Theorem pfxfvlsw 14657

Description: The last symbol in a nonempty prefix of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfvlsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Proof of Theorem pfxfvlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxcl 14640	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
3		lsw 14526	. . 3 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)))
5		fz1ssfz0 13577	. . . . 5 ⊢ (1...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
6	5	sseli 3918	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7		pfxlen 14646	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
8	6, 7	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) = 𝐿)
9	8	fvoveq1d 7389	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘((♯‘(𝑊 prefix 𝐿)) − 1)) = ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)))
10		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
11	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
12		elfznn 13507	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ)
13		fzo0end 13713	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
16		pfxfv 14645	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
17	10, 11, 15, 16	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
18	4, 9, 17	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 prefix 𝐿)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11377  ℕcn 12174  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  lastSclsw 14524   prefix cpfx 14633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-substr 14604  df-pfx 14634

This theorem is referenced by:  pfxtrcfvl  14659  chnlt  18589  wwlksnredwwlkn  29963  wwlksnextproplem2  29978  clwwlkinwwlk  30110  clwwlkf  30117  numclwlk2lem2f  30447  chnerlem2  47311