MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatval1lsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatval1lsw 13916
Description: The last symbol of the left (nonempty) half of a concatenated word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatval1lsw ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))

Proof of Theorem ccatval1lsw
StepHypRef Expression
1 lennncl 13864 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
213adant2 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
3 fzo0end 13111 . . . 4 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
42, 3syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
5 ccatval1 13908 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
64, 5syld3an3 1405 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
7 lsw 13894 . . 3 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
873ad2ant1 1129 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐴 ≠ ∅) → (lastS‘𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
96, 8eqtr4d 2858 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  c0 4267  cfv 6329  (class class class)co 7131  0cc0 10513  1c1 10514  cmin 10846  cn 11614  ..^cfzo 13015  chash 13673  Word cword 13844  lastSclsw 13892   ++ cconcat 13900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-oadd 8082  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-hash 13674  df-word 13845  df-lsw 13893  df-concat 13901
This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  27750  clwwlkext2edg  27817  wwlksext2clwwlk  27818  numclwwlk2lem1lem  28103
  Copyright terms: Public domain W3C validator