MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkonwlk1l Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlkonwlk1l 29188
Description: A walk is a walk from its first vertex to its last vertex. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkonwlk1l.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
Assertion
Ref Expression
wlkonwlk1l (πœ‘ β†’ 𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(lastSβ€˜π‘ƒ))𝑃)
Proof of Theorem wlkonwlk1l
StepHypRef Expression
1 wlkonwlk1l.w . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
2 eqidd 2732 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜0))
3 wlklenvm1 29147 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) = ((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1))
43fveq2d 6895 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)))
5 eqid 2731 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
65wlkpwrd 29142 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))
7 lsw 14519 . . . . 5 (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) = (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) = (π‘ƒβ€˜((β™―β€˜π‘ƒ) βˆ’ 1)))
94, 8eqtr4d 2774 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (lastSβ€˜π‘ƒ))
101, 9syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (lastSβ€˜π‘ƒ))
11 wlkcl 29140 . . . . . . . 8 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
12 nn0p1nn 12516 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ β„•)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ β„•)
14 wlklenvp1 29143 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
1513, 6, 14jca32 515 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))))
16 fstwrdne0 14511 . . . . . . 7 ((((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
17 lswlgt0cl 14524 . . . . . . 7 ((((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))) β†’ (lastSβ€˜π‘ƒ) ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
1816, 17jca 511 . . . . . 6 ((((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ β„• ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (lastSβ€˜π‘ƒ) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (lastSβ€˜π‘ƒ) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
20 eqid 2731 . . . . . . 7 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
2120wlkf 29139 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ))
22 wrdv 14484 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ 𝐹 ∈ Word V)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word V)
2419, 23, 6jca32 515 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (lastSβ€˜π‘ƒ) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))))
251, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (lastSβ€˜π‘ƒ) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))))
265iswlkon 29182 . . 3 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (lastSβ€˜π‘ƒ) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(lastSβ€˜π‘ƒ))𝑃 ↔ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜0) ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (lastSβ€˜π‘ƒ))))
2725, 26syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(lastSβ€˜π‘ƒ))𝑃 ↔ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜0) ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (lastSβ€˜π‘ƒ))))
281, 2, 10, 27mpbir3and 1341 1 (πœ‘ β†’ 𝐹((π‘ƒβ€˜0)(WalksOnβ€˜πΊ)(lastSβ€˜π‘ƒ))𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β™―chash 14295  Word cword 14469  lastSclsw 14517  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  Walkscwlks 29121  WalksOncwlkson 29122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-lsw 14518  df-wlks 29124  df-wlkson 29125
This theorem is referenced by:  3wlkond  29692
  Copyright terms: Public domain W3C validator