MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkonwlk1l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkonwlk1l 26961
Description: A walk is a walk from its first vertex to its last vertex. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkonwlk1l.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
wlkonwlk1l (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)

Proof of Theorem wlkonwlk1l
StepHypRef Expression
1 wlkonwlk1l.w . 2 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2 eqidd 2827 . 2 (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘0))
3 wlklenvm1 26920 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
43fveq2d 6438 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
5 eqid 2826 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
65wlkpwrd 26916 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 lsw 13625 . . . . 5 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
94, 8eqtr4d 2865 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
101, 9syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
11 wlkcl 26914 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12 nn0p1nn 11660 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
14 wlklenvp1 26917 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
1513, 6, 14jca32 513 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))))
16 fstwrdne0 13617 . . . . . . 7 ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17 lswlgt0cl 13630 . . . . . . 7 ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺))
1816, 17jca 509 . . . . . 6 ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
20 eqid 2826 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2120wlkf 26913 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
22 wrdv 13590 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 𝐹 ∈ Word V)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word V)
2419, 23, 6jca32 513 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
251, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
265iswlkon 26955 . . 3 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))))
2725, 26syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))))
281, 2, 10, 27mpbir3and 1448 1 (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3415   class class class wbr 4874  dom cdm 5343  cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256  cmin 10586  cn 11351  0cn0 11619  chash 13411  Word cword 13575  lastSclsw 13623  Vtxcvtx 26295  iEdgciedg 26296  Walkscwlks 26895  WalksOncwlkson 26896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-ifp 1092  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-lsw 13624  df-wlks 26898  df-wlkson 26899
This theorem is referenced by:  3wlkond  27548
  Copyright terms: Public domain W3C validator