Theorem wlkonwlk1l 29643

Description: A walk is a walk from its first vertex to its last vertex. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkonwlk1l.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
wlkonwlk1l	⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)

Proof of Theorem wlkonwlk1l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkonwlk1l.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘0))
3		wlklenvm1 29602	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
4	3	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
5		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5	wlkpwrd 29597	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7		lsw 14582	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
9	4, 8	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
11		wlkcl 29595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		nn0p1nn 12540	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
14		wlklenvp1 29598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
15	13, 6, 14	jca32 515	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))))
16		fstwrdne0 14574	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17		lswlgt0cl 14587	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺))
18	16, 17	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
20		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21	20	wlkf 29594	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
22		wrdv 14547	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 𝐹 ∈ Word V)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word V)
24	19, 23, 6	jca32 515	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
25	1, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
26	5	iswlkon 29637	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))))
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))))
28	1, 2, 10, 27	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ♯chash 14348  Word cword 14531  lastSclsw 14580  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  Walkscwlks 29576  WalksOncwlkson 29577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-lsw 14581  df-wlks 29579  df-wlkson 29580

This theorem is referenced by:  3wlkond  30152