Theorem lsw 13631

Description: Extract the last symbol of a word. May be not meaningful for other sets which are not words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lsw	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem lsw

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3429	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → 𝑊 ∈ V)
2		fvex 6450	. 2 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
4		fveq2 6437	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq1d 6925	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	3, 5	fveq12d 6444	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
7		df-lsw 13630	. . 3 ⊢ lastS = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑤‘((♯‘𝑤) − 1)))
8	6, 7	fvmptg 6531	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ V) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
9	1, 2, 8	sylancl 580	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  1c1 10260   − cmin 10592  ♯chash 13417  lastSclsw 13629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pr 5129

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fv 6135  df-ov 6913  df-lsw 13630

This theorem is referenced by:  lsw0  13632  lsw1  13634  lswcl  13635  ccatval1lsw  13651  lswccatn0lsw  13658  swrd0fvlswOLD  13739  swrdlsw  13749  pfxfvlsw  13781  swrdccatwrdOLD  13807  repswlsw  13905  lswcshw  13943  lswco  13967  lsws2  14032  lsws3  14033  lsws4  14034  wrdl2exs2  14074  swrd2lsw  14080  psgnunilem5  18271  psgnunilem5OLD  18272  wlkonwlk1l  26967  wwlknlsw  27153  wwlksnext  27211  wwlksnredwwlkn  27214  wwlksnredwwlknOLD  27215  wwlksnextproplem2  27241  wwlksnextproplem2OLD  27242  clwlkclwwlklem2a1  27328  clwlkclwwlklem2a3  27330  clwlkclwwlklem2a4  27333  clwlkclwwlklem2  27336  clwwisshclwwslem  27359  clwwlknlbonbgr1  27384  clwwlkn2  27390  clwwlkel  27392  clwwlkfOLD  27393  clwwlkf  27398  clwwlkwwlksb  27406  clwwlknonex2lem2  27479  2clwwlk2clwwlklem  27726  numclwwlk1lem2f1  27744  numclwwlk1lem2f1OLD  27749  iwrdsplit  30990  iwrdsplitOLD  30991  signsvtn0  31190  signsvtn0OLD  31191  signstfveq0  31198  signstfveq0OLD  31199  lswn0  42266