Theorem lsw 14750

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3475	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6929	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6923	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 14749	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 7022	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 598	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   − cmin 11580  ♯chash 14515  lastSclsw 14748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-lsw 14749

This theorem is used by:  lsw0  14751  lsw1  14753  lswcl  14754  ccatval1lsw  14771  lswccatn0lsw  14779  swrdlsw  14859  pfxfvlsw  14886  repswlsw  14975  lswcshw  15008  lswco  15032  lsws2  15098  lsws3  15099  lsws4  15100  wrdl2exs2  15140  swrd2lsw  15148  chnind  18845  chnub  18846  chnccats1  18849  chnccat  18850  psgnunilem5  19759  wlkonwlk1l  30299  wwlknlsw  30493  wwlksnext  30539  wwlksnredwwlkn  30541  wwlksnextproplem2  30556  clwlkclwwlklem2a1  30640  clwlkclwwlklem2a3  30642  clwlkclwwlklem2a4  30645  clwlkclwwlklem2  30648  clwwisshclwwslem  30662  clwwlknlbonbgr1  30687  clwwlkn2  30692  clwwlkel  30694  clwwlkf  30695  clwwlkwwlksb  30702  clwwlknonex2lem2  30756  2clwwlk2clwwlklem  31004  numclwwlk1lem2f1  31015  pfxlsw2ccat  33609  wrdpmtrlast  33753  iwrdsplit  35130  signsvtn0  35310  signstfveq0  35317  numtowerdt  48189  lswn0  48799  grtriclwlk3  49316