Theorem pfxlsw2ccat 32931

Description: Reconstruct a word from its prefix and its last two symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
pfxlsw2ccat.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pfxlsw2ccat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))

Proof of Theorem pfxlsw2ccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
3		pfxlsw2ccat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
4	2, 3	breqtrdi 5165	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
5		wrdlenge2n0 14575	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
7		pfxlswccat 14736	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
9		lsw 14587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
10	3	oveq1i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑊) − 1)
11	10	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))
12	9, 11	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
14	13	s1eqd 14624	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
15	14	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
16	8, 15	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
17		pfxcl 14700	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉)
18	1, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉)
19		lencl 14556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21	3, 20	eqeltrid 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		nn0ge2m1nn 12576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
23	21, 2, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
24	10, 23	eqeltrrid 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
25	20	nn0red 12568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
26	25	lem1d 12180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
27		pfxn0 14709	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
28	1, 24, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29		pfxlswccat 14736	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
30	18, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
31		ige2m1fz 13639	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32	20, 4, 31	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
33		pfxlen 14706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	1, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
36		0zd 12605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
37		nn0ge2m1nn0 12577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
38	21, 2, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
39	10, 38	eqeltrrid 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
40	39	nn0zd 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
41		1zzd 12628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
42	40, 41	zsubcld 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
43		2nn0 12523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
45		nn0sub 12556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
46	45	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
47	44, 21, 2, 46	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 2))
49	21	nn0cnd 12569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		sub1m1 12498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
52	48, 51	breqtrrd 5152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) − 1))
53	10	oveq1i 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1)
54	52, 53	breqtrdi 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
55	24	nnred 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
56	55	lem1d 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
57	36, 40, 42, 54, 56	elfzd 13537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
58	35, 57	eqeltrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
59		pfxpfx 14731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
60	1, 32, 58, 59	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
61	34, 10	eqtr4di 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑁 − 1))
62	61	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
63	62, 51	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (𝑁 − 2))
64	63	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
65	60, 64	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
66		pfxtrcfvl 14720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
67	1, 4, 66	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
68	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
69	68	fvoveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
70	67, 69	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
71	70	s1eqd 14624	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩)
72	65, 71	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩))
73	30, 72	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩))
74	73	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
75		pfxcl 14700	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉)
76	1, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉)
77		ccatw2s1ccatws2 14978	. . 3 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
78	76, 77	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
79	16, 74, 78	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∅c0 4313   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ...cfz 13529  ♯chash 14353  Word cword 14536  lastSclsw 14585   ++ cconcat 14593  ⟨“cs1 14618   prefix cpfx 14693  ⟨“cs2 14865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-lsw 14586  df-concat 14594  df-s1 14619  df-substr 14664  df-pfx 14694  df-s2 14872

This theorem is referenced by:  wrdt2ind  32934