Theorem lsw 13907

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3459	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6658	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6652	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 13906	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 6743	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 589	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10527   − cmin 10859  ♯chash 13686  lastSclsw 13905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-lsw 13906

This theorem is referenced by:  lsw0  13908  lsw1  13910  lswcl  13911  ccatval1lsw  13929  lswccatn0lsw  13936  swrdlsw  14020  pfxfvlsw  14048  repswlsw  14135  lswcshw  14168  lswco  14192  lsws2  14257  lsws3  14258  lsws4  14259  wrdl2exs2  14299  swrd2lsw  14305  psgnunilem5  18614  wlkonwlk1l  27453  wwlknlsw  27633  wwlksnext  27679  wwlksnredwwlkn  27681  wwlksnextproplem2  27696  clwlkclwwlklem2a1  27777  clwlkclwwlklem2a3  27779  clwlkclwwlklem2a4  27782  clwlkclwwlklem2  27785  clwwisshclwwslem  27799  clwwlknlbonbgr1  27824  clwwlkn2  27829  clwwlkel  27831  clwwlkf  27832  clwwlkwwlksb  27839  clwwlknonex2lem2  27893  2clwwlk2clwwlklem  28131  numclwwlk1lem2f1  28142  pfxlsw2ccat  30652  iwrdsplit  31755  signsvtn0  31950  signstfveq0  31957  lswn0  43961