Theorem lsw 13910

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3512	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6677	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6671	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 13909	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 6760	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 588	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1c1 10532   − cmin 10864  ♯chash 13684  lastSclsw 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-ov 7153  df-lsw 13909

This theorem is referenced by:  lsw0  13911  lsw1  13913  lswcl  13914  ccatval1lsw  13932  lswccatn0lsw  13939  swrdlsw  14023  pfxfvlsw  14051  repswlsw  14138  lswcshw  14171  lswco  14195  lsws2  14260  lsws3  14261  lsws4  14262  wrdl2exs2  14302  swrd2lsw  14308  psgnunilem5  18616  wlkonwlk1l  27439  wwlknlsw  27619  wwlksnext  27665  wwlksnredwwlkn  27667  wwlksnextproplem2  27683  clwlkclwwlklem2a1  27764  clwlkclwwlklem2a3  27766  clwlkclwwlklem2a4  27769  clwlkclwwlklem2  27772  clwwisshclwwslem  27786  clwwlknlbonbgr1  27811  clwwlkn2  27816  clwwlkel  27819  clwwlkf  27820  clwwlkwwlksb  27827  clwwlknonex2lem2  27881  2clwwlk2clwwlklem  28119  numclwwlk1lem2f1  28130  pfxlsw2ccat  30621  iwrdsplit  31640  signsvtn0  31835  signstfveq0  31842  lswn0  43598