Theorem pfxfvlsw 14336

Description: The last symbol in a nonempty prefix of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfvlsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Proof of Theorem pfxfvlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxcl 14318	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
3		lsw 14195	. . 3 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)))
5		fz1ssfz0 13281	. . . . 5 ⊢ (1...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
6	5	sseli 3913	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7		pfxlen 14324	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
8	6, 7	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
9	8	fvoveq1d 7277	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)))
10		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
11	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
12		elfznn 13214	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ)
13		fzo0end 13407	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
16		pfxfv 14323	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
17	10, 11, 15, 16	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
18	4, 9, 17	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   − cmin 11135  ℕcn 11903  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  lastSclsw 14193   prefix cpfx 14311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-substr 14282  df-pfx 14312

This theorem is referenced by:  pfxtrcfvl  14338  wwlksnredwwlkn  28161  wwlksnextproplem2  28176  clwwlkinwwlk  28305  clwwlkf  28312  numclwlk2lem2f  28642