Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxlsw2ccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxlsw2ccat 32621
Description: Reconstruct a word from its prefix and its last two symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pfxlsw2ccat.n 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pfxlsw2ccat ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))

Proof of Theorem pfxlsw2ccat
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
2 simpr 484 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ≀ 𝑁)
3 pfxlsw2ccat.n . . . . . 6 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)
42, 3breqtrdi 5182 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š))
5 wrdlenge2n0 14508 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
61, 4, 5syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
7 pfxlswccat 14669 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©) = π‘Š)
81, 6, 7syl2anc 583 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©) = π‘Š)
9 lsw 14520 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
103oveq1i 7415 . . . . . . . 8 (𝑁 βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)
1110fveq2i 6888 . . . . . . 7 (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
129, 11eqtr4di 2784 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
131, 12syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
1413s1eqd 14557 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ© = βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©)
1514oveq2d 7421 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©) = ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
168, 15eqtr3d 2768 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š = ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
17 pfxcl 14633 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
181, 17syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
19 lencl 14489 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
201, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
213, 20eqeltrid 2831 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
22 nn0ge2m1nn 12545 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
2321, 2, 22syl2anc 583 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
2410, 23eqeltrrid 2832 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2520nn0red 12537 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
2625lem1d 12151 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))
27 pfxn0 14642 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
281, 24, 26, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
29 pfxlswccat 14669 . . . . 5 (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…) β†’ (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ©) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3018, 28, 29syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ©) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
31 ige2m1fz 13597 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3220, 4, 31syl2anc 583 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
33 pfxlen 14639 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
341, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
3534oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1))
36 0zd 12574 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ∈ β„€)
37 nn0ge2m1nn0 12546 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3821, 2, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3910, 38eqeltrrid 2832 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4039nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„€)
41 1zzd 12597 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 ∈ β„€)
4240, 41zsubcld 12675 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„€)
43 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ∈ β„•0)
45 nn0sub 12526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0))
4645biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
4744, 21, 2, 46syl21anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
4847nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ 2))
4921nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
50 sub1m1 12468 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
5248, 51breqtrrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
5310oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1)
5452, 53breqtrdi 5182 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1))
5524nnred 12231 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5655lem1d 12151 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ≀ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
5736, 40, 42, 54, 56elfzd 13498 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5835, 57eqeltrd 2827 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
59 pfxpfx 14664 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)))
601, 32, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)))
6134, 10eqtr4di 2784 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (𝑁 βˆ’ 1))
6261oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
6362, 51eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
6463oveq2d 7421 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)))
6560, 64eqtrd 2766 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)))
66 pfxtrcfvl 14653 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
671, 4, 66syl2anc 583 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
683a1i 11 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))
6968fvoveq1d 7427 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
7067, 69eqtr4d 2769 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
7170s1eqd 14557 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©)
7265, 71oveq12d 7423 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ©) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©))
7330, 72eqtr3d 2768 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©))
7473oveq1d 7420 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = (((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
75 pfxcl 14633 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ Word 𝑉)
761, 75syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ Word 𝑉)
77 ccatw2s1ccatws2 14911 . . 3 ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ Word 𝑉 β†’ (((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
7876, 77syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
7916, 74, 783eqtrd 2770 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  ...cfz 13490  β™―chash 14295  Word cword 14470  lastSclsw 14518   ++ cconcat 14526  βŸ¨β€œcs1 14551   prefix cpfx 14626  βŸ¨β€œcs2 14798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-s2 14805
This theorem is referenced by:  wrdt2ind  32622
  Copyright terms: Public domain W3C validator