Theorem lsw 14601

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3484	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6895	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6889	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 14600	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 6988	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 597	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101   − cmin 11441  ♯chash 14366  lastSclsw 14599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7414  df-lsw 14600

This theorem is referenced by:  lsw0  14602  lsw1  14604  lswcl  14605  ccatval1lsw  14622  lswccatn0lsw  14629  swrdlsw  14705  pfxfvlsw  14732  repswlsw  14819  lswcshw  14852  lswco  14876  lsws2  14941  lsws3  14942  lsws4  14943  wrdl2exs2  14983  swrd2lsw  14989  chnind  18677  chnub  18678  chnccats1  18681  chnccat  18682  psgnunilem5  19564  wlkonwlk1l  29952  wwlknlsw  30137  wwlksnext  30183  wwlksnredwwlkn  30185  wwlksnextproplem2  30200  clwlkclwwlklem2a1  30284  clwlkclwwlklem2a3  30286  clwlkclwwlklem2a4  30289  clwlkclwwlklem2  30292  clwwisshclwwslem  30306  clwwlknlbonbgr1  30331  clwwlkn2  30336  clwwlkel  30338  clwwlkf  30339  clwwlkwwlksb  30346  clwwlknonex2lem2  30400  2clwwlk2clwwlklem  30638  numclwwlk1lem2f1  30649  pfxlsw2ccat  33211  wrdpmtrlast  33354  iwrdsplit  34722  signsvtn0  34902  signstfveq0  34909  nthrucw  47494  lswn0  48082  grtriclwlk3  48599