MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxfvlsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxfvlsw 14651
Description: The last symbol in a nonempty prefix of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxfvlsw ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix 𝐿)) = (π‘Šβ€˜(𝐿 βˆ’ 1)))

Proof of Theorem pfxfvlsw
StepHypRef Expression
1 pfxcl 14633 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (π‘Š prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
21adantr 480 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
3 lsw 14520 . . 3 ((π‘Š prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix 𝐿)) = ((π‘Š prefix 𝐿)β€˜((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐿)) βˆ’ 1)))
42, 3syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix 𝐿)) = ((π‘Š prefix 𝐿)β€˜((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐿)) βˆ’ 1)))
5 fz1ssfz0 13603 . . . . 5 (1...(β™―β€˜π‘Š)) βŠ† (0...(β™―β€˜π‘Š))
65sseli 3973 . . . 4 (𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝐿 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
7 pfxlen 14639 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐿)) = 𝐿)
86, 7sylan2 592 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐿)) = 𝐿)
98fvoveq1d 7427 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š prefix 𝐿)β€˜((β™―β€˜(π‘Š prefix 𝐿)) βˆ’ 1)) = ((π‘Š prefix 𝐿)β€˜(𝐿 βˆ’ 1)))
10 simpl 482 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
116adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ 𝐿 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
12 elfznn 13536 . . . . 5 (𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ 𝐿 ∈ β„•)
13 fzo0end 13730 . . . . 5 (𝐿 ∈ β„• β†’ (𝐿 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐿))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝐿 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐿))
1514adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝐿 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐿))
16 pfxfv 14638 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (𝐿 βˆ’ 1) ∈ (0..^𝐿)) β†’ ((π‘Š prefix 𝐿)β€˜(𝐿 βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜(𝐿 βˆ’ 1)))
1710, 11, 15, 16syl3anc 1368 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š prefix 𝐿)β€˜(𝐿 βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜(𝐿 βˆ’ 1)))
184, 9, 173eqtrd 2770 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix 𝐿)) = (π‘Šβ€˜(𝐿 βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Word cword 14470  lastSclsw 14518   prefix cpfx 14626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-substr 14597  df-pfx 14627
This theorem is referenced by:  pfxtrcfvl  14653  wwlksnredwwlkn  29658  wwlksnextproplem2  29673  clwwlkinwwlk  29802  clwwlkf  29809  numclwlk2lem2f  30139
  Copyright terms: Public domain W3C validator