Theorem lsw 14597

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3476	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6894	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6888	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 14596	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 6987	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 597	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11096   − cmin 11436  ♯chash 14362  lastSclsw 14595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-lsw 14596

This theorem is referenced by:  lsw0  14598  lsw1  14600  lswcl  14601  ccatval1lsw  14618  lswccatn0lsw  14625  swrdlsw  14701  pfxfvlsw  14728  repswlsw  14815  lswcshw  14848  lswco  14872  lsws2  14937  lsws3  14938  lsws4  14939  wrdl2exs2  14979  swrd2lsw  14985  chnind  18672  chnub  18673  chnccats1  18676  chnccat  18677  psgnunilem5  19559  wlkonwlk1l  30011  wwlknlsw  30196  wwlksnext  30242  wwlksnredwwlkn  30244  wwlksnextproplem2  30259  clwlkclwwlklem2a1  30343  clwlkclwwlklem2a3  30345  clwlkclwwlklem2a4  30348  clwlkclwwlklem2  30351  clwwisshclwwslem  30365  clwwlknlbonbgr1  30390  clwwlkn2  30395  clwwlkel  30397  clwwlkf  30398  clwwlkwwlksb  30405  clwwlknonex2lem2  30459  2clwwlk2clwwlklem  30697  numclwwlk1lem2f1  30708  pfxlsw2ccat  33270  wrdpmtrlast  33413  iwrdsplit  34777  signsvtn0  34957  signstfveq0  34964  nthrucw  47627  lswn0  48213  grtriclwlk3  48730