Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lswn0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lswn0 46102
Description: The last symbol of a not empty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases (βˆ… is the last symbol) and invalid cases (βˆ… means that no last symbol exists. This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
lswn0 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ… βˆ‰ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) β‰  βˆ…)
Proof of Theorem lswn0
StepHypRef Expression
1 lsw 14513 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
213ad2ant1 1133 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ… βˆ‰ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
3 wrdf 14468 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰)
4 lencl 14482 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
5 simpll 765 . . . . . . . 8 (((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰)
6 elnnne0 12485 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0))
76biimpri 227 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
8 nnm1nn0 12512 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
10 nn0re 12480 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
1110ltm1d 12145 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))
1211adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š))
13 elfzo0 13672 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘Š)))
149, 7, 12, 13syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
1514adantll 712 . . . . . . . 8 (((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
165, 15ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 (((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉)
1716ex 413 . . . . . 6 ((π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))βŸΆπ‘‰ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) β‰  0 β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉))
183, 4, 17syl2anc 584 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) β‰  0 β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉))
19 eleq1a 2828 . . . . . . . . . 10 ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ (βˆ… = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ βˆ… ∈ 𝑉))
2019com12 32 . . . . . . . . 9 (βˆ… = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ βˆ… ∈ 𝑉))
2120eqcoms 2740 . . . . . . . 8 ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = βˆ… β†’ ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ βˆ… ∈ 𝑉))
2221com12 32 . . . . . . 7 ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = βˆ… β†’ βˆ… ∈ 𝑉))
23 nnel 3056 . . . . . . 7 (Β¬ βˆ… βˆ‰ 𝑉 ↔ βˆ… ∈ 𝑉)
2422, 23syl6ibr 251 . . . . . 6 ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = βˆ… β†’ Β¬ βˆ… βˆ‰ 𝑉))
2524necon2ad 2955 . . . . 5 ((π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) ∈ 𝑉 β†’ (βˆ… βˆ‰ 𝑉 β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…))
2618, 25syl6 35 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) β‰  0 β†’ (βˆ… βˆ‰ 𝑉 β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)))
2726com23 86 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (βˆ… βˆ‰ 𝑉 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) β‰  0 β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)))
28273imp 1111 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ… βˆ‰ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β‰  βˆ…)
292, 28eqnetrd 3008 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ… βˆ‰ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) β‰  0) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ‰ wnel 3046  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11247   βˆ’ cmin 11443  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  ..^cfzo 13626  β™―chash 14289  Word cword 14463  lastSclsw 14511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator