Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxlsw2ccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxlsw2ccat 31862
Description: Reconstruct a word from its prefix and its last two symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pfxlsw2ccat.n 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pfxlsw2ccat ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))

Proof of Theorem pfxlsw2ccat
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
2 simpr 486 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ≀ 𝑁)
3 pfxlsw2ccat.n . . . . . 6 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š)
42, 3breqtrdi 5150 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š))
5 wrdlenge2n0 14449 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
61, 4, 5syl2anc 585 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
7 pfxlswccat 14610 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©) = π‘Š)
81, 6, 7syl2anc 585 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©) = π‘Š)
9 lsw 14461 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
103oveq1i 7371 . . . . . . . 8 (𝑁 βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)
1110fveq2i 6849 . . . . . . 7 (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
129, 11eqtr4di 2791 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
131, 12syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
1413s1eqd 14498 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ© = βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©)
1514oveq2d 7377 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©) = ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
168, 15eqtr3d 2775 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š = ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
17 pfxcl 14574 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
181, 17syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉)
19 lencl 14430 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
201, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
213, 20eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
22 nn0ge2m1nn 12490 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
2321, 2, 22syl2anc 585 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
2410, 23eqeltrrid 2839 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2520nn0red 12482 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
2625lem1d 12096 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š))
27 pfxn0 14583 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
281, 24, 26, 27syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
29 pfxlswccat 14610 . . . . 5 (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…) β†’ (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ©) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3018, 28, 29syl2anc 585 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ©) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
31 ige2m1fz 13540 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
3220, 4, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
33 pfxlen 14580 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
341, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
3534oveq1d 7376 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1))
36 0zd 12519 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ∈ β„€)
37 nn0ge2m1nn0 12491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3821, 2, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
3910, 38eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4039nn0zd 12533 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„€)
41 1zzd 12542 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 1 ∈ β„€)
4240, 41zsubcld 12620 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„€)
43 2nn0 12438 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 2 ∈ β„•0)
45 nn0sub 12471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2 ≀ 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0))
4645biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
4744, 21, 2, 46syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
4847nn0ge0d 12484 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ 2))
4921nn0cnd 12483 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
50 sub1m1 12413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
5248, 51breqtrrd 5137 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
5310oveq1i 7371 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1)
5452, 53breqtrdi 5150 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 0 ≀ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1))
5524nnred 12176 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5655lem1d 12096 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ≀ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
5736, 40, 42, 54, 56elfzd 13441 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5835, 57eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
59 pfxpfx 14605 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)))
601, 32, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)))
6134, 10eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (𝑁 βˆ’ 1))
6261oveq1d 7376 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
6362, 51eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
6463oveq2d 7377 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)))
6560, 64eqtrd 2773 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) = (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)))
66 pfxtrcfvl 14594 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
671, 4, 66syl2anc 585 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
683a1i 11 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 = (β™―β€˜π‘Š))
6968fvoveq1d 7383 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
7067, 69eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)))
7170s1eqd 14498 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ© = βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©)
7265, 71oveq12d 7379 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) prefix ((β™―β€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))β€βŸ©) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©))
7330, 72eqtr3d 2775 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©))
7473oveq1d 7376 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ ((π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = (((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
75 pfxcl 14574 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ Word 𝑉)
761, 75syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ Word 𝑉)
77 ccatw2s1ccatws2 14852 . . 3 ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ∈ Word 𝑉 β†’ (((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
7876, 77syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ (((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©) = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
7916, 74, 783eqtrd 2777 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ 𝑁) β†’ π‘Š = ((π‘Š prefix (𝑁 βˆ’ 2)) ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))(π‘Šβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))β€βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  2c2 12216  β„•0cn0 12421  ...cfz 13433  β™―chash 14239  Word cword 14411  lastSclsw 14459   ++ cconcat 14467  βŸ¨β€œcs1 14492   prefix cpfx 14567  βŸ¨β€œcs2 14739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-s2 14746
This theorem is referenced by:  wrdt2ind  31863
  Copyright terms: Public domain W3C validator