Theorem lsppratlem4 21148

Description: Lemma for lspprat 21151. In the second case of lsppratlem1 21145, 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}) implies 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) and thus 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem4.x3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21101	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspprat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspprat.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6		lspprat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspprat.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 5	lssss 20931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10	9	ssdifssd 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
11		lsppratlem1.x2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
12	10, 11	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
13	9	ssdifssd 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
14		lsppratlem1.y2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
15	13, 14	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ 𝑉)
16	4, 5, 6, 3, 12, 15	lspprcl 20973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17		df-pr 4570	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑌} = ({𝑥} ∪ {𝑌})
18		snsspr1 4757	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
19	12, 15	prssd 4765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
20	4, 6	lspssid 20980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
21	3, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
22	18, 21	sstrid 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
23	12	snssd 4730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
24		lspprat.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25		lspprat.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26	25	pssssd 4040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
27	4, 5, 6, 3, 12, 24	lspprcl 20973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆)
28		df-pr 4570	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
29		lsppratlem4.x3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
30	29	snssd 4730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
31		snsspr2 4758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑌} ⊆ {𝑥, 𝑌}
32	12, 24	prssd 4765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
33	4, 6	lspssid 20980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
34	3, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
35	31, 34	sstrid 3933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
36	30, 35	unssd 4132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
37	28, 36	eqsstrid 3960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
38	5, 6	lspssp 20983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
39	3, 27, 37, 38	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
40	26, 39	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
41	17	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌}))
42	40, 41	sseqtrdi 3962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})))
43	42	ssdifd 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
44	43, 14	sseldd 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
45	4, 5, 6	lspsolv 21141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
46	1, 23, 24, 44, 45	syl13anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
47		df-pr 4570	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
48	47	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
49	46, 48	eleqtrrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
50	49	snssd 4730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
51	22, 50	unssd 4132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
52	17, 51	eqsstrid 3960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
53	5, 6	lspssp 20983	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})) → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
54	3, 16, 52, 53	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
55	54, 29	sseldd 3922	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
56	55, 49	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890  {csn 4567  {cpr 4569  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  LVecclvec 21097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098

This theorem is referenced by:  lsppratlem5  21149