Theorem lswn0 47904

Description: The last symbol of a nonempty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases (∅ is the last symbol) and invalid cases (∅ means that no last symbol exists). This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswn0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) ≠ ∅)

Proof of Theorem lswn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 14526	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2	1	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
3		wrdf 14480	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
4		lencl 14495	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
6		elnnne0 12451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
7	6	biimpri 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8		nnm1nn0 12478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
10		nn0re 12446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 12088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
13		elfzo0 13655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
14	9, 7, 12, 13	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	14	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	5, 15	ffvelcdmd 7037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉)
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
18	3, 4, 17	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
19		eleq1a 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) → ∅ ∈ 𝑉))
20	19	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
21	20	eqcoms 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
22	21	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ∅ ∈ 𝑉))
23		nnel 3046	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∅ ∉ 𝑉 ↔ ∅ ∈ 𝑉)
24	22, 23	imbitrrdi 252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ¬ ∅ ∉ 𝑉))
25	24	necon2ad 2947	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅))
26	18, 25	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
27	26	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
28	27	3imp 1111	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29	2, 28	eqnetrd 2999	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  lastSclsw 14524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525

This theorem is referenced by: (None)