Theorem lsppratlem4 21143

Description: Lemma for lspprat 21146. In the second case of lsppratlem1 21140, 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}) implies 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) and thus 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem4.x3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21096	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspprat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspprat.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6		lspprat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspprat.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 5	lssss 20926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10	9	ssdifssd 4077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
11		lsppratlem1.x2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
12	10, 11	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
13	9	ssdifssd 4077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
14		lsppratlem1.y2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
15	13, 14	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ 𝑉)
16	4, 5, 6, 3, 12, 15	lspprcl 20968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17		df-pr 4558	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑌} = ({𝑥} ∪ {𝑌})
18		snsspr1 4745	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
19	12, 15	prssd 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
20	4, 6	lspssid 20975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
21	3, 19, 20	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
22	18, 21	sstrid 3926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
23	12	snssd 4718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
24		lspprat.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25		lspprat.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26	25	pssssd 4031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
27	4, 5, 6, 3, 12, 24	lspprcl 20968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆)
28		df-pr 4558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
29		lsppratlem4.x3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
30	29	snssd 4718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
31		snsspr2 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑌} ⊆ {𝑥, 𝑌}
32	12, 24	prssd 4753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
33	4, 6	lspssid 20975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
34	3, 32, 33	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
35	31, 34	sstrid 3926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
36	30, 35	unssd 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
37	28, 36	eqsstrid 3953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
38	5, 6	lspssp 20978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
39	3, 27, 37, 38	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
40	26, 39	sstrd 3925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
41	17	fveq2i 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌}))
42	40, 41	sseqtrdi 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})))
43	42	ssdifd 4075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
44	43, 14	sseldd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
45	4, 5, 6	lspsolv 21136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
46	1, 23, 24, 44, 45	syl13anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
47		df-pr 4558	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
48	47	fveq2i 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
49	46, 48	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
50	49	snssd 4718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
51	22, 50	unssd 4121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
52	17, 51	eqsstrid 3953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
53	5, 6	lspssp 20978	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})) → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
54	3, 16, 52, 53	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
55	54, 29	sseldd 3916	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
56	55, 49	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  {csn 4555  {cpr 4557  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961  LVecclvec 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21093

This theorem is referenced by:  lsppratlem5  21144