MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslsp 20988
Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) Terms in the equation were swapped as proposed by NM on 15-Mar-2015. (Revised by AV, 18-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslsp.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
lsslsp.m 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
lsslsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
lsslsp.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsslsp ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) = (𝑀𝐺))

Proof of Theorem lsslsp
StepHypRef Expression
1 lsslsp.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 lsslsp.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lsslmod 20933 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
433adant3 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑋 ∈ LMod)
5 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
6 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺𝑈)
7 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
87, 2lssss 20909 . . . . . . 7 (𝑈𝐿𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
983ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
106, 9sstrd 3989 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
11 lsslsp.m . . . . . 6 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
127, 2, 11lspcl 20949 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑀𝐺) ∈ 𝐿)
135, 10, 12syl2anc 582 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ∈ 𝐿)
142, 11lspssp 20961 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ⊆ 𝑈)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
161, 2, 15lsslss 20934 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀𝐺) ⊆ 𝑈)))
17163adant3 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → ((𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀𝐺) ⊆ 𝑈)))
1813, 14, 17mpbir2and 711 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
197, 11lspssid 20958 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐺 ⊆ (𝑀𝐺))
205, 10, 19syl2anc 582 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑀𝐺))
21 lsslsp.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
2215, 21lspssp 20961 . . 3 ((𝑋 ∈ LMod ∧ (𝑀𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ 𝐺 ⊆ (𝑀𝐺)) → (𝑁𝐺) ⊆ (𝑀𝐺))
234, 18, 20, 22syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) ⊆ (𝑀𝐺))
241, 7ressbas2 17246 . . . . . . . 8 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
259, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
266, 25sseqtrd 4019 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋))
27 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2827, 15, 21lspcl 20949 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → (𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
294, 26, 28syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
301, 2, 15lsslss 20934 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁𝐺) ⊆ 𝑈)))
31303adant3 1129 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → ((𝑁𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁𝐺) ⊆ 𝑈)))
3229, 31mpbid 231 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → ((𝑁𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁𝐺) ⊆ 𝑈))
3332simpld 493 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) ∈ 𝐿)
3427, 21lspssid 20958 . . . 4 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → 𝐺 ⊆ (𝑁𝐺))
354, 26, 34syl2anc 582 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑁𝐺))
362, 11lspssp 20961 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝐺) ∈ 𝐿𝐺 ⊆ (𝑁𝐺)) → (𝑀𝐺) ⊆ (𝑁𝐺))
375, 33, 35, 36syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑀𝐺) ⊆ (𝑁𝐺))
3823, 37eqssd 3996 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿𝐺𝑈) → (𝑁𝐺) = (𝑀𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3946  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  s cress 17237  LModclmod 20832  LSubSpclss 20904  LSpanclspn 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19113  df-mgp 20114  df-ur 20161  df-ring 20214  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945
This theorem is referenced by:  lss0v  20990  lsslindf  21824  islinds3  21828  lbslsat  33517  ply1degltdimlem  33523  dimkerim  33528  lcdlsp  41333  islssfg  42768
  Copyright terms: Public domain W3C validator