Theorem pfxlsw2ccat 31511

Description: Reconstruct a word from its prefix and its last two symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
pfxlsw2ccat.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pfxlsw2ccat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))

Proof of Theorem pfxlsw2ccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
3		pfxlsw2ccat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
4	2, 3	breqtrdi 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
5		wrdlenge2n0 14355	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
7		pfxlswccat 14524	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
9		lsw 14367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
10	3	oveq1i 7347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑊) − 1)
11	10	fveq2i 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))
12	9, 11	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
14	13	s1eqd 14405	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
15	14	oveq2d 7353	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
16	8, 15	eqtr3d 2778	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
17		pfxcl 14488	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉)
18	1, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉)
19		lencl 14336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21	3, 20	eqeltrid 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		nn0ge2m1nn 12403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
23	21, 2, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
24	10, 23	eqeltrrid 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
25	20	nn0red 12395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
26	25	lem1d 12009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
27		pfxn0 14497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
28	1, 24, 26, 27	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29		pfxlswccat 14524	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
30	18, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
31		ige2m1fz 13447	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32	20, 4, 31	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
33		pfxlen 14494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	1, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	oveq1d 7352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
36		0zd 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
37		nn0ge2m1nn0 12404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
38	21, 2, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
39	10, 38	eqeltrrid 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
40	39	nn0zd 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
41		1zzd 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
42	40, 41	zsubcld 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
43		2nn0 12351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
45		nn0sub 12384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
46	45	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
47	44, 21, 2, 46	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 2))
49	21	nn0cnd 12396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		sub1m1 12326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
52	48, 51	breqtrrd 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) − 1))
53	10	oveq1i 7347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1)
54	52, 53	breqtrdi 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
55	24	nnred 12089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
56	55	lem1d 12009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
57	36, 40, 42, 54, 56	elfzd 13348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
58	35, 57	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
59		pfxpfx 14519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
60	1, 32, 58, 59	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
61	34, 10	eqtr4di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑁 − 1))
62	61	oveq1d 7352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
63	62, 51	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (𝑁 − 2))
64	63	oveq2d 7353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
65	60, 64	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
66		pfxtrcfvl 14508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
67	1, 4, 66	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
68	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
69	68	fvoveq1d 7359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
70	67, 69	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
71	70	s1eqd 14405	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩)
72	65, 71	oveq12d 7355	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩))
73	30, 72	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩))
74	73	oveq1d 7352	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
75		pfxcl 14488	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉)
76	1, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉)
77		ccatw2s1ccatws2 14766	. . 3 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
78	76, 77	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
79	16, 74, 78	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∅c0 4269   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ℂcc 10970  0cc0 10972  1c1 10973   ≤ cle 11111   − cmin 11306  ℕcn 12074  2c2 12129  ℕ₀cn0 12334  ...cfz 13340  ♯chash 14145  Word cword 14317  lastSclsw 14365   ++ cconcat 14373  ⟨“cs1 14399   prefix cpfx 14481  ⟨“cs2 14653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-lsw 14366  df-concat 14374  df-s1 14400  df-substr 14452  df-pfx 14482  df-s2 14660

This theorem is referenced by:  wrdt2ind  31512