MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsp0 20848
Description: Span of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn0.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsn0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsp0 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })

Proof of Theorem lsp0
StepHypRef Expression
1 lspsn0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 eqid 2724 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lsssn0 20787 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
4 0ss 4389 . . . 4 βˆ… βŠ† { 0 }
5 lspsn0.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
62, 5lspssp 20827 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ… βŠ† { 0 }) β†’ (π‘β€˜βˆ…) βŠ† { 0 })
74, 6mp3an3 1446 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜βˆ…) βŠ† { 0 })
83, 7mpdan 684 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) βŠ† { 0 })
9 0ss 4389 . . . 4 βˆ… βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
10 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1110, 2, 5lspcl 20815 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆ… βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
129, 11mpan2 688 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
131, 2lss0ss 20788 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜βˆ…))
1412, 13mpdan 684 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜βˆ…))
158, 14eqssd 3992 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  {csn 4621  β€˜cfv 6534  Basecbs 17145  0gc0g 17386  LModclmod 20698  LSubSpclss 20770  LSpanclspn 20810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811
This theorem is referenced by:  lspuni0  20849  lss0v  20856  lspsnat  20988  lsppratlem3  20992  ocvz  21541  lindssn  32966  lvecdim0i  33172  lbslsat  33183
  Copyright terms: Public domain W3C validator