Theorem pfxlsw2ccat 33036

Description: Reconstruct a word from its prefix and its last two symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
pfxlsw2ccat.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pfxlsw2ccat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))

Proof of Theorem pfxlsw2ccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
3		pfxlsw2ccat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
4	2, 3	breqtrdi 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
5		wrdlenge2n0 14512	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
6	1, 4, 5	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
7		pfxlswccat 14673	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
8	1, 6, 7	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
9		lsw 14524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
10	3	oveq1i 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑊) − 1)
11	10	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))
12	9, 11	eqtr4di 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
14	13	s1eqd 14562	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
15	14	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
16	8, 15	eqtr3d 2777	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
17		pfxcl 14638	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉)
18	1, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉)
19		lencl 14493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21	3, 20	eqeltrid 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		nn0ge2m1nn 12505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
23	21, 2, 22	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
24	10, 23	eqeltrrid 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
25	20	nn0red 12497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
26	25	lem1d 12087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
27		pfxn0 14647	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
28	1, 24, 26, 27	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29		pfxlswccat 14673	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
30	18, 28, 29	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
31		ige2m1fz 13569	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32	20, 4, 31	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
33		pfxlen 14644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	1, 32, 33	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
36		0zd 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
37		nn0ge2m1nn0 12506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
38	21, 2, 37	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
39	10, 38	eqeltrrid 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
40	39	nn0zd 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
41		1zzd 12556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
42	40, 41	zsubcld 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
43		2nn0 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
45		nn0sub 12485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
46	45	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
47	44, 21, 2, 46	syl21anc 843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 2))
49	21	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		sub1m1 12427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
52	48, 51	breqtrrd 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) − 1))
53	10	oveq1i 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1)
54	52, 53	breqtrdi 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
55	24	nnred 12187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
56	55	lem1d 12087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
57	36, 40, 42, 54, 56	elfzd 13467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
58	35, 57	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
59		pfxpfx 14668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
60	1, 32, 58, 59	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
61	34, 10	eqtr4di 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑁 − 1))
62	61	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
63	62, 51	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (𝑁 − 2))
64	63	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
65	60, 64	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
66		pfxtrcfvl 14657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
67	1, 4, 66	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
68	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
69	68	fvoveq1d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
70	67, 69	eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
71	70	s1eqd 14562	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩)
72	65, 71	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩))
73	30, 72	eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩))
74	73	oveq1d 7378	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
75		pfxcl 14638	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉)
76	1, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉)
77		ccatw2s1ccatws2 14914	. . 3 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
78	76, 77	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
79	16, 74, 78	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕcn 12172  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  ...cfz 13459  ♯chash 14290  Word cword 14473  lastSclsw 14522   ++ cconcat 14530  ⟨“cs1 14556   prefix cpfx 14631  ⟨“cs2 14801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-lsw 14523  df-concat 14531  df-s1 14557  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-s2 14808

This theorem is referenced by:  wrdt2ind  33039