MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkonwlk1l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkonwlk1l 29696
Description: A walk is a walk from its first vertex to its last vertex. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkonwlk1l.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
wlkonwlk1l (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)

Proof of Theorem wlkonwlk1l
StepHypRef Expression
1 wlkonwlk1l.w . 2 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘0))
3 wlklenvm1 29655 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
43fveq2d 6911 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
5 eqid 2735 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
65wlkpwrd 29650 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 lsw 14599 . . . . 5 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
94, 8eqtr4d 2778 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
101, 9syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
11 wlkcl 29648 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12 nn0p1nn 12563 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
14 wlklenvp1 29651 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
1513, 6, 14jca32 515 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))))
16 fstwrdne0 14591 . . . . . . 7 ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17 lswlgt0cl 14604 . . . . . . 7 ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺))
1816, 17jca 511 . . . . . 6 ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
20 eqid 2735 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2120wlkf 29647 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
22 wrdv 14564 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 𝐹 ∈ Word V)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word V)
2419, 23, 6jca32 515 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
251, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
265iswlkon 29690 . . 3 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))))
2725, 26syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))))
281, 2, 10, 27mpbir3and 1341 1 (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  chash 14366  Word cword 14549  lastSclsw 14597  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Walkscwlks 29629  WalksOncwlkson 29630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-wlks 29632  df-wlkson 29633
This theorem is referenced by:  3wlkond  30200
  Copyright terms: Public domain W3C validator