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Theorem clwwlkwwlksb 29047
Description: A nonempty word over vertices represents a closed walk iff the word concatenated with its first symbol represents a walk. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkwwlksb.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlkwwlksb ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))

Proof of Theorem clwwlkwwlksb
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fstwrdne 14452 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Šβ€˜0) ∈ 𝑉)
21s1cld 14500 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
3 ccatlen 14472 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)))
42, 3syldan 592 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)))
5 s1len 14503 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = 1
65oveq2i 7372 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)
74, 6eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
87oveq1d 7376 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1))
9 lencl 14430 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
109nn0cnd 12483 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
12 1cnd 11158 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ 1 ∈ β„‚)
1311, 12, 12addsubd 11541 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))
148, 13eqtrd 2773 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))
1514oveq2d 7377 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)))
1615raleqdv 3312 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
17 lennncl 14431 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
18 nnm1nn0 12462 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
20 elnn0uz 12816 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2119, 20sylib 217 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
22 fzosplitsn 13689 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}))
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}))
2423raleqdv 3312 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
25 ralunb 4155 . . . 4 (βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2624, 25bitrdi 287 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
27 simpl 484 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
289nn0zd 12533 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
2928adantr 482 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
30 elfzom1elfzo 13649 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3129, 30sylan 581 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
32 ccats1val1 14523 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
3327, 31, 32syl2an2r 684 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
34 elfzom1elp1fzo 13648 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3529, 34sylan 581 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
36 ccats1val1 14523 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
3727, 35, 36syl2an2r 684 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
3833, 37preq12d 4706 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))})
3938eleq1d 2819 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4039ralbidva 3169 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
41 ovex 7394 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ V
42 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
43 fvoveq1 7384 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)))
4442, 43preq12d 4706 . . . . . . 7 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))})
4544eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4641, 45ralsn 4646 . . . . 5 (βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
47 fzo0end 13673 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
4817, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
49 ccats1val1 14523 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5048, 49syldan 592 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
51 lsw 14461 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5251adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5350, 52eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘Š))
54 npcan1 11588 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
5510, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
5655adantr 482 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
5756fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)))
58 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š))
59 ccats1val2 14524 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Šβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = (π‘Šβ€˜0))
6027, 1, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = (π‘Šβ€˜0))
6157, 60eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = (π‘Šβ€˜0))
6253, 61preq12d 4706 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} = {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)})
6362eleq1d 2819 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6446, 63bitrid 283 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6540, 64anbi12d 632 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
6616, 26, 653bitrd 305 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
6727, 2jca 513 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉))
68 ccat0 14473 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = βˆ… ↔ (π‘Š = βˆ… ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© = βˆ…)))
69 simpl 484 . . . . . . . 8 ((π‘Š = βˆ… ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© = βˆ…) β†’ π‘Š = βˆ…)
7068, 69syl6bi 253 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = βˆ… β†’ π‘Š = βˆ…))
7170necon3d 2961 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ (π‘Š β‰  βˆ… β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…))
7271adantld 492 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…))
7367, 72mpcom 38 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
74 wrdv 14426 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ π‘Š ∈ Word V)
75 s1cli 14502 . . . . . . 7 βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word V
76 ccatalpha 14490 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word V ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word V) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)))
7774, 75, 76sylancl 587 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)))
7877adantr 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)))
7927, 2, 78mpbir2and 712 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
8073, 79jca 513 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉))
81 clwwlkwwlksb.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
82 eqid 2733 . . . . . 6 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
8381, 82iswwlks 28830 . . . . 5 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
84 df-3an 1090 . . . . 5 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8583, 84bitri 275 . . . 4 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8685a1i 11 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8780, 86mpbirand 706 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8881, 82isclwwlk 28977 . . . 4 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
89 3anass 1096 . . . 4 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
9088, 89bitri 275 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
9190baib 537 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
9266, 87, 913bitr4rd 312 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912  βˆ…c0 4286  {csn 4590  {cpr 4592  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  ..^cfzo 13576  β™―chash 14239  Word cword 14411  lastSclsw 14459   ++ cconcat 14467  βŸ¨β€œcs1 14492  Vtxcvtx 27996  Edgcedg 28047  WWalkscwwlks 28819  ClWWalkscclwwlk 28974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-wwlks 28824  df-clwwlk 28975
This theorem is referenced by:  clwwlknwwlksnb  29048
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