Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsppratlem4 19917
 Description: Lemma for lspprat 19920. In the second case of lsppratlem1 19914, 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}) implies 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) and thus 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u (𝜑𝑈𝑆)
lspprat.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprat.y (𝜑𝑌𝑉)
lspprat.p (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o 0 = (0g𝑊)
lsppratlem1.x2 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem4.x3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lsppratlem4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem4
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19873 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspprat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspprat.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6 lspprat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7 lspprat.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑆)
84, 5lssss 19703 . . . . . . . 8 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
109ssdifssd 4105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
11 lsppratlem1.x2 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
1210, 11sseldd 3954 . . . . 5 (𝜑𝑥𝑉)
139ssdifssd 4105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
14 lsppratlem1.y2 . . . . . 6 (𝜑𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
1513, 14sseldd 3954 . . . . 5 (𝜑𝑦𝑉)
164, 5, 6, 3, 12, 15lspprcl 19745 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17 df-pr 4553 . . . . 5 {𝑥, 𝑌} = ({𝑥} ∪ {𝑌})
18 snsspr1 4732 . . . . . . 7 {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
1912, 15prssd 4740 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
204, 6lspssid 19752 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
213, 19, 20syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
2218, 21sstrid 3964 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
2312snssd 4727 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
24 lspprat.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
25 lspprat.p . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2625pssssd 4060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
274, 5, 6, 3, 12, 24lspprcl 19745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆)
28 df-pr 4553 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
29 lsppratlem4.x3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3029snssd 4727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
31 snsspr2 4733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑌} ⊆ {𝑥, 𝑌}
3212, 24prssd 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
334, 6lspssid 19752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
343, 32, 33syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3531, 34sstrid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3630, 35unssd 4148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
3728, 36eqsstrid 4001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
385, 6lspssp 19755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
393, 27, 37, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
4026, 39sstrd 3963 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
4117fveq2i 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌}))
4240, 41sseqtrdi 4003 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})))
4342ssdifd 4103 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
4443, 14sseldd 3954 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
454, 5, 6lspsolv 19910 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉𝑌𝑉𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
461, 23, 24, 44, 45syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
47 df-pr 4553 . . . . . . . . 9 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
4847fveq2i 6662 . . . . . . . 8 (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
4946, 48eleqtrrdi 2927 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5049snssd 4727 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5122, 50unssd 4148 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5217, 51eqsstrid 4001 . . . 4 (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
535, 6lspssp 19755 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})) → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
543, 16, 52, 53syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5554, 29sseldd 3954 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
5655, 49jca 515 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∖ cdif 3916   ∪ cun 3917   ⊆ wss 3919   ⊊ wpss 3920  {csn 4550  {cpr 4552  ‘cfv 6344  Basecbs 16481  0gc0g 16711  LModclmod 19629  LSubSpclss 19698  LSpanclspn 19738  LVecclvec 19869 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-0g 16713  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-cmn 18906  df-abl 18907  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-oppr 19371  df-dvdsr 19389  df-unit 19390  df-invr 19420  df-drng 19499  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-lvec 19870 This theorem is referenced by:  lsppratlem5  19918
 Copyright terms: Public domain W3C validator