Theorem lswn0 44784

Description: The last symbol of a not empty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases (∅ is the last symbol) and invalid cases (∅ means that no last symbol exists. This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswn0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) ≠ ∅)

Proof of Theorem lswn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 14195	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2	1	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
3		wrdf 14150	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
4		lencl 14164	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		simpll 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
6		elnnne0 12177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
7	6	biimpri 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8		nnm1nn0 12204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
10		nn0re 12172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 11837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
13		elfzo0 13356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
14	9, 7, 12, 13	syl3anbrc 1341	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	14	adantll 710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	5, 15	ffvelrnd 6944	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉)
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
18	3, 4, 17	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
19		eleq1a 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) → ∅ ∈ 𝑉))
20	19	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
21	20	eqcoms 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
22	21	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ∅ ∈ 𝑉))
23		nnel 3057	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∅ ∉ 𝑉 ↔ ∅ ∈ 𝑉)
24	22, 23	syl6ibr 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ¬ ∅ ∉ 𝑉))
25	24	necon2ad 2957	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅))
26	18, 25	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
27	26	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
28	27	3imp 1109	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29	2, 28	eqnetrd 3010	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∉ wnel 3048  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  lastSclsw 14193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194

This theorem is referenced by: (None)