clwwlkwwlksb - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwlkwwlksb 30142

Description: A nonempty word over vertices represents a closed walk iff the word concatenated with its first symbol represents a walk. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwwlkwwlksb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkwwlksb	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkwwlksb Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fstwrdne 14511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
2	1	s1cld 14560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		ccatlen 14531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
4	2, 3	syldan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
5		s1len 14563	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
6	5	oveq2i 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
7	4, 6	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
8	7	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
9		lencl 14489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
10	9	nn0cnd 12494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
12		1cnd 11133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12, 12	addsubd 11520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
14	8, 13	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
15	14	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
16	15	raleqdv 3296	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
17		lennncl 14490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18		nnm1nn0 12472	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
20		elnn0uz 12823	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
22		fzosplitsn 13725	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
24	23	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
25		ralunb 4138	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	24, 25	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
27		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28	9	nn0zd 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
30		elfzom1elfzo 13682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
31	29, 30	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32		ccats1val1 14583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
33	27, 31, 32	syl2an2r 686	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
34		elfzom1elp1fzo 13681	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35	29, 34	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		ccats1val1 14583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
37	27, 35, 36	syl2an2r 686	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
38	33, 37	preq12d 4686	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
39	38	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
40	39	ralbidva 3159	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
41		ovex 7394	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ V
42		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
43		fvoveq1 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
44	42, 43	preq12d 4686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))})
45	44	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
46	41, 45	ralsn 4626	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
47		fzo0end 13707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
48	17, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49		ccats1val1 14583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
50	48, 49	syldan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
51		lsw 14520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
53	50, 52	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
54		npcan1 11569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
55	10, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
57	56	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)))
58		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
59		ccats1val2 14584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)) = (𝑊‘0))
60	27, 1, 58, 59	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)) = (𝑊‘0))
61	57, 60	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (𝑊‘0))
62	53, 61	preq12d 4686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} = {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)})
63	62	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
64	46, 63	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65	40, 64	anbi12d 633	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
66	16, 26, 65	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
67	27, 2	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
68		ccat0 14532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ∅ ↔ (𝑊 = ∅ ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ∅)))
69		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ∅) → 𝑊 = ∅)
70	68, 69	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ∅ → 𝑊 = ∅))
71	70	necon3d 2954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅))
72	71	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅))
73	67, 72	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅)
74		wrdv 14485	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Word V)
75		s1cli 14562	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
76		ccatalpha 14550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word V ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
77	74, 75, 76	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
78	77	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
79	27, 2, 78	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
80	73, 79	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉))
81		clwwlkwwlksb.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
82		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
83	81, 82	iswwlks 29922	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
84		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
85	83, 84	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
86	85	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
87	80, 86	mpbirand 708	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
88	81, 82	isclwwlk 30072	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
89		3anass 1095	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
90	88, 89	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
91	90	baib 535	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
92	66, 87, 91	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 Vcvv 3430 ∪ cun 3888 ∅c0 4274 {csn 4568 {cpr 4570 ‘cfv 6493 (class class class)co 7361 ℂcc 11030 0cc0 11032 1c1 11033 + caddc 11035 − cmin 11371 ℕcn 12168 ℕ₀cn0 12431 ℤcz 12518 ℤ_≥cuz 12782 ..^cfzo 13602 ♯chash 14286 Word cword 14469 lastSclsw 14518 ++ cconcat 14526 ⟨“cs1 14552 Vtxcvtx 29082 Edgcedg 29133 WWalkscwwlks 29911 ClWWalkscclwwlk 30069

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5213 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5303 ax-pr 5371 ax-un 7683 ax-cnex 11088 ax-resscn 11089 ax-1cn 11090 ax-icn 11091 ax-addcl 11092 ax-addrcl 11093 ax-mulcl 11094 ax-mulrcl 11095 ax-mulcom 11096 ax-addass 11097 ax-mulass 11098 ax-distr 11099 ax-i2m1 11100 ax-1ne0 11101 ax-1rid 11102 ax-rnegex 11103 ax-rrecex 11104 ax-cnre 11105 ax-pre-lttri 11106 ax-pre-lttrn 11107 ax-pre-ltadd 11108 ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6260 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-riota 7318 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7812 df-1st 7936 df-2nd 7937 df-frecs 8225 df-wrecs 8256 df-recs 8305 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-2o 8400 df-oadd 8403 df-er 8637 df-map 8769 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-dju 9819 df-card 9857 df-pnf 11175 df-mnf 11176 df-xr 11177 df-ltxr 11178 df-le 11179 df-sub 11373 df-neg 11374 df-nn 12169 df-2 12238 df-n0 12432 df-xnn0 12505 df-z 12519 df-uz 12783 df-fz 13456 df-fzo 13603 df-hash 14287 df-word 14470 df-lsw 14519 df-concat 14527 df-s1 14553 df-wwlks 29916 df-clwwlk 30070

This theorem is referenced by: clwwlknwwlksnb 30143

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