MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsp0 20887
Description: Span of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn0.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsn0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsp0 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })

Proof of Theorem lsp0
StepHypRef Expression
1 lspsn0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 eqid 2728 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lsssn0 20826 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
4 0ss 4393 . . . 4 βˆ… βŠ† { 0 }
5 lspsn0.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
62, 5lspssp 20866 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ… βŠ† { 0 }) β†’ (π‘β€˜βˆ…) βŠ† { 0 })
74, 6mp3an3 1447 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ { 0 } ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜βˆ…) βŠ† { 0 })
83, 7mpdan 686 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) βŠ† { 0 })
9 0ss 4393 . . . 4 βˆ… βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
10 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1110, 2, 5lspcl 20854 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆ… βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
129, 11mpan2 690 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
131, 2lss0ss 20827 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜βˆ…))
1412, 13mpdan 686 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜βˆ…))
158, 14eqssd 3996 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4319  {csn 4625  β€˜cfv 6543  Basecbs 17174  0gc0g 17415  LModclmod 20737  LSubSpclss 20809  LSpanclspn 20849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850
This theorem is referenced by:  lspuni0  20888  lss0v  20895  lspsnat  21027  lsppratlem3  21031  ocvz  21604  lindssn  33088  lvecdim0i  33294  lbslsat  33305
  Copyright terms: Public domain W3C validator