clwwlkwwlksb - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwlkwwlksb 30033

Description: A nonempty word over vertices represents a closed walk iff the word concatenated with its first symbol represents a walk. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwwlkwwlksb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkwwlksb	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkwwlksb Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fstwrdne 14496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
2	1	s1cld 14544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		ccatlen 14516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
4	2, 3	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
5		s1len 14547	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
6	5	oveq2i 7380	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
7	4, 6	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
8	7	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
9		lencl 14474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
10	9	nn0cnd 12481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
12		1cnd 11145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12, 12	addsubd 11530	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
14	8, 13	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
15	14	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
16	15	raleqdv 3296	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
17		lennncl 14475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18		nnm1nn0 12459	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
20		elnn0uz 12814	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
22		fzosplitsn 13712	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
24	23	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
25		ralunb 4156	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	24, 25	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
27		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28	9	nn0zd 12531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
30		elfzom1elfzo 13670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
31	29, 30	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32		ccats1val1 14567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
33	27, 31, 32	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
34		elfzom1elp1fzo 13669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35	29, 34	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		ccats1val1 14567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
37	27, 35, 36	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
38	33, 37	preq12d 4701	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
39	38	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
40	39	ralbidva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
41		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ V
42		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
43		fvoveq1 7392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
44	42, 43	preq12d 4701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))})
45	44	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
46	41, 45	ralsn 4641	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
47		fzo0end 13695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
48	17, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49		ccats1val1 14567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
50	48, 49	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
51		lsw 14505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
53	50, 52	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
54		npcan1 11579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
55	10, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
57	56	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)))
58		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
59		ccats1val2 14568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)) = (𝑊‘0))
60	27, 1, 58, 59	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)) = (𝑊‘0))
61	57, 60	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (𝑊‘0))
62	53, 61	preq12d 4701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} = {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)})
63	62	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
64	46, 63	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65	40, 64	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
66	16, 26, 65	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
67	27, 2	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
68		ccat0 14517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ∅ ↔ (𝑊 = ∅ ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ∅)))
69		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ∅) → 𝑊 = ∅)
70	68, 69	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ∅ → 𝑊 = ∅))
71	70	necon3d 2946	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅))
72	71	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅))
73	67, 72	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅)
74		wrdv 14470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Word V)
75		s1cli 14546	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
76		ccatalpha 14534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word V ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
77	74, 75, 76	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
78	77	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
79	27, 2, 78	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
80	73, 79	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉))
81		clwwlkwwlksb.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
82		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
83	81, 82	iswwlks 29816	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
84		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
85	83, 84	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
86	85	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
87	80, 86	mpbirand 707	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
88	81, 82	isclwwlk 29963	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
89		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
90	88, 89	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
91	90	baib 535	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
92	66, 87, 91	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∀wral 3044 Vcvv 3444 ∪ cun 3909 ∅c0 4292 {csn 4585 {cpr 4587 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ℂcc 11042 0cc0 11044 1c1 11045 + caddc 11047 − cmin 11381 ℕcn 12162 ℕ₀cn0 12418 ℤcz 12505 ℤ_≥cuz 12769 ..^cfzo 13591 ♯chash 14271 Word cword 14454 lastSclsw 14503 ++ cconcat 14511 ⟨“cs1 14536 Vtxcvtx 28976 Edgcedg 29027 WWalkscwwlks 29805 ClWWalkscclwwlk 29960

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-2o 8412 df-oadd 8415 df-er 8648 df-map 8778 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-dju 9830 df-card 9868 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-nn 12163 df-2 12225 df-n0 12419 df-xnn0 12492 df-z 12506 df-uz 12770 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-hash 14272 df-word 14455 df-lsw 14504 df-concat 14512 df-s1 14537 df-wwlks 29810 df-clwwlk 29961

This theorem is referenced by: clwwlknwwlksnb 30034

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