Theorem lswn0 47988

Description: The last symbol of a nonempty word exists. The empty set must be excluded as symbol, because otherwise, it cannot be distinguished between valid cases (∅ is the last symbol) and invalid cases (∅ means that no last symbol exists). This is because of the special definition of a function in set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswn0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) ≠ ∅)

Proof of Theorem lswn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsw 14563	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2	1	3ad2ant1 1142	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
3		wrdf 14517	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
4		lencl 14532	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		simpll 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
6		elnnne0 12481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
7	6	biimpri 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8		nnm1nn0 12508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
10		nn0re 12476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 12110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
12	11	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊))
13		elfzo0 13692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 1) < (♯‘𝑊)))
14	9, 7, 12, 13	syl3anbrc 1353	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
15	14	adantll 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
16	5, 15	ffvelcdmd 7051	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉)
17	16	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
18	3, 4, 17	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉))
19		eleq1a 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) → ∅ ∈ 𝑉))
20	19	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
21	20	eqcoms 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 𝑉))
22	21	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ∅ ∈ 𝑉))
23		nnel 3061	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∅ ∉ 𝑉 ↔ ∅ ∈ 𝑉)
24	22, 23	imbitrrdi 254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = ∅ → ¬ ∅ ∉ 𝑉))
25	24	necon2ad 2962	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅))
26	18, 25	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (∅ ∉ 𝑉 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
27	26	com23 86	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∅ ∉ 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)))
28	27	3imp 1119	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) ≠ ∅)
29	2, 28	eqnetrd 3014	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∅ ∉ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → (lastS‘𝑊) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947   ∉ wnel 3051  ∅c0 4276   class class class wbr 5090  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  0cc0 11059  1c1 11060   < clt 11202   − cmin 11400  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12467  ..^cfzo 13645  ♯chash 14329  Word cword 14512  lastSclsw 14561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-hash 14330  df-word 14513  df-lsw 14562

This theorem is referenced by: (None)