MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdlsw 13654
Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdlsw ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrdlsw
StepHypRef Expression
1 hashneq0 13350 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2 lencl 13513 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3 nn0z 11600 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4 elnnz 11587 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
5 fzo0end 12761 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
64, 5sylbir 225 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
76ex 397 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (♯‘𝑊) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
82, 3, 73syl 18 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
91, 8sylbird 250 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
109imp 393 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
11 swrds1 13653 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
1210, 11syldan 579 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
13 nn0cn 11502 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
14 ax-1cn 10194 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
1513, 14jctir 510 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
16 npcan 10490 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
1716eqcomd 2777 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
182, 15, 173syl 18 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
1918adantr 466 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
2019opeq2d 4546 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩)
2120oveq2d 6807 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩))
22 lsw 13541 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2322adantr 466 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
2423s1eqd 13574 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
2512, 21, 243eqtr4d 2815 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  c0 4063  cop 4322   class class class wbr 4786  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   < clt 10274  cmin 10466  cn 11220  0cn0 11492  cz 11577  ..^cfzo 12666  chash 13314  Word cword 13480  lastSclsw 13481  ⟨“cs1 13483   substr csubstr 13484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-hash 13315  df-word 13488  df-lsw 13489  df-s1 13491  df-substr 13492
This theorem is referenced by:  2swrd1eqwrdeq  13656  pfxsuff1eqwrdeq  41928  pfxlswccat  41941
  Copyright terms: Public domain W3C validator