Theorem pfxlsw2ccat 32920

Description: Reconstruct a word from its prefix and its last two symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
pfxlsw2ccat.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pfxlsw2ccat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))

Proof of Theorem pfxlsw2ccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
3		pfxlsw2ccat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
4	2, 3	breqtrdi 5189	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
5		wrdlenge2n0 14587	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
7		pfxlswccat 14748	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
9		lsw 14599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
10	3	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑊) − 1)
11	10	fveq2i 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))
12	9, 11	eqtr4di 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
14	13	s1eqd 14636	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
15	14	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
16	8, 15	eqtr3d 2777	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
17		pfxcl 14712	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉)
18	1, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉)
19		lencl 14568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21	3, 20	eqeltrid 2843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		nn0ge2m1nn 12594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
23	21, 2, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
24	10, 23	eqeltrrid 2844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
25	20	nn0red 12586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
26	25	lem1d 12199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
27		pfxn0 14721	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
28	1, 24, 26, 27	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29		pfxlswccat 14748	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
30	18, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
31		ige2m1fz 13654	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32	20, 4, 31	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
33		pfxlen 14718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	1, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
36		0zd 12623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
37		nn0ge2m1nn0 12595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
38	21, 2, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
39	10, 38	eqeltrrid 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
40	39	nn0zd 12637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
41		1zzd 12646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
42	40, 41	zsubcld 12725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
43		2nn0 12541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
45		nn0sub 12574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
46	45	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
47	44, 21, 2, 46	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 2))
49	21	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		sub1m1 12516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
52	48, 51	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) − 1))
53	10	oveq1i 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1)
54	52, 53	breqtrdi 5189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
55	24	nnred 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
56	55	lem1d 12199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
57	36, 40, 42, 54, 56	elfzd 13552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
58	35, 57	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
59		pfxpfx 14743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
60	1, 32, 58, 59	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
61	34, 10	eqtr4di 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑁 − 1))
62	61	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
63	62, 51	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (𝑁 − 2))
64	63	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
65	60, 64	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
66		pfxtrcfvl 14732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
67	1, 4, 66	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
68	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
69	68	fvoveq1d 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
70	67, 69	eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
71	70	s1eqd 14636	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩)
72	65, 71	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩))
73	30, 72	eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩))
74	73	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
75		pfxcl 14712	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉)
76	1, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉)
77		ccatw2s1ccatws2 14990	. . 3 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
78	76, 77	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
79	16, 74, 78	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544  ♯chash 14366  Word cword 14549  lastSclsw 14597   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630   prefix cpfx 14705  ⟨“cs2 14877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-s2 14884

This theorem is referenced by:  wrdt2ind  32923