Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lswn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lswn0 46756
Description: The last symbol of a not empty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases (βˆ… is the last symbol) and invalid cases (βˆ… means that no last symbol exists. This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswn0 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ… βˆ‰ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) β‰  βˆ…)
Proof of Theorem lswn0
StepHypRef Expression
1 lsw 14540 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
213ad2ant1 1131 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ… βˆ‰ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3 wrdf 14495 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰)
4 lencl 14509 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
5 simpll 766 . . . . . . . 8 (((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰)
6 elnnne0 12510 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0))
76biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
8 nnm1nn0 12537 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
10 nn0re 12505 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
1110ltm1d 12170 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))
1211adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))
13 elfzo0 13699 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š)))
149, 7, 12, 13syl3anbrc 1341 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1514adantll 713 . . . . . . . 8 (((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
165, 15ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
1716ex 412 . . . . . 6 ((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) β‰  0 β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉))
183, 4, 17syl2anc 583 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) β‰  0 β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉))
19 eleq1a 2823 . . . . . . . . . 10 ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ (βˆ… = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ βˆ… ∈ 𝑉))
2019com12 32 . . . . . . . . 9 (βˆ… = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ βˆ… ∈ 𝑉))
2120eqcoms 2735 . . . . . . . 8 ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = βˆ… β†’ ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ βˆ… ∈ 𝑉))
2221com12 32 . . . . . . 7 ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = βˆ… β†’ βˆ… ∈ 𝑉))
23 nnel 3051 . . . . . . 7 (Β¬ βˆ… βˆ‰ 𝑉 ↔ βˆ… ∈ 𝑉)
2422, 23imbitrrdi 251 . . . . . 6 ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = βˆ… β†’ Β¬ βˆ… βˆ‰ 𝑉))
2524necon2ad 2950 . . . . 5 ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ (βˆ… βˆ‰ 𝑉 β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…))
2618, 25syl6 35 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) β‰  0 β†’ (βˆ… βˆ‰ 𝑉 β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)))
2726com23 86 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (βˆ… βˆ‰ 𝑉 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) β‰  0 β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)))
28273imp 1109 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ… βˆ‰ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
292, 28eqnetrd 3003 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ… βˆ‰ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βˆ‰ wnel 3041  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   < clt 11272   βˆ’ cmin 11468  β„•cn 12236  β„•0cn0 12496  ..^cfzo 13653  β™―chash 14315  Word cword 14490  lastSclsw 14538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-lsw 14539
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator