Theorem lsw 14526

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3450	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6853	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6847	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 14525	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 6945	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 587	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   − cmin 11377  ♯chash 14292  lastSclsw 14524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-lsw 14525

This theorem is referenced by:  lsw0  14527  lsw1  14529  lswcl  14530  ccatval1lsw  14547  lswccatn0lsw  14554  swrdlsw  14630  pfxfvlsw  14657  repswlsw  14744  lswcshw  14777  lswco  14801  lsws2  14866  lsws3  14867  lsws4  14868  wrdl2exs2  14908  swrd2lsw  14914  chnind  18587  chnub  18588  chnccats1  18591  chnccat  18592  psgnunilem5  19469  wlkonwlk1l  29730  wwlknlsw  29915  wwlksnext  29961  wwlksnredwwlkn  29963  wwlksnextproplem2  29978  clwlkclwwlklem2a1  30062  clwlkclwwlklem2a3  30064  clwlkclwwlklem2a4  30067  clwlkclwwlklem2  30070  clwwisshclwwslem  30084  clwwlknlbonbgr1  30109  clwwlkn2  30114  clwwlkel  30116  clwwlkf  30117  clwwlkwwlksb  30124  clwwlknonex2lem2  30178  2clwwlk2clwwlklem  30416  numclwwlk1lem2f1  30427  pfxlsw2ccat  33010  wrdpmtrlast  33154  iwrdsplit  34531  signsvtn0  34714  signstfveq0  34721  nthrucw  47316  lswn0  47904  grtriclwlk3  48421