MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem4 21153
Description: Lemma for lspprat 21156. In the second case of lsppratlem1 21150, 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}) implies 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) and thus 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem4.x3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem4
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 21106 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspprat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspprat.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6 lspprat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7 lspprat.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
84, 5lssss 20935 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
109ssdifssd 4146 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
11 lsppratlem1.x2 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
1210, 11sseldd 3983 . . . . 5 (𝜑𝑥𝑉)
139ssdifssd 4146 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
14 lsppratlem1.y2 . . . . . 6 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
1513, 14sseldd 3983 . . . . 5 (𝜑𝑦𝑉)
164, 5, 6, 3, 12, 15lspprcl 20977 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17 df-pr 4628 . . . . 5 {𝑥, 𝑌} = ({𝑥} ∪ {𝑌})
18 snsspr1 4813 . . . . . . 7 {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
1912, 15prssd 4821 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
204, 6lspssid 20984 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
213, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
2218, 21sstrid 3994 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
2312snssd 4808 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
24 lspprat.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
25 lspprat.p . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2625pssssd 4099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
274, 5, 6, 3, 12, 24lspprcl 20977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆)
28 df-pr 4628 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
29 lsppratlem4.x3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3029snssd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
31 snsspr2 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑌} ⊆ {𝑥, 𝑌}
3212, 24prssd 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
334, 6lspssid 20984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
343, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3531, 34sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3630, 35unssd 4191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3728, 36eqsstrid 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
385, 6lspssp 20987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
393, 27, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
4026, 39sstrd 3993 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
4117fveq2i 6908 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌}))
4240, 41sseqtrdi 4023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})))
4342ssdifd 4144 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
4443, 14sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
454, 5, 6lspsolv 21146 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉𝑌𝑉𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
461, 23, 24, 44, 45syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
47 df-pr 4628 . . . . . . . . 9 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
4847fveq2i 6908 . . . . . . . 8 (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
4946, 48eleqtrrdi 2851 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5049snssd 4808 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5122, 50unssd 4191 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5217, 51eqsstrid 4021 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
535, 6lspssp 20987 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})) → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
543, 16, 52, 53syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5554, 29sseldd 3983 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5655, 49jca 511 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cdif 3947  cun 3948  wss 3950  wpss 3951  {csn 4625  {cpr 4627  cfv 6560  Basecbs 17248  0gc0g 17485  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LSpanclspn 20970  LVecclvec 21102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  21154
  Copyright terms: Public domain W3C validator