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Theorem clwwlkwwlksb 29575
Description: A nonempty word over vertices represents a closed walk iff the word concatenated with its first symbol represents a walk. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkwwlksb.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlkwwlksb ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))

Proof of Theorem clwwlkwwlksb
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fstwrdne 14510 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Šβ€˜0) ∈ 𝑉)
21s1cld 14558 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
3 ccatlen 14530 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)))
42, 3syldan 590 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)))
5 s1len 14561 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = 1
65oveq2i 7423 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) + (β™―β€˜βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)
74, 6eqtrdi 2787 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
87oveq1d 7427 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1))
9 lencl 14488 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
109nn0cnd 12539 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
12 1cnd 11214 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ 1 ∈ β„‚)
1311, 12, 12addsubd 11597 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) + 1) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))
148, 13eqtrd 2771 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))
1514oveq2d 7428 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)))
1615raleqdv 3324 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
17 lennncl 14489 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•)
18 nnm1nn0 12518 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
20 elnn0uz 12872 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ β„•0 ↔ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2119, 20sylib 217 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
22 fzosplitsn 13745 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}))
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}))
2423raleqdv 3324 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
25 ralunb 4191 . . . 4 (βˆ€π‘– ∈ ((0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) βˆͺ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)}){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2624, 25bitrdi 287 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
27 simpl 482 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
289nn0zd 12589 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
2928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
30 elfzom1elfzo 13705 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3129, 30sylan 579 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
32 ccats1val1 14581 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
3327, 31, 32syl2an2r 682 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
34 elfzom1elp1fzo 13704 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3529, 34sylan 579 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
36 ccats1val1 14581 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
3727, 35, 36syl2an2r 682 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
3833, 37preq12d 4745 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))})
3938eleq1d 2817 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4039ralbidva 3174 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
41 ovex 7445 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ V
42 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
43 fvoveq1 7435 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)))
4442, 43preq12d 4745 . . . . . . 7 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} = {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))})
4544eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑖 = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4641, 45ralsn 4685 . . . . 5 (βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
47 fzo0end 13729 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
4817, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
49 ccats1val1 14581 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5048, 49syldan 590 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
51 lsw 14519 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5251adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5350, 52eqtr4d 2774 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) = (lastSβ€˜π‘Š))
54 npcan1 11644 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
5510, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
5655adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
5756fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)))
58 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š))
59 ccats1val2 14582 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Šβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = (π‘Šβ€˜0))
6027, 1, 58, 59syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(β™―β€˜π‘Š)) = (π‘Šβ€˜0))
6157, 60eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)) = (π‘Šβ€˜0))
6253, 61preq12d 4745 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} = {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)})
6362eleq1d 2817 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ({((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6446, 63bitrid 283 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6540, 64anbi12d 630 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘– ∈ {((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)} {((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
6616, 26, 653bitrd 305 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
6727, 2jca 511 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉))
68 ccat0 14531 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = βˆ… ↔ (π‘Š = βˆ… ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© = βˆ…)))
69 simpl 482 . . . . . . . 8 ((π‘Š = βˆ… ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© = βˆ…) β†’ π‘Š = βˆ…)
7068, 69syl6bi 253 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) = βˆ… β†’ π‘Š = βˆ…))
7170necon3d 2960 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ (π‘Š β‰  βˆ… β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…))
7271adantld 490 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…))
7367, 72mpcom 38 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
74 wrdv 14484 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ π‘Š ∈ Word V)
75 s1cli 14560 . . . . . . 7 βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word V
76 ccatalpha 14548 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word V ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word V) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)))
7774, 75, 76sylancl 585 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)))
7877adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ© ∈ Word 𝑉)))
7927, 2, 78mpbir2and 710 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉)
8073, 79jca 511 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉))
81 clwwlkwwlksb.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
82 eqid 2731 . . . . . 6 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
8381, 82iswwlks 29358 . . . . 5 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
84 df-3an 1088 . . . . 5 (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8583, 84bitri 275 . . . 4 ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8685a1i 11 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ (((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) β‰  βˆ… ∧ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ Word 𝑉) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
8780, 86mpbirand 704 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜(π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)) βˆ’ 1)){((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜π‘–), ((π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©)β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8881, 82isclwwlk 29505 . . . 4 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
89 3anass 1094 . . . 4 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
9088, 89bitri 275 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
9190baib 535 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
9266, 87, 913bitr4rd 312 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ (WWalksβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3946  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469  lastSclsw 14517   ++ cconcat 14525  βŸ¨β€œcs1 14550  Vtxcvtx 28524  Edgcedg 28575  WWalkscwwlks 29347  ClWWalkscclwwlk 29502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-lsw 14518  df-concat 14526  df-s1 14551  df-wwlks 29352  df-clwwlk 29503
This theorem is referenced by:  clwwlknwwlksnb  29576
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