Theorem lsslsp 21173

Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) Terms in the equation were swapped as proposed by NM on 15-Mar-2015. (Revised by AV, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslsp.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslsp.m	⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
lsslsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
lsslsp.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsslsp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) = (𝑀‘𝐺))

Proof of Theorem lsslsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslsp.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		lsslsp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslmod 21118	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
4	3	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑋 ∈ LMod)
5		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
6		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ 𝑈)
7		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8	7, 2	lssss 21094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
9	8	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
10	6, 9	sstrd 3950	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
11		lsslsp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
12	7, 2, 11	lspcl 21134	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿)
13	5, 10, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿)
14	2, 11	lspssp 21146	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)
15		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
16	1, 2, 15	lsslss 21119	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
17	16	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
18	13, 14, 17	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
19	7, 11	lspssid 21143	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺))
20	5, 10, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺))
21		lsslsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
22	15, 21	lspssp 21146	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺)) → (𝑁‘𝐺) ⊆ (𝑀‘𝐺))
23	4, 18, 20, 22	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ⊆ (𝑀‘𝐺))
24	1, 7	ressbas2 17323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
25	9, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
26	6, 25	sseqtrd 3976	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋))
27		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
28	27, 15, 21	lspcl 21134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → (𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
29	4, 26, 28	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
30	1, 2, 15	lsslss 21119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
31	30	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
32	29, 31	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈))
33	32	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿)
34	27, 21	lspssid 21143	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺))
35	4, 26, 34	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺))
36	2, 11	lspssp 21146	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺)) → (𝑀‘𝐺) ⊆ (𝑁‘𝐺))
37	5, 33, 35, 36	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ⊆ (𝑁‘𝐺))
38	23, 37	eqssd 3957	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) = (𝑀‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  LModclmod 21018  LSubSpclss 21089  LSpanclspn 21129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-ring 20348  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130

This theorem is used by:  lss0v  21174  lsslindf  22017  islinds3  22021  lbslsat  34037  ply1degltdimlem  34043  dimkerim  34048  dimlssid  34053  fldextrspunlem1  34096  lcdlsp  42436  islssfg  43838