Theorem lsw 14612

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3509	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6933	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6927	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 14611	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 7027	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 585	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   − cmin 11520  ♯chash 14379  lastSclsw 14610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-lsw 14611

This theorem is referenced by:  lsw0  14613  lsw1  14615  lswcl  14616  ccatval1lsw  14632  lswccatn0lsw  14639  swrdlsw  14715  pfxfvlsw  14743  repswlsw  14830  lswcshw  14863  lswco  14888  lsws2  14953  lsws3  14954  lsws4  14955  wrdl2exs2  14995  swrd2lsw  15001  psgnunilem5  19536  wlkonwlk1l  29699  wwlknlsw  29880  wwlksnext  29926  wwlksnredwwlkn  29928  wwlksnextproplem2  29943  clwlkclwwlklem2a1  30024  clwlkclwwlklem2a3  30026  clwlkclwwlklem2a4  30029  clwlkclwwlklem2  30032  clwwisshclwwslem  30046  clwwlknlbonbgr1  30071  clwwlkn2  30076  clwwlkel  30078  clwwlkf  30079  clwwlkwwlksb  30086  clwwlknonex2lem2  30140  2clwwlk2clwwlklem  30378  numclwwlk1lem2f1  30389  pfxlsw2ccat  32917  chnind  32983  chnub  32984  wrdpmtrlast  33086  iwrdsplit  34352  signsvtn0  34547  signstfveq0  34554  lswn0  47318  grtriclwlk3  47796