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Theorem clwwlkwwlksb 29574
Description: A nonempty word over vertices represents a closed walk iff the word concatenated with its first symbol represents a walk. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkwwlksb.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlkwwlksb ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))

Proof of Theorem clwwlkwwlksb
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fstwrdne 14509 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Šβ€˜0) ∈ 𝑉)
21s1cld 14557 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
3 ccatlen 14529 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)))
42, 3syldan 589 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)))
5 s1len 14560 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = 1
65oveq2i 7422 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)
74, 6eqtrdi 2786 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
87oveq1d 7426 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1))
9 lencl 14487 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
109nn0cnd 12538 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
12 1cnd 11213 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ 1 ∈ β„‚)
1311, 12, 12addsubd 11596 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))
148, 13eqtrd 2770 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))
1514oveq2d 7427 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)))
1615raleqdv 3323 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
17 lennncl 14488 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
18 nnm1nn0 12517 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
20 elnn0uz 12871 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2119, 20sylib 217 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
22 fzosplitsn 13744 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}))
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}))
2423raleqdv 3323 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
25 ralunb 4190 . . . 4 (βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2624, 25bitrdi 286 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
27 simpl 481 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
289nn0zd 12588 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
2928adantr 479 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
30 elfzom1elfzo 13704 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3129, 30sylan 578 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
32 ccats1val1 14580 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
3327, 31, 32syl2an2r 681 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
34 elfzom1elp1fzo 13703 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3529, 34sylan 578 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
36 ccats1val1 14580 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
3727, 35, 36syl2an2r 681 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
3833, 37preq12d 4744 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))})
3938eleq1d 2816 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4039ralbidva 3173 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
41 ovex 7444 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ V
42 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
43 fvoveq1 7434 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)))
4442, 43preq12d 4744 . . . . . . 7 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))})
4544eleq1d 2816 . . . . . 6 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4641, 45ralsn 4684 . . . . 5 (βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
47 fzo0end 13728 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
4817, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
49 ccats1val1 14580 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5048, 49syldan 589 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
51 lsw 14518 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5251adantr 479 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5350, 52eqtr4d 2773 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘Š))
54 npcan1 11643 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
5510, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
5655adantr 479 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
5756fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)))
58 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š))
59 ccats1val2 14581 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Šβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = (π‘Šβ€˜0))
6027, 1, 58, 59syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = (π‘Šβ€˜0))
6157, 60eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = (π‘Šβ€˜0))
6253, 61preq12d 4744 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} = {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)})
6362eleq1d 2816 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6446, 63bitrid 282 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6540, 64anbi12d 629 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
6616, 26, 653bitrd 304 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
6727, 2jca 510 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉))
68 ccat0 14530 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = βˆ… ↔ (π‘Š = βˆ… ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© = βˆ…)))
69 simpl 481 . . . . . . . 8 ((π‘Š = βˆ… ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© = βˆ…) β†’ π‘Š = βˆ…)
7068, 69syl6bi 252 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = βˆ… β†’ π‘Š = βˆ…))
7170necon3d 2959 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ (π‘Š β‰  βˆ… β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…))
7271adantld 489 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…))
7367, 72mpcom 38 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
74 wrdv 14483 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ π‘Š ∈ Word V)
75 s1cli 14559 . . . . . . 7 βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word V
76 ccatalpha 14547 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word V ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word V) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)))
7774, 75, 76sylancl 584 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)))
7877adantr 479 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)))
7927, 2, 78mpbir2and 709 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
8073, 79jca 510 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉))
81 clwwlkwwlksb.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
82 eqid 2730 . . . . . 6 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
8381, 82iswwlks 29357 . . . . 5 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
84 df-3an 1087 . . . . 5 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8583, 84bitri 274 . . . 4 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8685a1i 11 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8780, 86mpbirand 703 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8881, 82isclwwlk 29504 . . . 4 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
89 3anass 1093 . . . 4 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
9088, 89bitri 274 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
9190baib 534 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
9266, 87, 913bitr4rd 311 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945  βˆ…c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468  lastSclsw 14516   ++ cconcat 14524  βŸ¨β€œcs1 14549  Vtxcvtx 28523  Edgcedg 28574  WWalkscwwlks 29346  ClWWalkscclwwlk 29501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-wwlks 29351  df-clwwlk 29502
This theorem is referenced by:  clwwlknwwlksnb  29575
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