Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxlsw2ccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxlsw2ccat 32716
Description: Reconstruct a word from its prefix and its last two symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pfxlsw2ccat.n 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pfxlsw2ccat ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))

Proof of Theorem pfxlsw2ccat
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
2 simpr 483 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ≀ 𝑁)
3 pfxlsw2ccat.n . . . . . 6 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)
42, 3breqtrdi 5184 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š))
5 wrdlenge2n0 14532 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
61, 4, 5syl2anc 582 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
7 pfxlswccat 14693 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©) = π‘Š)
81, 6, 7syl2anc 582 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©) = π‘Š)
9 lsw 14544 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
103oveq1i 7425 . . . . . . . 8 (𝑁 βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)
1110fveq2i 6894 . . . . . . 7 (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
129, 11eqtr4di 2783 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
131, 12syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
1413s1eqd 14581 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ© = βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©)
1514oveq2d 7431 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©) = ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
168, 15eqtr3d 2767 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š = ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
17 pfxcl 14657 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
181, 17syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
19 lencl 14513 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
201, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
213, 20eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
22 nn0ge2m1nn 12569 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
2321, 2, 22syl2anc 582 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
2410, 23eqeltrrid 2830 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2520nn0red 12561 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
2625lem1d 12175 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))
27 pfxn0 14666 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
281, 24, 26, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
29 pfxlswccat 14693 . . . . 5 (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…) β†’ (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ©) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3018, 28, 29syl2anc 582 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ©) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
31 ige2m1fz 13621 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3220, 4, 31syl2anc 582 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
33 pfxlen 14663 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
341, 32, 33syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
3534oveq1d 7430 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1))
36 0zd 12598 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ∈ β„€)
37 nn0ge2m1nn0 12570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3821, 2, 37syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3910, 38eqeltrrid 2830 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4039nn0zd 12612 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„€)
41 1zzd 12621 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 ∈ β„€)
4240, 41zsubcld 12699 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„€)
43 2nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ∈ β„•0)
45 nn0sub 12550 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0))
4645biimpa 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
4744, 21, 2, 46syl21anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
4847nn0ge0d 12563 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ 2))
4921nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
50 sub1m1 12492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
5248, 51breqtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
5310oveq1i 7425 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1)
5452, 53breqtrdi 5184 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1))
5524nnred 12255 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5655lem1d 12175 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ≀ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
5736, 40, 42, 54, 56elfzd 13522 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5835, 57eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
59 pfxpfx 14688 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)))
601, 32, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)))
6134, 10eqtr4di 2783 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (𝑁 βˆ’ 1))
6261oveq1d 7430 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
6362, 51eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
6463oveq2d 7431 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)))
6560, 64eqtrd 2765 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)))
66 pfxtrcfvl 14677 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
671, 4, 66syl2anc 582 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
683a1i 11 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))
6968fvoveq1d 7437 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
7067, 69eqtr4d 2768 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
7170s1eqd 14581 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©)
7265, 71oveq12d 7433 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ©) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©))
7330, 72eqtr3d 2767 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©))
7473oveq1d 7430 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = (((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
75 pfxcl 14657 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ Word 𝑉)
761, 75syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ Word 𝑉)
77 ccatw2s1ccatws2 14935 . . 3 ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ Word 𝑉 β†’ (((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
7876, 77syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
7916, 74, 783eqtrd 2769 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  β„•cn 12240  2c2 12295  β„•0cn0 12500  ...cfz 13514  β™―chash 14319  Word cword 14494  lastSclsw 14542   ++ cconcat 14550  βŸ¨β€œcs1 14575   prefix cpfx 14650  βŸ¨β€œcs2 14822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-lsw 14543  df-concat 14551  df-s1 14576  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-s2 14829
This theorem is referenced by:  wrdt2ind  32717
  Copyright terms: Public domain W3C validator