MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlsw Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem swrdlsw 14617
Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdlsw ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š substr ⟨((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)⟩) = βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©)
Proof of Theorem swrdlsw
StepHypRef Expression
1 hashneq0 14324 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (0 < (β™―β€˜π‘Š) ↔ π‘Š β‰  βˆ…))
2 lencl 14483 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
3 nn0z 12583 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
4 elnnz 12568 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ 0 < (β™―β€˜π‘Š)))
5 fzo0end 13724 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
64, 5sylbir 234 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ 0 < (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
76ex 414 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (0 < (β™―β€˜π‘Š) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
82, 3, 73syl 18 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (0 < (β™―β€˜π‘Š) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
91, 8sylbird 260 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (π‘Š β‰  βˆ… β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))))
109imp 408 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
11 swrds1 14616 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Š substr ⟨((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)⟩) = βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))β€βŸ©)
1210, 11syldan 592 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š substr ⟨((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)⟩) = βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))β€βŸ©)
13 nn0cn 12482 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
14 ax-1cn 11168 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
1513, 14jctir 522 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚))
16 npcan 11469 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1) = (β™―β€˜π‘Š))
1716eqcomd 2739 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))
182, 15, 173syl 18 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))
1918adantr 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘Š) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1))
2019opeq2d 4881 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ ⟨((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)⟩ = ⟨((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)⟩)
2120oveq2d 7425 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š substr ⟨((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)⟩) = (π‘Š substr ⟨((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) + 1)⟩))
22 lsw 14514 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2322adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (lastSβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
2423s1eqd 14551 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ© = βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))β€βŸ©)
2512, 21, 243eqtr4d 2783 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) β†’ (π‘Š substr ⟨((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1), (β™―β€˜π‘Š)⟩) = βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘Š)β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  lastSclsw 14512  βŸ¨β€œcs1 14545   substr csubstr 14590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-s1 14546  df-substr 14591
This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  14649  pfxlswccat  14663
  Copyright terms: Public domain W3C validator