Theorem lsw 14471

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3457	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6835	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6829	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 14470	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 6927	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 586	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11007   − cmin 11344  ♯chash 14237  lastSclsw 14469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-lsw 14470

This theorem is referenced by:  lsw0  14472  lsw1  14474  lswcl  14475  ccatval1lsw  14492  lswccatn0lsw  14499  swrdlsw  14575  pfxfvlsw  14602  repswlsw  14689  lswcshw  14722  lswco  14746  lsws2  14811  lsws3  14812  lsws4  14813  wrdl2exs2  14853  swrd2lsw  14859  chnind  18527  chnub  18528  chnccats1  18531  chnccat  18532  psgnunilem5  19406  wlkonwlk1l  29640  wwlknlsw  29825  wwlksnext  29871  wwlksnredwwlkn  29873  wwlksnextproplem2  29888  clwlkclwwlklem2a1  29972  clwlkclwwlklem2a3  29974  clwlkclwwlklem2a4  29977  clwlkclwwlklem2  29980  clwwisshclwwslem  29994  clwwlknlbonbgr1  30019  clwwlkn2  30024  clwwlkel  30026  clwwlkf  30027  clwwlkwwlksb  30034  clwwlknonex2lem2  30088  2clwwlk2clwwlklem  30326  numclwwlk1lem2f1  30337  pfxlsw2ccat  32931  wrdpmtrlast  33062  iwrdsplit  34400  signsvtn0  34583  signstfveq0  34590  nthrucw  46994  lswn0  47554  grtriclwlk3  48055