Theorem lsslsp 20946

Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) Terms in the equation were swapped as proposed by NM on 15-Mar-2015. (Revised by AV, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslsp.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslsp.m	⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
lsslsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
lsslsp.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsslsp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) = (𝑀‘𝐺))

Proof of Theorem lsslsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslsp.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		lsslsp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslmod 20891	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
4	3	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑋 ∈ LMod)
5		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
6		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ 𝑈)
7		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8	7, 2	lssss 20867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
9	8	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
10	6, 9	sstrd 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
11		lsslsp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
12	7, 2, 11	lspcl 20907	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿)
13	5, 10, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿)
14	2, 11	lspssp 20919	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
16	1, 2, 15	lsslss 20892	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
17	16	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
18	13, 14, 17	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
19	7, 11	lspssid 20916	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺))
20	5, 10, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺))
21		lsslsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
22	15, 21	lspssp 20919	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺)) → (𝑁‘𝐺) ⊆ (𝑀‘𝐺))
23	4, 18, 20, 22	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ⊆ (𝑀‘𝐺))
24	1, 7	ressbas2 17146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
25	9, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
26	6, 25	sseqtrd 3971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋))
27		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
28	27, 15, 21	lspcl 20907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → (𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
29	4, 26, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
30	1, 2, 15	lsslss 20892	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
31	30	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
32	29, 31	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈))
33	32	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿)
34	27, 21	lspssid 20916	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺))
35	4, 26, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺))
36	2, 11	lspssp 20919	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺)) → (𝑀‘𝐺) ⊆ (𝑁‘𝐺))
37	5, 33, 35, 36	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ⊆ (𝑁‘𝐺))
38	23, 37	eqssd 3952	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) = (𝑀‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117   ↾_s cress 17138  LModclmod 20791  LSubSpclss 20862  LSpanclspn 20902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903

This theorem is referenced by:  lss0v  20948  lsslindf  21765  islinds3  21769  lbslsat  33624  ply1degltdimlem  33630  dimkerim  33635  dimlssid  33640  fldextrspunlem1  33683  lcdlsp  41659  islssfg  43102