Theorem lsppratlem4 21116

Description: Lemma for lspprat 21119. In the second case of lsppratlem1 21113, 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}) implies 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) and thus 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem4.x3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21069	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspprat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspprat.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6		lspprat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspprat.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 5	lssss 20898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10	9	ssdifssd 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
11		lsppratlem1.x2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
12	10, 11	sseldd 3964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
13	9	ssdifssd 4127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
14		lsppratlem1.y2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
15	13, 14	sseldd 3964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ 𝑉)
16	4, 5, 6, 3, 12, 15	lspprcl 20940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17		df-pr 4609	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑌} = ({𝑥} ∪ {𝑌})
18		snsspr1 4795	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
19	12, 15	prssd 4803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
20	4, 6	lspssid 20947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
21	3, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
22	18, 21	sstrid 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
23	12	snssd 4790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
24		lspprat.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25		lspprat.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26	25	pssssd 4080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
27	4, 5, 6, 3, 12, 24	lspprcl 20940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆)
28		df-pr 4609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
29		lsppratlem4.x3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
30	29	snssd 4790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
31		snsspr2 4796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑌} ⊆ {𝑥, 𝑌}
32	12, 24	prssd 4803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
33	4, 6	lspssid 20947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
34	3, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
35	31, 34	sstrid 3975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
36	30, 35	unssd 4172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
37	28, 36	eqsstrid 4002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
38	5, 6	lspssp 20950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
39	3, 27, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
40	26, 39	sstrd 3974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
41	17	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌}))
42	40, 41	sseqtrdi 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})))
43	42	ssdifd 4125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
44	43, 14	sseldd 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
45	4, 5, 6	lspsolv 21109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
46	1, 23, 24, 44, 45	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
47		df-pr 4609	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
48	47	fveq2i 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
49	46, 48	eleqtrrdi 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
50	49	snssd 4790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
51	22, 50	unssd 4172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
52	17, 51	eqsstrid 4002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
53	5, 6	lspssp 20950	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})) → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
54	3, 16, 52, 53	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
55	54, 29	sseldd 3964	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
56	55, 49	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931   ⊊ wpss 3932  {csn 4606  {cpr 4608  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LSpanclspn 20933  LVecclvec 21065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lvec 21066

This theorem is referenced by:  lsppratlem5  21117