Theorem lsppratlem4 21479

Description: Lemma for lspprat 21482. In the second case of lsppratlem1 21476, 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) and 𝑦 ∉ (𝑁‘{𝑥}) implies 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) and thus 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspprat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspprat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspprat.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprat.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspprat.p	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
lsppratlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsppratlem1.x2	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
lsppratlem1.y2	⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
lsppratlem4.x3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lsppratlem4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

Proof of Theorem lsppratlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprat.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21432	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspprat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspprat.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6		lspprat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspprat.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 5	lssss 21262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10	9	ssdifssd 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
11		lsppratlem1.x2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
12	10, 11	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
13	9	ssdifssd 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ 𝑉)
14		lsppratlem1.y2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})))
15	13, 14	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ 𝑉)
16	4, 5, 6, 3, 12, 15	lspprcl 21304	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆)
17		df-pr 4591	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑌} = ({𝑥} ∪ {𝑌})
18		snsspr1 4775	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ⊆ {𝑥, 𝑦}
19	12, 15	prssd 4783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉)
20	4, 6	lspssid 21311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
21	3, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
22	18, 21	sstrid 3924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
23	12	snssd 4749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑥} ⊆ 𝑉)
24		lspprat.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25		lspprat.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊊ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26	25	pssssd 4030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
27	4, 5, 6, 3, 12, 24	lspprcl 21304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆)
28		df-pr 4591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
29		lsppratlem4.x3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
30	29	snssd 4749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
31		snsspr2 4776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑌} ⊆ {𝑥, 𝑌}
32	12, 24	prssd 4783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉)
33	4, 6	lspssid 21311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
34	3, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
35	31, 34	sstrid 3924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
36	30, 35	unssd 4193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
37	28, 36	eqsstrid 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
38	5, 6	lspssp 21314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
39	3, 27, 37, 38	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
40	26, 39	sstrd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}))
41	17	fveq2i 6919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌}))
42	40, 41	sseqtrdi 3953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})))
43	42	ssdifd 4084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ (𝑁‘{𝑥})) ⊆ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
44	43, 14	sseldd 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))
45	4, 5, 6	lspsolv 21472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁‘{𝑥})))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
46	1, 23, 24, 44, 45	syl13anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦})))
47		df-pr 4591	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
48	47	fveq2i 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑁‘({𝑥} ∪ {𝑦}))
49	46, 48	eleqtrrdi 2875	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
50	49	snssd 4749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
51	22, 50	unssd 4193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝑥} ∪ {𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
52	17, 51	eqsstrid 3951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
53	5, 6	lspssp 21314	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})) → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
54	3, 16, 52, 53	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
55	54, 29	sseldd 3914	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}))
56	55, 49	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑥, 𝑦})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  LSpanclspn 21297  LVecclvec 21428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429

This theorem is used by:  lsppratlem5  21480