clwwlkwwlksb - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwlkwwlksb 28998

Description: A nonempty word over vertices represents a closed walk iff the word concatenated with its first symbol represents a walk. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwwlkwwlksb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkwwlksb	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkwwlksb Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fstwrdne 14443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
2	1	s1cld 14491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		ccatlen 14463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
4	2, 3	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
5		s1len 14494	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
6	5	oveq2i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
7	4, 6	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
8	7	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
9		lencl 14421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
10	9	nn0cnd 12475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
12		1cnd 11150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12, 12	addsubd 11533	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
14	8, 13	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
15	14	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
16	15	raleqdv 3313	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
17		lennncl 14422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18		nnm1nn0 12454	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
20		elnn0uz 12808	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
21	19, 20	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
22		fzosplitsn 13680	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
24	23	raleqdv 3313	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
25		ralunb 4151	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	24, 25	bitrdi 286	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
27		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28	9	nn0zd 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
30		elfzom1elfzo 13640	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
31	29, 30	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32		ccats1val1 14514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
33	27, 31, 32	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
34		elfzom1elp1fzo 13639	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35	29, 34	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		ccats1val1 14514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
37	27, 35, 36	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
38	33, 37	preq12d 4702	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
39	38	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
40	39	ralbidva 3172	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
41		ovex 7390	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ V
42		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
43		fvoveq1 7380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
44	42, 43	preq12d 4702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))})
45	44	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
46	41, 45	ralsn 4642	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
47		fzo0end 13664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
48	17, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49		ccats1val1 14514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
50	48, 49	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
51		lsw 14452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
52	51	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
53	50, 52	eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
54		npcan1 11580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
55	10, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
56	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
57	56	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)))
58		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
59		ccats1val2 14515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)) = (𝑊‘0))
60	27, 1, 58, 59	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)) = (𝑊‘0))
61	57, 60	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (𝑊‘0))
62	53, 61	preq12d 4702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} = {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)})
63	62	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
64	46, 63	bitrid 282	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65	40, 64	anbi12d 631	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
66	16, 26, 65	3bitrd 304	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
67	27, 2	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
68		ccat0 14464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ∅ ↔ (𝑊 = ∅ ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ∅)))
69		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ∅) → 𝑊 = ∅)
70	68, 69	syl6bi 252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ∅ → 𝑊 = ∅))
71	70	necon3d 2964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅))
72	71	adantld 491	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅))
73	67, 72	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅)
74		wrdv 14417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Word V)
75		s1cli 14493	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
76		ccatalpha 14481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word V ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
77	74, 75, 76	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
78	77	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
79	27, 2, 78	mpbir2and 711	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
80	73, 79	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉))
81		clwwlkwwlksb.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
82		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
83	81, 82	iswwlks 28781	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
84		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
85	83, 84	bitri 274	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
86	85	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
87	80, 86	mpbirand 705	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
88	81, 82	isclwwlk 28928	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
89		3anass 1095	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
90	88, 89	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
91	90	baib 536	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
92	66, 87, 91	3bitr4rd 311	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 Vcvv 3445 ∪ cun 3908 ∅c0 4282 {csn 4586 {cpr 4588 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 − cmin 11385 ℕcn 12153 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12499 ℤ_≥cuz 12763 ..^cfzo 13567 ♯chash 14230 Word cword 14402 lastSclsw 14450 ++ cconcat 14458 ⟨“cs1 14483 Vtxcvtx 27947 Edgcedg 27998 WWalkscwwlks 28770 ClWWalkscclwwlk 28925

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-oadd 8416 df-er 8648 df-map 8767 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-dju 9837 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-nn 12154 df-2 12216 df-n0 12414 df-xnn0 12486 df-z 12500 df-uz 12764 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-hash 14231 df-word 14403 df-lsw 14451 df-concat 14459 df-s1 14484 df-wwlks 28775 df-clwwlk 28926

This theorem is referenced by: clwwlknwwlksnb 28999

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