Theorem lsw 14577

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3475	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6880	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 7411	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6874	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 14576	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 6973	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 595	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1c1 11074   − cmin 11414  ♯chash 14343  lastSclsw 14575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-lsw 14576

This theorem is referenced by:  lsw0  14578  lsw1  14580  lswcl  14581  ccatval1lsw  14598  lswccatn0lsw  14605  swrdlsw  14681  pfxfvlsw  14708  repswlsw  14795  lswcshw  14828  lswco  14852  lsws2  14917  lsws3  14918  lsws4  14919  wrdl2exs2  14959  swrd2lsw  14965  chnind  18653  chnub  18654  chnccats1  18657  chnccat  18658  psgnunilem5  19534  wlkonwlk1l  29862  wwlknlsw  30047  wwlksnext  30093  wwlksnredwwlkn  30095  wwlksnextproplem2  30110  clwlkclwwlklem2a1  30194  clwlkclwwlklem2a3  30196  clwlkclwwlklem2a4  30199  clwlkclwwlklem2  30202  clwwisshclwwslem  30216  clwwlknlbonbgr1  30241  clwwlkn2  30246  clwwlkel  30248  clwwlkf  30249  clwwlkwwlksb  30256  clwwlknonex2lem2  30310  2clwwlk2clwwlklem  30548  numclwwlk1lem2f1  30559  pfxlsw2ccat  33128  wrdpmtrlast  33273  iwrdsplit  34684  signsvtn0  34864  signstfveq0  34871  nthrucw  47462  lswn0  48050  grtriclwlk3  48567