Theorem lsslsp 21062

Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) Terms in the equation were swapped as proposed by NM on 15-Mar-2015. (Revised by AV, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslsp.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslsp.m	⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
lsslsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
lsslsp.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsslsp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) = (𝑀‘𝐺))

Proof of Theorem lsslsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslsp.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		lsslsp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslmod 21007	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
4	3	3adant3 1144	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑋 ∈ LMod)
5		simp1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
6		simp3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ 𝑈)
7		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8	7, 2	lssss 20983	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
9	8	3ad2ant2 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
10	6, 9	sstrd 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
11		lsslsp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
12	7, 2, 11	lspcl 21023	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿)
13	5, 10, 12	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿)
14	2, 11	lspssp 21035	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
16	1, 2, 15	lsslss 21008	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
17	16	3adant3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
18	13, 14, 17	mpbir2and 723	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
19	7, 11	lspssid 21032	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺))
20	5, 10, 19	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺))
21		lsslsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
22	15, 21	lspssp 21035	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺)) → (𝑁‘𝐺) ⊆ (𝑀‘𝐺))
23	4, 18, 20, 22	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ⊆ (𝑀‘𝐺))
24	1, 7	ressbas2 17257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
25	9, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
26	6, 25	sseqtrd 3972	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋))
27		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
28	27, 15, 21	lspcl 21023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → (𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
29	4, 26, 28	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
30	1, 2, 15	lsslss 21008	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
31	30	3adant3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
32	29, 31	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈))
33	32	simpld 498	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿)
34	27, 21	lspssid 21032	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺))
35	4, 26, 34	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺))
36	2, 11	lspssp 21035	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺)) → (𝑀‘𝐺) ⊆ (𝑁‘𝐺))
37	5, 33, 35, 36	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ⊆ (𝑁‘𝐺))
38	23, 37	eqssd 3953	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) = (𝑀‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249  LModclmod 20907  LSubSpclss 20978  LSpanclspn 21018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019

This theorem is referenced by:  lss0v  21063  lsslindf  21862  islinds3  21866  lbslsat  33874  ply1degltdimlem  33880  dimkerim  33885  dimlssid  33890  fldextrspunlem1  33933  lcdlsp  42209  islssfg  43611