MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsslsp 20899
Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) Terms in the equation were swapped as proposed by NM on 15-Mar-2015. (Revised by AV, 18-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslsp.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
lsslsp.m 𝑀 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsslsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‹)
lsslsp.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsslsp ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) = (π‘€β€˜πΊ))
Proof of Theorem lsslsp
StepHypRef Expression
1 lsslsp.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
2 lsslsp.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lsslmod 20844 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
433adant3 1130 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
5 simp1 1134 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 simp3 1136 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† π‘ˆ)
7 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
87, 2lssss 20820 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
983ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
106, 9sstrd 3990 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
11 lsslsp.m . . . . . 6 𝑀 = (LSpanβ€˜π‘Š)
127, 2, 11lspcl 20860 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
135, 10, 12syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
142, 11lspssp 20872 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)
15 eqid 2728 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘‹) = (LSubSpβ€˜π‘‹)
161, 2, 15lsslss 20845 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
17163adant3 1130 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘€β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
1813, 14, 17mpbir2and 712 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
197, 11lspssid 20869 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
205, 10, 19syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
21 lsslsp.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‹)
2215, 21lspssp 20872 . . 3 ((𝑋 ∈ LMod ∧ (π‘€β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺 βŠ† (π‘€β€˜πΊ)) β†’ (π‘β€˜πΊ) βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
234, 18, 20, 22syl3anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) βŠ† (π‘€β€˜πΊ))
241, 7ressbas2 17218 . . . . . . . 8 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
259, 24syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
266, 25sseqtrd 4020 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹))
27 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
2827, 15, 21lspcl 20860 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
294, 26, 28syl2anc 583 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
301, 2, 15lsslss 20845 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
31303adant3 1130 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ↔ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ)))
3229, 31mpbid 231 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ (π‘β€˜πΊ) βŠ† π‘ˆ))
3332simpld 494 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿)
3427, 21lspssid 20869 . . . 4 ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 βŠ† (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ))
354, 26, 34syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ))
362, 11lspssp 20872 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜πΊ) ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† (π‘β€˜πΊ)) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† (π‘β€˜πΊ))
375, 33, 35, 36syl3anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜πΊ) βŠ† (π‘β€˜πΊ))
3823, 37eqssd 3997 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜πΊ) = (π‘€β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815  LSpanclspn 20855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856
This theorem is referenced by:  lss0v  20901  lsslindf  21764  islinds3  21768  lbslsat  33314  ply1degltdimlem  33320  dimkerim  33325  lcdlsp  41094  islssfg  42494
  Copyright terms: Public domain W3C validator