Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lswn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lswn0 43914
Description: The last symbol of a not empty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases ( is the last symbol) and invalid cases ( means that no last symbol exists. This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswn0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) ≠ ∅)

Proof of Theorem lswn0
StepHypRef Expression
1 lsw 13918 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
213ad2ant1 1130 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
3 wrdf 13873 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
4 lencl 13887 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
6 elnnne0 11910 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
76biimpri 231 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8 nnm1nn0 11937 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
10 nn0re 11905 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
1110ltm1d 11572 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
1211adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
13 elfzo0 13084 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
149, 7, 12, 13syl3anbrc 1340 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1514adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
165, 15ffvelrnd 6845 . . . . . . 7 (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉)
1716ex 416 . . . . . 6 ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
183, 4, 17syl2anc 587 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
19 eleq1a 2911 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) → ∅ ∈ 𝑉))
2019com12 32 . . . . . . . . 9 (∅ = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
2120eqcoms 2832 . . . . . . . 8 ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
2221com12 32 . . . . . . 7 ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ∅ ∈ 𝑉))
23 nnel 3127 . . . . . . 7 (¬ ∅ ∉ 𝑉 ↔ ∅ ∈ 𝑉)
2422, 23syl6ibr 255 . . . . . 6 ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ¬ ∅ ∉ 𝑉))
2524necon2ad 3029 . . . . 5 ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅))
2618, 25syl6 35 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
2726com23 86 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
28273imp 1108 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
292, 28eqnetrd 3081 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wnel 3118  c0 4276   class class class wbr 5053  wf 6341  cfv 6345  (class class class)co 7151  0cc0 10537  1c1 10538   < clt 10675  cmin 10870  cn 11636  0cn0 11896  ..^cfzo 13039  chash 13697  Word cword 13868  lastSclsw 13916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-hash 13698  df-word 13869  df-lsw 13917
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator