Theorem swrdlsw 14710

Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrdlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashneq0 14405	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2		lencl 14575	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3		nn0z 12619	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4		elnnz 12605	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
5		fzo0end 13792	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6	4, 5	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
7	6	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (♯‘𝑊) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
8	2, 3, 7	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
9	1, 8	sylbird 263	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
10	9	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
11		swrds1 14709	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
12	10, 11	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
13		nn0cn 12518	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
14		ax-1cn 11162	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	13, 14	jctir 529	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
16		npcan 11470	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
17	16	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
18	2, 15, 17	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
19	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
20	19	opeq2d 4845	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩)
21	20	oveq2d 7426	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩))
22		lsw 14606	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
23	22	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
24	23	s1eqd 14644	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
25	12, 21, 24	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   < clt 11247   − cmin 11445  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595  ..^cfzo 13687  ♯chash 14371  Word cword 14555  lastSclsw 14604  ⟨“cs1 14638   substr csubstr 14683

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-lsw 14605  df-s1 14639  df-substr 14684

This theorem is used by:  pfxsuff1eqwrdeq  14741  pfxlswccat  14755