Theorem lswn0 47686

Description: The last symbol of a nonempty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases (∅ is the last symbol) and invalid cases (∅ means that no last symbol exists). This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswn0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) ≠ ∅)

Proof of Theorem lswn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 14487	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
3		wrdf 14441	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
4		lencl 14456	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
6		elnnne0 12415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
7	6	biimpri 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8		nnm1nn0 12442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
10		nn0re 12410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 12074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
13		elfzo0 13616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
14	9, 7, 12, 13	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	14	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	5, 15	ffvelcdmd 7030	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉)
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
18	3, 4, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
19		eleq1a 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) → ∅ ∈ 𝑉))
20	19	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
21	20	eqcoms 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
22	21	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ∅ ∈ 𝑉))
23		nnel 3046	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∅ ∉ 𝑉 ↔ ∅ ∈ 𝑉)
24	22, 23	imbitrrdi 252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ¬ ∅ ∉ 𝑉))
25	24	necon2ad 2947	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅))
26	18, 25	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
27	26	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
28	27	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29	2, 28	eqnetrd 2999	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   < clt 11166   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436  lastSclsw 14485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486

This theorem is referenced by: (None)