MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem4 19547
Description: Lemma for lspprat 19550. In the second case of lsppratlem1 19544, 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}) implies 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) and thus 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem4.x3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem4
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19501 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspprat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspprat.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6 lspprat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7 lspprat.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
84, 5lssss 19329 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
109ssdifssd 3971 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
11 lsppratlem1.x2 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
1210, 11sseldd 3822 . . . . 5 (𝜑𝑥𝑉)
139ssdifssd 3971 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
14 lsppratlem1.y2 . . . . . 6 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
1513, 14sseldd 3822 . . . . 5 (𝜑𝑦𝑉)
164, 5, 6, 3, 12, 15lspprcl 19373 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17 df-pr 4401 . . . . 5 {𝑥, 𝑌} = ({𝑥} ∪ {𝑌})
18 snsspr1 4576 . . . . . . 7 {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
19 prssi 4583 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑉𝑦𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
2012, 15, 19syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
214, 6lspssid 19380 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
223, 20, 21syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
2318, 22syl5ss 3832 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
2412snssd 4571 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
25 lspprat.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
26 lspprat.p . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2726pssssd 3926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
284, 5, 6, 3, 12, 25lspprcl 19373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆)
29 df-pr 4401 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
30 lsppratlem4.x3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3130snssd 4571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
32 snsspr2 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑌} ⊆ {𝑥, 𝑌}
33 prssi 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝑉𝑌𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
3412, 25, 33syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
354, 6lspssid 19380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
363, 34, 35syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3732, 36syl5ss 3832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3831, 37unssd 4012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3929, 38syl5eqss 3868 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
405, 6lspssp 19383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
413, 28, 39, 40syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
4227, 41sstrd 3831 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
4317fveq2i 6449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌}))
4442, 43syl6sseq 3870 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})))
4544ssdifd 3969 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
4645, 14sseldd 3822 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
474, 5, 6lspsolv 19539 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉𝑌𝑉𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
481, 24, 25, 46, 47syl13anc 1440 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
49 df-pr 4401 . . . . . . . . 9 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
5049fveq2i 6449 . . . . . . . 8 (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
5148, 50syl6eleqr 2870 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5251snssd 4571 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5323, 52unssd 4012 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5417, 53syl5eqss 3868 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
555, 6lspssp 19383 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})) → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
563, 16, 54, 55syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5756, 30sseldd 3822 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5857, 51jca 507 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cdif 3789  cun 3790  wss 3792  wpss 3793  {csn 4398  {cpr 4400  cfv 6135  Basecbs 16255  0gc0g 16486  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324  LSpanclspn 19366  LVecclvec 19497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19548
  Copyright terms: Public domain W3C validator