Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxfvlsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxfvlsw 14117
 Description: The last symbol in a nonempty prefix of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxfvlsw ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Proof of Theorem pfxfvlsw
StepHypRef Expression
1 pfxcl 14099 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
21adantr 484 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
3 lsw 13976 . . 3 ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)))
5 fz1ssfz0 13065 . . . . 5 (1...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
65sseli 3890 . . . 4 (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7 pfxlen 14105 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
86, 7sylan2 595 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
98fvoveq1d 7178 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)))
10 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
116adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
12 elfznn 12998 . . . . 5 (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ)
13 fzo0end 13191 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
1514adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
16 pfxfv 14104 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
1710, 11, 15, 16syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
184, 9, 173eqtrd 2797 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0cc0 10588  1c1 10589   − cmin 10921  ℕcn 11687  ...cfz 12952  ..^cfzo 13095  ♯chash 13753  Word cword 13926  lastSclsw 13974   prefix cpfx 14092 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-hash 13754  df-word 13927  df-lsw 13975  df-substr 14063  df-pfx 14093 This theorem is referenced by:  pfxtrcfvl  14119  wwlksnredwwlkn  27794  wwlksnextproplem2  27809  clwwlkinwwlk  27938  clwwlkf  27945  numclwlk2lem2f  28275
 Copyright terms: Public domain W3C validator