Theorem lsppratlem4 21020

Description: Lemma for lspprat 21023. In the second case of lsppratlem1 21017, 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}) implies 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) and thus 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem4.x3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20973	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspprat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspprat.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6		lspprat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspprat.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 5	lssss 20802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10	9	ssdifssd 4138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
11		lsppratlem1.x2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
12	10, 11	sseldd 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
13	9	ssdifssd 4138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
14		lsppratlem1.y2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
15	13, 14	sseldd 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ 𝑉)
16	4, 5, 6, 3, 12, 15	lspprcl 20844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17		df-pr 4627	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑌} = ({𝑥} ∪ {𝑌})
18		snsspr1 4813	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
19	12, 15	prssd 4821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
20	4, 6	lspssid 20851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
21	3, 19, 20	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
22	18, 21	sstrid 3989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
23	12	snssd 4808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
24		lspprat.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25		lspprat.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26	25	pssssd 4093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
27	4, 5, 6, 3, 12, 24	lspprcl 20844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆)
28		df-pr 4627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
29		lsppratlem4.x3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
30	29	snssd 4808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
31		snsspr2 4814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑌} ⊆ {𝑥, 𝑌}
32	12, 24	prssd 4821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
33	4, 6	lspssid 20851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
34	3, 32, 33	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
35	31, 34	sstrid 3989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
36	30, 35	unssd 4182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
37	28, 36	eqsstrid 4026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
38	5, 6	lspssp 20854	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
39	3, 27, 37, 38	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
40	26, 39	sstrd 3988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
41	17	fveq2i 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌}))
42	40, 41	sseqtrdi 4028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})))
43	42	ssdifd 4136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
44	43, 14	sseldd 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
45	4, 5, 6	lspsolv 21013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
46	1, 23, 24, 44, 45	syl13anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
47		df-pr 4627	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
48	47	fveq2i 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
49	46, 48	eleqtrrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
50	49	snssd 4808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
51	22, 50	unssd 4182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
52	17, 51	eqsstrid 4026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
53	5, 6	lspssp 20854	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})) → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
54	3, 16, 52, 53	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
55	54, 29	sseldd 3979	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
56	55, 49	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3941   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944   ⊊ wpss 3945  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6542  Basecbs 17165  0_gc0g 17406  LModclmod 20725  LSubSpclss 20797  LSpanclspn 20837  LVecclvec 20969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-drng 20608  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-lvec 20970

This theorem is referenced by:  lsppratlem5  21021