clwwlkwwlksb - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwlkwwlksb 30035

Description: A nonempty word over vertices represents a closed walk iff the word concatenated with its first symbol represents a walk. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
clwwlkwwlksb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkwwlksb	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkwwlksb Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fstwrdne 14573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
2	1	s1cld 14621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		ccatlen 14593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
4	2, 3	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)))
5		s1len 14624	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
6	5	oveq2i 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
7	4, 6	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
8	7	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
9		lencl 14551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
10	9	nn0cnd 12564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
12		1cnd 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12, 12	addsubd 11615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
14	8, 13	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
15	14	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
16	15	raleqdv 3305	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
17		lennncl 14552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18		nnm1nn0 12542	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀)
20		elnn0uz 12897	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
21	19, 20	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
22		fzosplitsn 13791	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}))
24	23	raleqdv 3305	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
25		ralunb 4172	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝑊) − 1)) ∪ {((♯‘𝑊) − 1)}){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
26	24, 25	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑊) − 1) + 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
27		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
28	9	nn0zd 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
30		elfzom1elfzo 13749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
31	29, 30	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
32		ccats1val1 14644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
33	27, 31, 32	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
34		elfzom1elp1fzo 13748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35	29, 34	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		ccats1val1 14644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
37	27, 35, 36	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
38	33, 37	preq12d 4717	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
39	38	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1))) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
40	39	ralbidva 3161	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
41		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ V
42		fveq2 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
43		fvoveq1 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)))
44	42, 43	preq12d 4717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))})
45	44	eleq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝑊) − 1) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
46	41, 45	ralsn 4657	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
47		fzo0end 13774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
48	17, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49		ccats1val1 14644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
50	48, 49	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
51		lsw 14582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
53	50, 52	eqtr4d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
54		npcan1 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
55	10, 54	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
57	56	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)))
58		eqidd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
59		ccats1val2 14645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)) = (𝑊‘0))
60	27, 1, 58, 59	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(♯‘𝑊)) = (𝑊‘0))
61	57, 60	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1)) = (𝑊‘0))
62	53, 61	preq12d 4717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} = {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)})
63	62	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ({((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(((♯‘𝑊) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
64	46, 63	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65	40, 64	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑊) − 1)} {((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
66	16, 26, 65	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
67	27, 2	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉))
68		ccat0 14594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ∅ ↔ (𝑊 = ∅ ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ∅)))
69		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ∅) → 𝑊 = ∅)
70	68, 69	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) = ∅ → 𝑊 = ∅))
71	70	necon3d 2953	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅))
72	71	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅))
73	67, 72	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅)
74		wrdv 14547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Word V)
75		s1cli 14623	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
76		ccatalpha 14611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word V ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
77	74, 75, 76	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
78	77	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝑉)))
79	27, 2, 78	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉)
80	73, 79	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉))
81		clwwlkwwlksb.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
82		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
83	81, 82	iswwlks 29818	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
84		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
85	83, 84	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
86	85	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
87	80, 86	mpbirand 707	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
88	81, 82	isclwwlk 29965	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
89		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
90	88, 89	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
91	90	baib 535	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
92	66, 87, 91	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ++ ⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2932 ∀wral 3051 Vcvv 3459 ∪ cun 3924 ∅c0 4308 {csn 4601 {cpr 4603 ‘cfv 6531 (class class class)co 7405 ℂcc 11127 0cc0 11129 1c1 11130 + caddc 11132 − cmin 11466 ℕcn 12240 ℕ₀cn0 12501 ℤcz 12588 ℤ_≥cuz 12852 ..^cfzo 13671 ♯chash 14348 Word cword 14531 lastSclsw 14580 ++ cconcat 14588 ⟨“cs1 14613 Vtxcvtx 28975 Edgcedg 29026 WWalkscwwlks 29807 ClWWalkscclwwlk 29962

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2707 ax-rep 5249 ax-sep 5266 ax-nul 5276 ax-pow 5335 ax-pr 5402 ax-un 7729 ax-cnex 11185 ax-resscn 11186 ax-1cn 11187 ax-icn 11188 ax-addcl 11189 ax-addrcl 11190 ax-mulcl 11191 ax-mulrcl 11192 ax-mulcom 11193 ax-addass 11194 ax-mulass 11195 ax-distr 11196 ax-i2m1 11197 ax-1ne0 11198 ax-1rid 11199 ax-rnegex 11200 ax-rrecex 11201 ax-cnre 11202 ax-pre-lttri 11203 ax-pre-lttrn 11204 ax-pre-ltadd 11205 ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2809 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3360 df-rab 3416 df-v 3461 df-sbc 3766 df-csb 3875 df-dif 3929 df-un 3931 df-in 3933 df-ss 3943 df-pss 3946 df-nul 4309 df-if 4501 df-pw 4577 df-sn 4602 df-pr 4604 df-op 4608 df-uni 4884 df-int 4923 df-iun 4969 df-br 5120 df-opab 5182 df-mpt 5202 df-tr 5230 df-id 5548 df-eprel 5553 df-po 5561 df-so 5562 df-fr 5606 df-we 5608 df-xp 5660 df-rel 5661 df-cnv 5662 df-co 5663 df-dm 5664 df-rn 5665 df-res 5666 df-ima 5667 df-pred 6290 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6484 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-riota 7362 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7862 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-er 8719 df-map 8842 df-en 8960 df-dom 8961 df-sdom 8962 df-fin 8963 df-dju 9915 df-card 9953 df-pnf 11271 df-mnf 11272 df-xr 11273 df-ltxr 11274 df-le 11275 df-sub 11468 df-neg 11469 df-nn 12241 df-2 12303 df-n0 12502 df-xnn0 12575 df-z 12589 df-uz 12853 df-fz 13525 df-fzo 13672 df-hash 14349 df-word 14532 df-lsw 14581 df-concat 14589 df-s1 14614 df-wwlks 29812 df-clwwlk 29963

This theorem is referenced by: clwwlknwwlksnb 30036

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