Theorem lsw 14517

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3452	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6840	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6834	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 14516	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 6933	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 592	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030   − cmin 11368  ♯chash 14283  lastSclsw 14515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-ov 7359  df-lsw 14516

This theorem is referenced by:  lsw0  14518  lsw1  14520  lswcl  14521  ccatval1lsw  14538  lswccatn0lsw  14545  swrdlsw  14621  pfxfvlsw  14648  repswlsw  14735  lswcshw  14768  lswco  14792  lsws2  14857  lsws3  14858  lsws4  14859  wrdl2exs2  14899  swrd2lsw  14905  chnind  18578  chnub  18579  chnccats1  18582  chnccat  18583  psgnunilem5  19460  wlkonwlk1l  29748  wwlknlsw  29933  wwlksnext  29979  wwlksnredwwlkn  29981  wwlksnextproplem2  29996  clwlkclwwlklem2a1  30080  clwlkclwwlklem2a3  30082  clwlkclwwlklem2a4  30085  clwlkclwwlklem2  30088  clwwisshclwwslem  30102  clwwlknlbonbgr1  30127  clwwlkn2  30132  clwwlkel  30134  clwwlkf  30135  clwwlkwwlksb  30142  clwwlknonex2lem2  30196  2clwwlk2clwwlklem  30434  numclwwlk1lem2f1  30445  pfxlsw2ccat  33029  wrdpmtrlast  33174  iwrdsplit  34571  signsvtn0  34754  signstfveq0  34761  nthrucw  47331  lswn0  47919  grtriclwlk3  48436