid 19686 . . . 4 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → 𝐺 ⊆ (𝑁𝐺))
235, 12, 22syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑁𝐺))
24 lsslsp.m . . . 4 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
253, 24lspssp 19689 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝐺) ∈ 𝐿𝐺 ⊆ (𝑁𝐺)) → (𝑀𝐺) ⊆ (𝑁𝐺))
261, 21, 23, 25syl3anc 1363 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ⊆ (𝑁𝐺))
276, 9sstrd 3974 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
287, 3, 24lspcl 19677 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑀𝐺) ∈ 𝐿)
291, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ∈ 𝐿)
303, 24lspssp 19689 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ⊆ 𝑈)
312, 3, 14lsslss 19662 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀𝐺) ⊆ 𝑈)))
32313adant3 1124 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → ((𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀𝐺) ⊆ 𝑈)))
3329, 30, 32mpbir2and 709 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
347, 24lspssid 19686 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐺 ⊆ (𝑀𝐺))
351, 27, 34syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑀𝐺))
3614, 15lspssp 19689 . . 3 ((𝑋 ∈ LMod ∧ (𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ 𝐺 ⊆ (𝑀𝐺)) → (𝑁𝐺) ⊆ (𝑀𝐺))
375, 33, 35, 36syl3anc 1363 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) ⊆ (𝑀𝐺))
3826, 37eqssd 3981 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) = (𝑁𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673
This theorem is referenced by:  lss0v  19717  lsslindf  20902  islinds3  20906  lbslsat  30913  dimkerim  30922  lcdlsp  38637  islssfg  39548
  Copyright terms: Public domain W3C validator