Theorem pfxlsw2ccat 33089

Description: Reconstruct a word from its prefix and its last two symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
pfxlsw2ccat.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pfxlsw2ccat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))

Proof of Theorem pfxlsw2ccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
3		pfxlsw2ccat.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝑊)
4	2, 3	breqtrdi 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
5		wrdlenge2n0 14562	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
6	1, 4, 5	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
7		pfxlswccat 14723	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
8	1, 6, 7	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
9		lsw 14574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
10	3	oveq1i 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑊) − 1)
11	10	fveq2i 6866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊‘(𝑁 − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))
12	9, 11	eqtr4di 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
14	13	s1eqd 14612	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
15	14	oveq2d 7408	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
16	8, 15	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
17		pfxcl 14688	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉)
18	1, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉)
19		lencl 14543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
21	3, 20	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		nn0ge2m1nn 12548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
23	21, 2, 22	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
24	10, 23	eqeltrrid 2866	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
25	20	nn0red 12540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
26	25	lem1d 12122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊))
27		pfxn0 14697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
28	1, 24, 26, 27	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29		pfxlswccat 14723	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
30	18, 28, 29	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))
31		ige2m1fz 13619	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32	20, 4, 31	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
33		pfxlen 14694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
34	1, 32, 33	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = ((♯‘𝑊) − 1))
35	34	oveq1d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
36		0zd 12577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
37		nn0ge2m1nn0 12549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
38	21, 2, 37	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
39	10, 38	eqeltrrid 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
40	39	nn0zd 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
41		1zzd 12599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
42	40, 41	zsubcld 12679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
43		2nn0 12495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
45		nn0sub 12528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
46	45	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
47	44, 21, 2, 46	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 2))
49	21	nn0cnd 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		sub1m1 12470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
52	48, 51	breqtrrd 5127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) − 1))
53	10	oveq1i 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) − 1)
54	52, 53	breqtrdi 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (((♯‘𝑊) − 1) − 1))
55	24	nnred 12222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
56	55	lem1d 12122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝑊) − 1))
57	36, 40, 42, 54, 56	elfzd 13517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((♯‘𝑊) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
58	35, 57	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
59		pfxpfx 14718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
60	1, 32, 58, 59	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)))
61	34, 10	eqtr4di 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑁 − 1))
62	61	oveq1d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
63	62, 51	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1) = (𝑁 − 2))
64	63	oveq2d 7408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
65	60, 64	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) = (𝑊 prefix (𝑁 − 2)))
66		pfxtrcfvl 14707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
67	1, 4, 66	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
68	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
69	68	fvoveq1d 7414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)))
70	67, 69	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
71	70	s1eqd 14612	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩)
72	65, 71	oveq12d 7410	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) prefix ((♯‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1))) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘(𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩))
73	30, 72	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩))
74	73	oveq1d 7407	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
75		pfxcl 14688	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉)
76	1, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉)
77		ccatw2s1ccatws2 14964	. . 3 ⊢ ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
78	76, 77	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → (((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))”⟩) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))
79	16, 74, 78	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 𝑊 = ((𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ++ ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℕcn 12207  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ...cfz 13509  ♯chash 14340  Word cword 14523  lastSclsw 14572   ++ cconcat 14580  ⟨“cs1 14606   prefix cpfx 14681  ⟨“cs2 14851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-s2 14858

This theorem is referenced by:  wrdt2ind  33092