MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsslsp 20618
Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) TODO: Shouldn't we swap π‘€β€˜πΊ and π‘β€˜πΊ since we are computing a property of π‘β€˜πΊ? (Like we say sin 0 = 0 and not 0 = sin 0.) - NM 15-Mar-2015.
Hypotheses
Ref Expression
lsslsp.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
lsslsp.m 𝑀 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsslsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‹)
lsslsp.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsslsp ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) = (π‘β€˜πΊ))
Proof of Theorem lsslsp
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lsslsp.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
3 lsslsp.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lsslmod 20563 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
543adant3 1132 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
6 simp3 1138 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† π‘ˆ)
7 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
87, 3lssss 20539 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
983ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
102, 7ressbas2 17178 . . . . . . . 8 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
126, 11sseqtrd 4021 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹))
13 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
14 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‹) = (LSubSpβ€˜π‘‹)
15 lsslsp.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‹)
1613, 14, 15lspcl 20579 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
175, 12, 16syl2anc 584 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
182, 3, 14lsslss 20564 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
19183adant3 1132 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
2017, 19mpbid 231 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ))
2120simpld 495 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
2213, 15lspssid 20588 . . . 4 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ))
235, 12, 22syl2anc 584 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ))
24 lsslsp.m . . . 4 𝑀 = (LSpanβ€˜π‘Š)
253, 24lspssp 20591 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ)) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† (π‘β€˜πΊ))
261, 21, 23, 25syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† (π‘β€˜πΊ))
276, 9sstrd 3991 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
287, 3, 24lspcl 20579 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
291, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
303, 24lspssp 20591 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)
312, 3, 14lsslss 20564 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
32313adant3 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
3329, 30, 32mpbir2and 711 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
347, 24lspssid 20588 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
351, 27, 34syl2anc 584 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
3614, 15lspssp 20591 . . 3 ((𝑋 ∈ LMod ∧ (π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ)) β†’ (π‘β€˜πΊ) βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
375, 33, 35, 36syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
3826, 37eqssd 3998 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) = (π‘β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575
This theorem is referenced by:  lss0v  20619  lsslindf  21376  islinds3  21380  lbslsat  32689  ply1degltdimlem  32695  dimkerim  32700  lcdlsp  40480  islssfg  41797
  Copyright terms: Public domain W3C validator