Theorem wlkonwlk1l 29598

Description: A walk is a walk from its first vertex to its last vertex. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkonwlk1l.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
wlkonwlk1l	⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)

Proof of Theorem wlkonwlk1l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkonwlk1l.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘0))
3		wlklenvm1 29557	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1))
4	3	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
5		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5	wlkpwrd 29552	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7		lsw 14536	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
9	4, 8	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))
11		wlkcl 29550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		nn0p1nn 12488	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
14		wlklenvp1 29553	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
15	13, 6, 14	jca32 515	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))))
16		fstwrdne0 14528	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17		lswlgt0cl 14541	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺))
18	16, 17	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))) → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
20		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21	20	wlkf 29549	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
22		wrdv 14501	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 𝐹 ∈ Word V)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word V)
24	19, 23, 6	jca32 515	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
25	1, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
26	5	iswlkon 29592	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))))
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (lastS‘𝑃))))
28	1, 2, 10, 27	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)(lastS‘𝑃))𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ♯chash 14302  Word cword 14485  lastSclsw 14534  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  Walkscwlks 29531  WalksOncwlkson 29532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-wlks 29534  df-wlkson 29535

This theorem is referenced by:  3wlkond  30107